基于人工神經網絡的聲子晶體逆向設計1)

曹蕾蕾朱 旺 武建華 張傳增

* (長安大學道路施工技術與裝備教育部重點實驗室,西安 710064)

? (錫根大學土木工程學院,德國錫根 D-57068)

引言

聲子晶體是一種新型人工周期性復合材料,具有獨特的禁帶特性,即聲波或彈性波在聲子晶體中傳播時,由于受到周期性結構中波的散射或局部共振的作用,在某些頻段范圍即帶隙內無法傳播[1-4].該特性使得聲子晶體在工程減振降噪領域具有巨大的應用潛力.聲子晶體的拓撲結構和組分材料的屬性決定了其帶隙特性.因此,根據特定的減振降噪需求設計具有目標帶隙的聲子晶體具有重要的理論研究意義與工程應用價值.

現有聲子晶體設計方法大多是通過對結構幾何參數與材料參數的分析,調整匹配特定的頻散特性,但這樣設計出來的聲子晶體結構往往帶隙位置與寬度達不到最佳需求,并且需經過反復的調控才能滿足實際的減振降噪需求.按照特定頻率設計聲子晶體結構是典型的具有挑戰性的逆向設計問題.拓撲優化作為一種代表性的逆向設計方法,已經被廣泛用于結構設計、材料組合設計和多物理場下的器件設計等.Sigmund 等[5]最早對二維聲子晶體的拓撲優化進行了研究;Gazonas 等[6]利用有限元法對二維聲子晶體進行了拓撲優化;Zhong 等[7]基于平面波展開法對二維固?固體系聲子晶體進行了拓撲優化的研究;Hussein 等[8-9]對一維、二維聲子晶體的拓撲優化進行了研究;Bilal 和Hussein[10]討論了多孔聲子晶體中帶隙的最寬化問題;Dong 等[11-14]針對各種類型的二維聲子晶體(含孔隙、不含孔隙、非對稱等)的單目標、多目標拓撲優化進行了一系列的研究;Liu 等[15-16]提出了二維固?固體系聲子晶體的系統拓撲優化;Xu 等[17]對三相聲子晶體進行了優化設計,得到了多目標問題的Pareto 最優解集.然而,以上關于聲子晶體的拓撲優化方法主要是基于遺傳算法,需要大量的計算資源和時間,而且所需時間隨著參數數量的增加呈指數增長.近年來,人工神經網絡和深度學習的發展為聲子晶體的逆向設計提供了新的思路.Liu[18]于2019 年將有監督學習型神經網絡和無監督學習型神經網絡模型用于一維聲子晶體填充率、剪切模量比和質量密度比的設計.Li 等[19]于2020 年利用自編碼器和多層感知機模型建立了二維聲子晶體圖像特征、結構拓撲特征、帶隙特性的內在聯系,得到了具有預期帶隙的聲子晶體.同年,Kollmann 等[20]將ResUNet 卷積神經網絡模型用于超材料的優化設計.Luo 等[21]將強化學習方法用于層狀聲子晶體的逆向設計中.

以上研究說明將機器學習用于聲子晶體的逆向設計是可行的且具有巨大潛力,與此同時,也可以看出此方面的研究尚處于起步階段,相關研究大多是針對由指定的兩種材料組成的聲子晶體開展的,其樣本分布存在一定的局限性,尚需進一步探索.

本文以一維層狀聲子晶體為例,提出了一種基于Softmax 邏輯回歸和多任務學習的人工神經網絡的聲子晶體逆向設計方法.與以往研究方法不同的是,本文將機器學習中的兩個重要內容“多任務學習和邏輯回歸”用于人工神經網絡,將聲子晶體逆向設計問題轉化為對單元胞元拓撲結構多組分材料的分類問題,突破了以往研究方法中因材料種類有限和材料分布單一帶來的樣本分布集中的局限性.在本文提出的逆向設計方法中,多任務學習實現了多分層結構各區域材料的分布問題,Softmax 邏輯回歸則實現了各區域材料種類的選擇問題.本文的主要內容為:首先,隨機生成大量拓撲結構樣本,進而采用有限元方法得到每個樣本的帶隙,然后,通過神經網絡建立帶隙和拓撲結構之間的映射關系,最后利用訓練好的神經網絡設計具有目標帶隙特性的聲子晶體.

