變化環境下洪峰-洪量組合設計值計算方法研究

胡義明，梁忠民，姚 軼，羅序義，王 軍，李彬權

(河海大學水文水資源學院，江蘇 南京 210098)

工程水文計算是水利工程規劃和建設的基礎，國內外現行的工程水文計算理論與方法都要求水文極值系列具有平穩性。但受到氣候變化及人類活動的影響，流域降雨時空分配模式、產匯流規律[1]及河道洪水的天然過程發生了改變，進而導致諸多站點水文系列呈現非平穩性變異[2-3]。理論上，現行的基于平穩性假定的工程水文計算理論與方法已不再適用于變化環境下的非平穩性情形[4-7]。

變化環境下非平穩性水文頻率分析根據研究變量數目可以分為非平穩性單變量頻率分析和非平穩性多變量頻率分析。目前的研究主要集中在單變量方面，而關于非平穩性多變量洪水頻率分析的研究還較少[7-9]。由于水文事件(過程)通常包含多個特征屬性，如一場洪水過程包含洪峰和不同時段洪量特征等，采用單一水文變量(如洪峰或時段洪量)通常很難描述水文事件(過程)的真實特征，為此，進行變化環境下多變量洪水頻率分析更具有現實意義。相較于平穩性多變量頻率分析問題而言，非平穩性多變量頻率分析問題要復雜得多。在平穩性條件下，洪峰-洪量聯合分布函數被假定是唯一且不隨時間變化的，指定重現期對應洪峰-洪量組合設計值易于求解。然而在非平穩性條件下，不同水文變量間的相關關系隨著時間變化，即不同變量間的聯合分布函數在不同年份是不同的，這導致了指定重現期對應的洪峰-洪量組合設計值求解困難[9-10]。目前基于非平穩性多維極值統計理論開展變化環境下多變量水文頻率分析的研究正在興起，但主要還是集中在描述不同變量間的相關結構、聯合分布規律、極值事件對應重現期等特征隨時間的變化過程[11-14]。而從設計洪水角度(指定設計標準對應唯一的洪水設計值)，在非平穩性多變量條件下推求指定標準的洪峰-洪量組合設計值的研究還較為缺乏[9，15]。

本文基于時變Copula函數構建了可綜合考慮洪峰-洪量邊緣分布非平穩性和變量間相關結構非平穩性的時變動態Copula多維聯合分布模型，在此基礎上，提出采用等可靠度法和條件期望組合法推求變化環境下指定標準的洪峰-洪量組合設計值，并以黃龍灘站洪峰和年最大7 d洪量系列為例進行了示例研究。

1 理論與方法

1.1 時變Copula模型

變化環境下多變量水文頻率分析中的非平穩性包括各極值變量自身分布規律的非平穩性和不同變量間結構關系的非平穩性，而基于多維極值分布理論的時變Copula模型多被應用于描述變量邊緣分布和結構關系的非平穩性中。在時變Copula模型中，各變量邊緣分布中的參數及模型的結構參數不再是常數，其隨協變量因子(如時間)而變化。通過時變Copula模型可構建綜合考慮邊緣分布非平穩性和變量間相依結構非平穩性的時變動態Copula多維聯合分布函數，進而描述不同年份多變量聯合分布規律的演變特征。

以變量X和Y分別表示洪峰和洪量，假定其對應的時變分布函數分別為Fx(x|θxt) 和Fy(y|θyt)，即：

xt～Fx(x|θxt)

(1)

yt～Fy(y|θyt)

(2)

式中：θxt、θyt——t時刻變量X和Y分布函數的參數集，其隨時間變化，如對于具有3個參數的皮爾遜Ⅲ型分布而言，θxt={αxt,βxt,γxt}。

時變Copula模型的結構參數θc假定為時間的線性函數，即：

θct=b0+b1t

(3)

則時變Copula模型可表示為[16]

Fxy(x,y|θxt,θyt,θct)=C(Fx(x|θxt)Fy(y|θyt)|θct)=C(μt,vt|θct)

(4)

其中μt=Fx(xt|θxt)vt=Fy(yt|θyt)

