具有馬爾可夫鏈的二維羅塞爾系統的異步輸出反饋耗散控制

葉志勇，羅良剛，羅小玉

重慶理工大學 理學院，重慶 400054

近年來二維系統的控制問題受到了廣泛關注，得到了極大發展[1-6]．

耗散系統是由Willems在1972年提出，然后由Hill和Moylan進行了推廣，使得耗散性在系統和控制系統中起重要作用．耗散性理論概括包含了無源性定理、 有界實引理、 Kalman-Yakubovich-Popov引理和圓判據[7-9]．因此，耗散性及其在控制和濾波中的應用受到廣泛關注并且取得重大突破，得到許多新的理論和結果．針對連續時間[10]和離散時間[11]系統的耗散控制器的設計方法被提出．文獻[12]考慮隨機發生的一種分布式時滯，利用凸優化和隨機分析理論，保證了得到的誤差系統在耗散性下的穩定性．而對于不確定擾動的T-S模糊系統，文獻[13]提出基于非并行分布補償的嚴格耗散標準，利用控制器增益中的有界不確定性來處理控制信號增益的實際元件不確定性和使用多李雅普諾夫函數進行控制器綜合，得到了相對保守的設計條件．

帶有馬爾可夫跳的系統也是研究鄰域的熱點，馬爾可夫鏈的優勢在于擅長對突然改變的結構或參數變化進行建模．文獻[14]研究了一類馬爾可夫跳系統在連續時間和離散時間條件下的非脆弱控制問題，其構造了一個隨機正李雅普諾夫函數，基于增益矩陣分解技術，利用李雅普諾夫函數設計了一組模態相關的狀態反饋控制和吸引域增益．文獻[15]研究了具有乘性噪聲的離散時間奇異馬爾可夫跳系統的耗散控制，并針對系統模態與控制器模態之間的異步現象，構造了一組馬爾可夫鏈，最后利用線性矩陣不等式給出了保證耗散性和穩定性的充分條件．

雖然目前大多數的研究方向都集中在同步的控制器和濾波器上[17-19]，但同步的控制器和濾波器往往不符合現實，需要的條件過于苛刻，在實際中，控制器或濾波器的模式不能完全跟隨系統模式轉換，因此，異步控制器/過濾器更現實，也更可取，并且越來越受到關注[20-21]．文獻[20]建立了對二維馬爾科夫跳的羅塞爾系統的H∞控制問題．文獻[21]研究了離散馬爾可夫跳系統的無源異步控制問題，采用隱馬爾可夫模型描述了系統模式與控制器模式之間的異步現象，利用矩陣不等式技術，給出了保證隱馬爾可夫跳變系統隨機無源性的3個等價充分條件．因此，我們研究了具有輸出反饋控制器的二維羅塞爾系統的異步耗散控制和穩定性，并給出了具有輸出反饋控制器的系統的穩定性和耗散的充分條件．

1 預備知識

在這篇文章中，我們將研究下列含有馬爾可夫跳的二維羅塞爾(Roesser)模型：

(1)

其中：

xh(i，j)∈Rnh表示在水平方向的狀態，同理，xv(i，j)∈Rnv表示在垂直方向的狀態，u(i，j)∈Rnu表示控制輸入，ω(i，j)∈Rnω表示擾動輸入，y(i，j)∈Rny表示輸出，z(i，j)∈Rnz表示控制輸出．A(γi，j)，B(γi，j)，C(γi，j)，E(γi，j)，F(γi，j)，G1(γi，j)，G2(γi，j)，G3(γi，j)，G4(γi，j)都是已知的相應維數的實值矩陣，它們都是γi，j的函數，γi，j是馬爾可夫鏈．γi，j∈H1={1，2，…，k1}并且具有轉移函數矩陣Λ=(λpq)，

(2)

這里的δ>0并且γi，j≥0是從i到j的轉移率．

注1本文研究的系統是帶有馬爾可夫跳的．不帶馬爾可夫跳的情形，能夠作為本文的一個極其特殊的情況．

根據現代概率理論，對?p，q∈H1有

(3)

系統的邊界條件(X0，Γ0)被定義為

(4)

定義零邊界條件：xh(0，j)=0，xv(i，0)=0，i，j=0，1，2，…．下面對X0進行假設．

假設1假設X0滿足下列條件，

(5)

這里的E(·)表示數學期望，|·|表示歐基米德范數．

假設γi，j的準確數值是難以獲得的．若(1)式中F(γi，j)為空矩陣，B1(γi，j)為列滿秩的矩陣，本文將設計如下異步輸出反饋控制器：

(6)

其中：Ac，11(ηi，j)，Ac，12(ηi，j)，Ac，21(ηi，j)，Ac，22(ηi，j)，Bc，1(ηi，j)，Bc，2(ηi，j)，Cc，1(ηi，j)，Cc，2(ηi，j)，K(ηi，j)都表示表示控制增益，其中ηi，j是決定控制增益的參數，ηi，j∈H2，H2={1，2，…，k2}．同時由γi，j得到條件概率πps，即