1 樣本數據生成

不同材料組合及其不同幾何排布方式將產生不同拓撲構型的聲子晶體,對應不同的能帶結構.通過計算機程序自動生成大量的單位胞元拓撲構型,并計算出其相應的能帶結構,對各拓撲構型和其對應能帶結構的特征進行提取,為神經網絡的構建提供大量訓練樣本和測試樣本.

為不失一般性,考慮一維層狀聲子晶體單元胞元拓撲構型如圖1 所示.其沿x方向無限交替排列而成,各層子結構尺寸在yoz平面內為無限大.胞元晶格常數為D,將其等分為m層,第j層由n種材料中的一種填充而成,由0～n之間的數字進行標識.這樣,胞元的拓撲結構,即不同材料分層的單元胞元形式可用一維數組表示.其中,ρj,Ej,μj分別代表單元胞元第j層材料的密度、楊氏模量和剪切模量.

圖1 一維聲子晶體單元胞元結構示意圖Fig.1 Unit-cell structure of the 1D phononic crystal

在采用有限元方法得到聲子晶體的能帶結構后,需要進行能帶特征的提取以作為神經網絡訓練的樣本數據.具體步驟如下所述.首先,根據能帶結構確定禁帶(帶隙)和通帶頻率范圍;進而將整個能帶頻率范圍等分為若干個小頻率區間,判斷每個小區間是否落在禁帶或通帶中,并分別用數字0 或1 來標識其禁帶和通帶屬性.這樣,能帶特征可通過由0 和1 組成的一維數組表示出來.

2 人工神經網絡的建立

本文采用Softmax 邏輯回歸和多任務學習的人工神經網絡[22-25]來構建一維聲子晶體的帶隙分布和單元胞元拓撲結構之間的映射關系.神經網絡的模型如圖2 所示.

圖2 人工神經網絡模型Fig.2 Artificial neural network model

神經網絡包含輸入層、隱藏層、輸出層和Softmax 層,相鄰層之間的每個神經元相互連接構成完整的神經網絡模型.每個樣本的輸入數據將作為輸入層數據進行前向傳播.在這個過程中,網絡的每一層都會將上一層的輸出數據作為本層的輸入數據進行相應的數值計算并將結果作為本層的輸出數據傳遞給下一層.

當數據經過隱藏層時,每個隱藏層按照下式完成計算并進行輸出

即在第q?1 層的輸出到達第q層的神經元之前,網絡會按照式(1)對第q?1 層的輸出進行線性變換.其中,為第q?1 層的第p個神經元的輸出,將q?1層的rq?1個神經元的所有輸出分別與第q層相應的權重系數相乘并累加,并將累加結果與第q層的偏置參數bq相加得到第q層的第o個神經元的輸入為了提高神經網絡對模型的表達能力,用激活函數依照式(2)對進行非線性變換,得到第q層第o個神經元的最終輸出.

數據經過隱藏層后進入m個并行的輸出層,第m個輸出層輸出單位胞元結構第m層材料的參數值.輸出層無需添加激活函數,只需通過式(1)對上一層的輸出進行線性變化并將本層的輸出傳遞給最后的Softmax 層.

Softmax 層的輸出通過以下公式計算得出

其中,表示任務層m的輸出,即單元胞元第m層由各種材料填充的概率.

然后通過如下公式的交叉熵函數計算和該層所對應標簽ym的損失

最后將m個任務的損失求均值作為總損失L并使用誤差反向傳播算法[26]對其進行優化,直到網絡的精度滿足要求.