式中：C(·)——聯合累計分布函數；θct——t時刻的時變Copula模型結構參數；μt、vt——t時刻變量xt和yt對應的概率值；b——系數。

由于Gumbel Copula函數適用于變量間存在正相關的情形，且可較好地描述變量間上尾部相關性等優點[16]，為此基于Gumbel Copula函數構建描述非平穩性洪峰-洪量聯合分布的時變Gumbel Copula多維聯合分布模型：

C(μt,vt|θct)=exp{-[(-lnμt)θct+(-lnvt)θct]1/θct}θct≥1

(5)

式中：θct——t時刻Gumbel Copula模型的結構參數。

相應的聯合概率密度函數c可表示為

c(μt,vt|θct)=C(μt,vt|θct)μt-1vt-1[(-lnμt)θct+(-lnvt)θct](-2+2/θct)·

[lnμtlnvt]θct-1{1+(θct-1)[(-lnμt)θct+(-lnvt)θct]1/θct}

(6)

在給定X=xp條件下，變量Y的條件概率密度函數fY|X(·)可表示如下：

fY|X(Y|X=xp,θyt,θct)=C(μp,vt|θct)μp-1vt-1[(-lnμp)θct+(-lnvt)θct](-2+2/θct)

(lnμplnvt)θct-1{1+(θct-1)[(-lnμp)θct+(-lnvt)θct]1/θct}fy(y|θyt)

(7)

其中μp=fx(xp|θxt)

公式中參數的估計采用分步法思想，即首先估計邊緣分布函數中的參數，然后再估計時變Copula函數中的結構參數。

由式(5)可以看出，當采用時變Gumbel Copula模型描述洪峰-洪量聯合分布規律隨時間演變的非平穩性特征時，會導致洪峰-洪量聯合分布在不同年份是不同的。對于給定的X=xp，Y對應的條件概率分布fY|X(Y|X=xp,θyt,θct)在不同時刻也是不同的。因此，本文研究的核心問題為在給定某一標準洪峰設計值X=xT條件下，計算X對應Y的設計值y相應，進而獲得洪峰-洪量的組合設計值(xT，y相應)。

1.2 等可靠度法

等可靠度法是一種變化環境下單變量水文設計值估計方法。該方法認為雖然環境變化導致了水文極值的非一致性，但根據非一致性水文極值系列推求的水文設計值所具有的水文設計可靠度不應該被降低，至少應與現行一致性條件下頻率計算方法提供的設計值具有相同的可靠度，進而通過可靠度指標將設計值估計與工程使用年限聯系起來，一定程度上降低了時變概率分布模型隨時間外延而給設計值估計帶來的不確定性[17]。

以RS表示一致性條件下，工程設計年限L和設計重現期T對應的水文設計可靠度，則有：

(8)

以RNS表示非一致性條件下，工程設計年限L和設計重現期T對應的水文設計可靠度，則有：

(9)

式中：Ft(x)——第t年水文極值的概率分布函數。

根據等可靠度方法，令RNS=RS，即：

(10)

通過求解式(10)，即可獲得非一致性條件下的設計值XT,NS。

1.3 條件期望組合法

根據洪峰-洪量聯合分布的概率密度函數，可以推求給定X=xp條件下Y的條件概率密度函數(式(7))。假定主控變量為X，其對應的流量值為xp，則可采用式(11)推求xp對應Y的條件期望值yt,E，(xp，yt,E) 即為X和Y的條件期望組合：

(11)

需要注意的是，由于式(11)中條件概率密度函數fY|X(·)是隨時間變化的(式(7))，因此，在不同時刻計算得到的期望值yt,E是不同的。

1.4 基于等可靠度法和條件期望組合法的洪峰-洪量組合設計值

由于主控變量X的分布函數Fx(x|θxt)是時變的，為此，對于指定的不超過概率p，主控變量X對應的分位點xp隨著時間也是變化的，即：

(12)

根據式(12)計算獲得不同時刻主控變量X對應的分位點xt,p后，再結合式(12)可計算得任一時刻xt,p對應的變量Y的期望值yt,p。即獲得標準p條件下，任一時刻主控變量X與次要變量Y的條件期望組合為(xt,p,yt,E)。