πps=P{ηi，j=s|γi，j=p}

(7)

本文利用蒙特卡洛方法得到條件概率矩陣Π=(πps)且滿足條件

1)πps∈[0，1]，

對任意的p∈H1，s∈H2．

為了方便計算，分別用p，q，s表示γi，j，γi+1，j(γi，j+1)和ηi，j，即Ap表示A(γi，j)．

將(6)式代入(1)式，得到下面的閉環動力系統：

(8)

這里的

下面根據一維系統的耗散性給出帶有馬爾科夫跳的二維羅塞爾系統的嚴格的2D(Q，S，R)-α耗散性定義和系統漸近穩定性．

定義1[20]對二維閉環系統ξ，輸入ω(i，j)≡0若對任意邊界條件(X0，Γ0)滿足

(9)

則稱二維閉環系統ξ是漸近均方穩定的．

定義2[20]假設二維閉環系統ξ滿足假設1，如果在零邊界條件和ω(i，j)∈l2{[0，∞)，[0，∞)}下，下列條件成立

(10)

注2(10)式是由Willems所提出的耗散不等式．

本文將設計一個形如(6)式的異步控制器來保證二維羅塞爾系統ξ的漸近穩定性和2D(Q，S，R)-α耗散性能．

2 主要結論

本節將研究對于帶有馬爾科夫跳的二維羅塞爾系統ξ的漸近均方穩定性和嚴格的2D(Q，S，R)-α耗散并提出控制器的設計方法．首先給出一個充分條件：

定理1在假設1的條件下思考閉環二維系統ξ，對給定的α>0以及對稱矩陣Q和R，其中

(11)

(12)

其中

則系統ξ是漸近均方穩定的和嚴格2D(Q，S，R)-α耗散的

證首先定義一個新的矩陣Λ：

(13)

將矩陣(12)前乘Λ，后乘ΛT，那么矩陣(12)轉換為下列矩陣

(14)

基于舒爾補定理，下列線性矩陣不等式與矩陣(14)是等價的：

(15)

(16)

對ΔV(i，j)求期望得

(17)

基于φ1得

(18)

將(18)式帶入(17)式得

(19)

根據(19)式得到

(20)

另一方面，

(21)

(22)

下面讓m和n趨于無窮大，

(23)

(24)

這表示(9)式成立，所以系統ξ是漸近均方穩定的．

(25)

根據舒爾補定理，矩陣(12)的期望等價于

(26)

這里的

下面定義J，由(11)式和(26)式得到

(27)

這里的

注意到

(28)

在零邊界條件下結合(27)，(28)式有

(29)

根據定義2系統ξ是嚴格的2D(Q，S，R)-α耗散．定理得證．

注4通過選擇Q=0，S=I和R=2αI，得到系統ξ是無源性的條件，即滿足

注5通過選擇Q=-I，S=0和R=(α2+α)I，得到了系統ξ是H∞性的條件，即滿足

雖然定理1給出了一個形式簡單的充分條件，但由于非線性的存在，將其直接用于控制器設計是困難的．接下來進一步研究控制器的設計方法．

(30)

這里的

(31)

(32)

然后將(33)式前乘diag{M-1，I，I，I}和后乘diag{M-T，I，I，I}．

(33)

這里的

注6定理2通過松弛矩陣技術和變量替換處理矩陣不等式(11)和(12)所涉及的非線性問題，成功地將控制設計問題轉化為一個基于LMI的問題，利用Matlab可以輕松地解決該問題．

3 數值模擬

本節將使用Darboux方程來驗證控制器的有效性．這里選擇以下的馬爾可夫跳躍系統，相應的系統矩陣如下所示：

G3=0.05G4=0.6

由馬爾可夫跳躍組成的系統矩陣滿足以下轉移概率矩陣和條件概率矩陣：

然后利用定理2中提出的控制器設計方法得到如下控制器增益：

接下來，將通過比較有控制輸入和無控制輸入時系統狀態的演化來進一步證明其有效性．因此，有必要提出邊界條件：

而w(i，j)是滿足正態分布的隨機數，根據這些零邊界條件和系數條件可以得到不帶有控制輸出的開環系統．選擇Q=-1，S=1，R=3，得到Qc(Ti，Tj)(圖1)與隨機場狀態z(i，j)(圖2)．從圖1可知參數α的最小值，即α=1.927 1．圖2可知控制器能有效地穩定開環系統．

圖1 Qc(Ti，Tj)

圖2 隨機場狀態Z(i，j)

5 結 論

本文研究了基于羅塞爾模型構建的二維馬爾可夫系統的2D(Q，S，R)-α耗散控制問題．考慮到系統模式信息的不可獲取性，我們將研究重點放在了異步控制上，建立了被控二維系統與控制器之間異步的隱馬爾可夫模型．將一維系統的耗散性定義推廣到二維系統，得到了保證系統漸近均方穩定性和2D(Q，S，R)-α耗散的充分條件，并且通過優化技術給出了一種控制器的設計方法．在之后的工作中，將考慮在有限域上開展異步控制器的設計及其有效性論證的工作．