3 人工神經網絡的訓練和測試

神經網絡模型建立好后,使用訓練集的數據來訓練模型,然后用測試集評估模型的泛化性.網絡模型的訓練效果可用總損失L和訓練精度Tracc進行評估;測試效果可用測試精度Teacc進行評估.Tracc和Teacc可由下式進行計算

其中,MTr和MTe分別為參與訓練和測試的樣本數,和yαβ分別為第 α個樣本的第 β 個任務的輸出和標簽.當L趨近于0 且保持穩定時,表明神經網絡訓練完成.當訓練精度Tracc和測試精度Teacc達到預期值時,表明所建立的人工神經網絡已成功構建出聲子晶體帶隙分布和拓撲結構之間的映射關系.

4 算例

已有研究表明,船用齒輪傳動系統中齒輪副的振動會通過軸承座將激勵傳遞至減速箱,致使減速箱對外界產生輻射噪聲,而輻射噪聲對船舶內各艙室的舒適性有著嚴重的影響,因此,選擇合適的降噪方法是減少船舶減速箱噪聲污染的關鍵[27].目前國內外船舶領域針對減速箱采用的降噪方法主要有:減速箱的結構改進、阻尼材料敷設、基座導納安裝形式優化以及主動控制等[28].相對于主動控制減振,被動控制減振具有結構簡單、造價低、易于維護并且無需外部能量支持等優點[29-31].由于聲子晶體在噪聲與振動的被動控制方面有著巨大的潛力,因此,聲子晶體為減速箱等機械結構的減振降噪提供了一個全新的途徑.

船用單級人字齒輪減速箱的前兩階固有頻率分別為208.99 Hz 和386.74 Hz[27].為此,通過設計預期帶隙包含此固有頻率的聲子晶體可有效減小減速箱對外界產生輻射噪聲.基于此應用背景,本文進行目標帶隙為200～ 400 Hz 的一維聲子晶體逆向設計.所選材料為鎢(W)、丁腈橡膠(NBR) 和硅橡膠(Sil)組成的一維三相聲子晶體,晶格常數D=0.01 m,材料的名稱、編號、密度 ρ、楊氏模量E和剪切模量 μ 如表1 所示.

表1 材料參數Table 1 Material parameters

單元胞元結構層數的選取應避免層數過少而導致單元胞元結構及帶隙多樣性不足的問題,同時,也應避免層數過多導致訓練難度加大的問題.為此,本例中將單元胞元結構等分為10 層,每一層由以上材料中的一種構成,分別用數字0,1 和2 表示,如一維數組0222200211 表示的聲子晶體的單元胞元結構如圖3 所示.

圖3 單元胞元結構示例Fig.3 Example for a unit-cell structure

將3 種材料隨機填充在10 層中,可獲得310個單元胞元拓撲結構.因為聲子晶體具有周期平移對稱性[32],而具有相同周期平移對稱性的聲子晶體的帶隙分布是相同的,即會出現不同拓撲構型標簽對應著相同的帶隙輸入情況,這將會對神經網絡的訓練過程產生阻礙.因此,需要對結構進行篩選以保證神經網絡的收斂性.從篩選后的單位胞元結構中隨機取出10 000 個作為拓撲結構樣本,其中,9000 個作為訓練樣本,1000 個作為測試樣本.通過MATLAB和COMSOL Multiphysics 軟件的聯合并行仿真得到所有樣本的能帶結構.將研究的頻率范圍設定為0～ 2000 Hz 以使得目標帶隙和每個樣本的第一禁帶被完整覆蓋,并以單位頻率對其進行劃分,對各樣本的單位頻率小區間落在禁帶范圍或通帶范圍進行判斷,分別用數字0 和1 進行標識,并存儲在一維數組中作為帶隙樣本.如圖4 表示了0～ 20 Hz 頻段內禁帶落在6～ 12 Hz,其余為通帶的帶隙分布.