根據期望組合(xt,p,yt,E)樣本系列，可獲得p條件下xp和yE間的統計關系，即:

yE=f(xp)

(13)

對于指定設計標準(重現期T)，T=1/p。采用等可靠度法計算主控變量X的設計值xT，隨后通過條件期望組合關系(式(14))，獲得給定設計值xT條件下次要變量Y對應的條件期望值yT,E。計算獲得的組合設計值(xT,yT,E) 即為非一致性條件下，重現期T對應的主控變量X和次要變量Y的期望組合設計值。

yT,E=f(xT)

(14)

2 實例分析

以黃龍灘站1956—2014 年共 59 年的洪峰和年最大7 d洪量系列為對象進行實例分析。黃龍灘站位于漢江支流堵河的下游，控制流域面積為11 140 km2，占整個堵河流域面積的95%左右。由于該流域的竹溪河水庫及潘口、松樹嶺等水電站的運用，導致不同時期洪水形成條件發生變化。圖1為洪峰系列和年最大7 d洪量系列，從圖1可以看出洪峰系列和年最大7 d洪量系列存在明顯的下降趨勢，在0.05顯著性水平下，Mann-Kendall統計量的計算值分別為-3.35和-2.72，其絕對值均大于0.05顯著性水平下對應的閾值1.96。

圖1 洪峰和年最大7 d洪量系列Fig.1 Time series of flood peak and 7-day flood volume

為了描述非平穩性洪峰和年最大7 d洪量的分布特征，構建了基于廣義極值分布函數(GEV)的變參數概率分布函數模型。在該模型中，GEV分布函數的位置參數或尺度參數隨時間變化，而形狀參數為常數。模型參數采用貝葉斯方法并結合MCMC抽樣技術進行估計，以最大后驗估計作為模型使用參數。在抽樣過程中，平行運行5條鏈，每條鏈上抽取10 000個樣本(每條鏈都已滿足收斂要求)，去掉預熱的9 900個樣本，每條鏈上僅采用最后的100個樣本，5條鏈共計500個樣本值，其中使參數后驗密度值達到最大的即參數的最大后驗估計[18]。采用赤誠信息準則(AIC)指標對模型的擬合效果進行評估，結果見表1。從表1可以看出，對于洪峰系列，GEV2模型的AIC值最??；而對于年最大7 d洪量系列，GEV1模型的AIC值最小。因此，洪峰和年最大7 d洪量系列對應的最優模型分別為GEV2和GEV1。

表1 AIC指標值計算結果

進一步采用Wormplot指標對基于廣義極值分布函數的變參數概率分布函數模型的擬合效果進行評估，結果見圖2。從圖2可以看出，無論是洪峰系列還是年最大7 d洪量系列，偏差點據基本都落在90%置信限組成的區域內，表明該模型的擬合效果較好。

圖2 變參數概率分布函數模型的擬合效果Fig.2 Fitting performance of probability density distribution function with variable parameter

圖3為在0.02、0.05和0.1超過概率Ep下，洪峰和年最大7 d洪量分位數隨時間的演變特征。從圖3可以看出，無論是洪峰還是7 d洪量，不同超過概率條件下分位點估計值都隨時間不斷減小，這與實測系列呈減小趨勢相吻合。

圖3 不同超過概率下洪峰和年最大7 d洪量分位數隨時間演變特征Fig.3 Evolution characteristics of flood peak and maximum 7-day flood volume over time with different exceedance probability

圖4為洪峰和年最大7 d洪量對應的分布函數中參數的時變過程及Copula模型結構參數的時變過程。其中Copula模型結構參數的估計同樣也采用了貝葉斯方法并結合MCMC抽樣技術，與各變量分布函數中的參數估計類似。

圖4 洪峰、洪量邊際分布參數及Copula模型結構參數的時變過程Fig.4 Time-varying process of marginal distribution parameters of flood peak/ flood volume and time-varying process of Copula dependence parameters

圖5為1956—2014年不同聯合概率(0.2、0.4、0.6、0.8和0.95)條件下，洪峰和年最大7 d洪量聯合分布規律隨時間演變特征。從圖5可以看出，對于指定聯合概率(如0.95)而言，其對應的洪峰-洪量聯合分布規律從1956年開始隨時間發生左移，即同一概率對應的洪峰-洪量聯合分布特征隨時間是變化的。

