基于反步法的串級連續攪拌反應釜離散時間模糊自適應控制

劉家碩，辛麗平，孔曉涵

(青島理工大學 信息與控制工程學院，青島 266525)

盡管連續攪拌反應釜(Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR)是化工生產過程中常用的一類化學反應設備，廣泛應用在生物、制藥等工業中，但因其具有復雜性、不確定性以及高度非線性的特點，當CSTR反應系統受到外部干擾時，易偏離既定工作點；如果控制不當，會導致系統內溫度或者濃度過高；這不僅會威脅生產安全，還會直接影響產品的質量和產量。因此，有必要設計合理的CSTR控制器來及時調控CSTR的溫度與濃度，這對于保障生產安全、提高生產效率、改善產品質量具有重要意義[1]。

近年來，學術界針對串級CSTR的控制問題做了大量研究，為應對串級CSTR的高度非線性并提高其控制器的性能，分別提出了反步法[2]、動態面[3]、模糊控制[4]、神經網絡[5]等控制方法。但上述控制方法都是針對串級CSTR連續時間系統設計控制器的，并未應用到串級CSTR離散時間系統中。雖然離散控制方法在應對非線性問題方面會使控制器的設計過程變得相對復雜，但與連續控制方法相比，具有更好的穩定性與可實現性[6]。因此，近年來離散控制取得了長足的發展：文獻[7]針對一類非線性純反饋離散時間系統設計了自適應控制器，利用神經網絡的逼近特性去逼近離散系統中的非線性函數，仿真結果驗證了該閉環系統的穩定性；文獻[8]針對一類具有三角形輸入的離散時間多輸入多輸出非線性系統，基于反步技術開發了有效的輸出反饋自適應控制器，但在構造虛擬控制律時產生了未來的信號，如果不對其進行解決，在實際控制器設計過程中將會存在更多的未來信號，即呈現“非因果問題”[9]，這不利于控制器的實現，目前“非因果問題”的解決方法主要是將系統轉換為預測器形式[10]，但這會給系統帶來一定的復雜性；文獻[11]針對內置式永磁同步電機非線性離散時間系統設計了自適應控制器，該控制器在設計過程中引入了遞推的方法，克服了系統中存在的“非因果問題”。雖然離散時間系統控制理論取得了長足發展，但離散時間控制在串級CSTR系統的應用鮮有報告，因此本文開展基于反步法的串級CSTR的離散時間模糊自適應控制研究。

本文基于歐拉法，對串級CSTR的數學模型進行離散化處理。通過利用反步技術與模糊自適應控制相結合的方法，對串級CSTR離散時間系統的控制器進行設計；通過引入遞推的方法克服了系統中存在的“非因果問題”；采用模糊邏輯的近似特性去解決系統中存在的非線性函數；通過將自適應參數減少到2個，減小了在線計算量；最后通過仿真結果驗證了該方法的有效性。

1 系統描述和預備知識

1.1 串級CSTR系統描述

可循環的串級連續攪拌反應釜的結構如圖1所示，反應器Ⅰ與反應器Ⅱ相互串聯，反應器內發生了從A→B的不可逆放熱反應，反應器外圍帶有冷卻夾套，冷卻夾套內可通入不同溫度的冷卻水以調控反應器的溫度使其穩定在參考恒定值。

圖1 串級連續攪拌反應釜系統結構

為了建立CSTR的數學模型,假設反應器的體積V1=V2=V，冷卻套的體積Vj1=Vj2=Vj，反應器的流速Q0=Q2=Q，Q1=Q+QR。

串級連續攪拌反應釜的數學模型如下：

(1)

為了簡化式(1)中的等式，令

此時,式(1)可以寫為

(2)

其中：

基于歐拉法，串級CSTR的離散時間動態數學模型可以寫為

(3)

(4)

式中：Δt為采樣周期。

本文的控制目標是為串級CSTR離散時間系統設計一個模糊自適應控制器，使其輸出能夠收斂到一個近似為零的領域內，并保證其閉環系統中的所有信號都是有界的。

1.2 模糊邏輯

系統中存在的復雜非線性函數會使控制器的設計變得困難，而模糊邏輯系統(FLS)對非線性函數具有良好的逼近能力，可使控制器的設計過程變得相對簡單。

引理1非線性連續函數f(k)將用以下模糊邏輯系統近似[12]

f(k)=WTS(z(k))+ε

2 控制器設計

基于反步法的串級CSTR的模糊自適應離散控制器的設計步驟如下：

步驟1：將跟蹤誤差定義為e11(k)=x11(k)-x1d(k),x1d(k)=0為參考信號。

(5)

構造虛擬控制律為

(6)

將式(6)代入式(5)可得：

(7)

式中：e12(k)=x12(k)-α11(k)。

(8)