圖4 以數組表示帶隙Fig.4 Band-gaps represented by an array of numbers

按照圖2 模型構建神經網絡.其中,構建神經元數分別為2000,2000 和1000 個的3 個隱藏層;為防止過擬合,在每個隱藏層加入了Dropout[33]操作,其工作原理是在網絡訓練過程中隨機將該層20%的神經元暫時從網絡中丟棄,減少了中間特征的數量,從而減少冗余,增加了每層各個特征之間的正交性;另外,為了克服梯度消失問題并加快訓練速度,選擇Relu 函數[34]作為隱藏層激活函數.構建10 個并行的輸出層,每一個輸出層包含3 個神經元;為了提升網絡的學習效率,使用Adam 優化算法[35]更新參數并優化總損失L.訓練過程中總損失L和訓練精度Tracc隨訓練次數Ep的變化曲線如圖5所示.

圖5 L 和Tracc 隨迭代次數Ep 的變化曲線Fig.5 Variations of the L and Tracc curves with the Ep

由圖5 可以看出,L隨Ep的增加而逐漸減小,最終穩定在0.27 附近;Tracc隨Ep的增加而逐漸增大,最終穩定在85%附近.采用測試集對網絡進行測試,測試精度Teacc可達到80%,可用其開展預期帶隙的一維聲子晶體逆向設計.下面利用該網絡進行聲子晶體設計.

設計過程如圖6 所示.首先將目標帶隙分布用1×2000 的一維數組表示;然后將其輸入訓練好的神經網絡,網絡輸出1×10 的拓撲結構數組,由此可得到相應的一維聲子晶體結構.該結構的實際能帶結構和頻率響應如圖7 所示,其中,頻響函數是由10 個周期單元胞元組成的聲子晶體結構按照公式FRF=20lg(a2/a1)計算得到的.其中,a1和a2分別代表激勵端的加速度激勵和拾取端的加速度響應.由圖7 可以看出,其禁帶范圍為206.62～ 424.52 Hz,與目標帶隙基本一致,說明神經網絡的逆向設計效果很好.

圖6 預測具有目標帶隙聲子晶體單位胞元的過程Fig.6 Prediction process of the unit-cell of the phononic crystal with a target band-gap

圖7 (a)能帶結構和(b)頻率響應Fig.7 (a) Band structure and (b) frequency response curve

5 結論

本文提出了一種基于Softmax 邏輯回歸和多任務學習的人工神經網絡的聲子晶體逆向設計方法,將聲子晶體逆向設計問題轉化為對單元胞元拓撲結構各組分材料的多分類問題.該方法以目標帶隙為神經網絡的輸入,網絡將直接輸出對應的聲子晶體單元胞元拓撲結構.其中,神經網絡的構建需要對大量的樣本進行訓練,這些訓練樣本通過有限元仿真創建,雖然需要一定的計算資源和時間,但該過程可以并行且一次性完成,較傳統設計方法更高效.同時,該設計方法可突破傳統設計方法強烈依賴于解析理論和參數分析的缺陷,為聲子晶體的逆向設計提供了新穎的途徑.

最后需要強調的是,本文的重點是利用神經網絡開展一維聲子晶體的逆向設計,即根據目標帶隙設計出滿足帶隙要求的聲子晶體拓撲結構及其材料組成.目標帶隙的確定取決于實際問題的需要,可以是低頻帶隙,也可以是高頻帶隙.如果目標帶隙為低頻帶隙,采用局域共振機理十分奏效,此時需要引進較薄較柔的層狀元素,因而可能導致整體結構的剛度與強度乃至穩定性下降.此類問題是一個典型的多目標優化問題,在實際設計相應聲子晶體結構時既要滿足低頻帶隙的要求,又要兼顧結構的剛度與強度及其穩定性.