在式(8)中，由于虛擬控制律α11(k+1)包含著未來的信息，如果繼續采用反步法去設計控制器，在控制器設計過程中將會存在更多的未來信號，即呈現“非因果問題”，這不利于控制器的實現，本文采用遞推的方法得到關于k的表達式來代替k+1，從而克服此問題。

定義非線性函數：

f12(k)=x12(k)-α11(k+1)

(9)

又由模糊邏輯系統的逼近特性，f12(k)還可以寫為

(10)

構造實際控制律與自適應律為

(11)

(12)

將式(9)—(11)代入式(8)并由楊氏不等式可得：

(13)

步驟3：將跟蹤誤差定義為e21(k)=x21(k)-x2d(k),x2d(k)=0為參考信號。

(14)

定義非線性函數：

f21(k)=x21(k)+(φ21(k)+Φx31(k))Δt

(15)

又由模糊邏輯系統的逼近特性，f21(k)還可以寫為

(16)

構造虛擬控制律與自適應律為

(17)

(18)

將式(15)—(17)代入式(14)并由楊氏不等式可得：

(19)

(20)

定義非線性函數:

f22(k)=x22(k)+φ22(k)Δt-α21(k+1)

(21)

又由模糊邏輯系統的逼近特性，f22(k)還可以寫為

(22)

構造實際控制律與自適應律為

(23)

(24)

將式(21)—(23)代入式(20)并由楊氏不等式可得：

(25)

步驟 5：將跟蹤誤差定義為e31(k)=x31(k)-x3d(k),x3d(k)=0為參考信號。

(26)

定義非線性函數：

f31(k)=x31(k)+(φ31(k)+Ψw)Δt

(27)

又由模糊邏輯系統的逼近特性，f31(k)還可以寫為

(28)

構造虛擬控制律與自適應律為

(29)

(30)

將式(27)—(29)代入式(26)并由楊氏不等式可得：

(31)

(32)

定義非線性函數:

f32(k)=x32(k)+φ32(k)Δt-α31(k+1)

(33)

又由模糊邏輯系統的逼近特性，f32(k)還可以寫為

(34)

構造實際控制律與自適應律為

(35)

(36)

將式(33)—(35)代入式(32)并由楊氏不等式可得：

(37)

3 穩定性分析

選取新的Lyapunov函數來驗證該閉環系統的穩定性：

(38)

式中：γ12，γ21，γ22，γ31，γ32均為正常數。

則V(k)的一階差分為

(39)

(40)

(41)

將式(41)代入式(40)有：

(42)

將式(37)(42)代入式(39)，可以得到：

通過選取適當的采樣周期Δt以及自適應參數δij,γij(i=1,2,3;j=1,2,當i=1時j≠1)，使得以下不等式

那么只要保證：

就可以得到ΔV(k)<0，從而能夠得到

恒成立。從而能夠得到跟蹤誤差信號ei1(k)是有界的，其中μ是一個接近于零的正數。

4 仿真分析

4.1 參數選取

為了說明基于反步法的串級CSTR離散時間模糊自適應控制方法的可行性，利用MATLAB 2018a進行仿真驗證，選取的模型參數見表1。

表1 串級連續攪拌反應釜系統的模型參數

本文所選的模糊隸屬度函數為

將各狀態變量的初始值、自適應參數以及其他參數值設置為

Δt=1 ms;ηij(0)=0(i=1,2,3;j=1,2.當i=1時,j≠1);

x11(0)=2,x12(0)=-2;x21(0)=5,x22(0)=-4;x31(0)=2,x32(0)=-4;

γ12=1.9,δ12=1.3;γ21=0.8,δ21=1.3;γ22=0.95,δ22=1.2;γ31=1.4,δ31=1.3;γ32=0.4,δ32=1.5。

4.2 仿真結果分析

圖2—4分別描述了串級CSTR離散時間系統的輸出信號、輸入信號、自適應律的動態過程。由圖2可以看出，串級CSTR的輸出信號y可以較好地跟蹤參考信號yd。從圖3與圖4可以明顯的看出，串級CSTR的輸入u與自適應律η是最終有界的，這表明所設計的控制器是有效可行的。

5 結論

本文基于反步法為串級連續攪拌反應釜離散時間系統設計了模糊自適應控制器。該方法利用模糊邏輯系統的逼近特性逼近系統中存在的非線性項，不僅減少了計算量，還解決了在控制器設計過程中存在的“非因果問題”；利用李雅普諾夫函數證明了閉環系統的有界性，使系統輸出能夠收斂到一個接近于零的領域內。仿真實例驗證了該方法對于串級CSTR離散時間系統能夠達到良好的控制效果。

本文所提出的基于反步法的模糊自適應離散時間控制方法，使得輸入信號u1波動范圍較大，如何減小其波動范圍，以實現對串級CSTR更好的控制，需要將來繼續深入探討。