圖5 1956—2014年洪峰和年最大7 d洪量聯合分布隨時間的演變特征Fig.5 Evolution characteristics of joint distribution of flood peak and maximum 7-day flood volume over time from 1956 to 2014

以年最大7 d洪量為主控變量，根據其對應的變參數概率分布函數模型，可計算任一時刻t指定超過概率Ep對應的分位數xt,p。本文計算了t為1956—2014年，在超過概率0.02、0.05和0.10條件下，不同年份年最大7 d洪量的分位數值xt,p(圖3)。根據式(12)，計算任一年份洪量分位數xt,p對應的洪峰的期望值yt,E，進而獲得了指定Ep條件下年最大7 d洪量和洪峰的條件期望組合系列(xt,p,yt,E)。通過擬合洪峰-洪量期望組合系列，可獲得Ep對應的洪峰-洪量期望組合關系曲線。圖6為超過概率0.02和0.05(對應重現期分別為50 a和20 a)條件下，洪峰和年最大7 d洪量的期望組合關系曲線。從圖6可以看出，不同重現期下擬定的洪峰-洪量期望組合關系曲線均能很好地擬合期望組合點據。

圖6 指定重現期條件下的洪峰-洪量期望組合關系曲線Fig.6 Expected combination relationship curve of flood peak and flood volume corresponding to specified return periods

基于等可靠度方法，計算年最大7 d洪量(主控變量)在不同工程設計年限L(20 a、30 a、40 a和50 a)和不同設計重現期T(10 a、20 a和50 a)條件下的設計值，并結合指定重現期條件下的洪峰-洪量期望組合關系曲線，計算不同工程設計年限和不同設計重現期條件下，洪量設計值對應的洪峰條件期望值，得到了指定重現期和工程設計年限對應的洪峰-洪量設計值的期望組合結果如表2所示。

表2 不同設計標準及工程設計年限條件下洪峰-洪量設計值的期望組合結果

從表2可以看出，隨著工程設計年限的增加，指定重現期對應的主控變量(年最大7 d洪量)設計值呈減小變化，這與年最大7 d洪量系列呈減小趨勢的實際情況符吻合。同樣，隨著工程設計年限的增加，指定重現期下洪量設計值對應的洪峰條件期望值也呈減小變化，這也與洪峰系列呈減小趨勢的實際情況相吻合?？傮w來看，指定重現期對應的洪峰-洪量設計值期望組合隨著工程使用年限的增加而呈減小趨勢，這是由于洪峰和洪量系列本身呈減小趨勢導致。

3 結 論

a.針對變化環境下洪峰和洪量系列的非平穩性，基于Copula函數，構建了可綜合考慮洪峰和洪量邊緣分布非平穩性及洪峰-洪量相關結構非平穩性的時變動態Copula模型，分析了洪峰-洪量聯合分布特征隨時間的非平穩性演變規律。黃龍灘站實例研究結果表明，在相同的聯合概率條件下，洪峰和年最大 7 d洪量聯合分布特征在不同年份是不同的，其隨時間變化顯著。

b.為了解決平穩性條件下多變量組合設計值計算方法不適用于變化環境下非平穩性情形的難題，提出基于等可靠度法和條件期望組合法的變化環境下洪峰-洪量組合設計值計算方法。黃龍灘站實例研究結果表明，指定重現期對應的洪峰和年最大 7 d洪量設計值的期望組合隨著工程使用年限的增加而呈減小趨勢，與洪峰和洪量系列本身呈減小趨勢吻合，同時也表明非平穩性條件下設計洪水計算需要考慮工程使用年限的影響。

c.作為示例性研究，本文在非一致性洪峰和洪量的邊緣分布函數構建中，選用了具有較好擬合效果的基于廣義極值分布函數的時變概率分布模型。在該時變模型中，僅考慮了時間因子對分布函數中參數的影響，而沒有考慮其他因子(如降雨、下墊面變化等)的影響。在非一致性洪峰-洪量聯合分布規律描述方面，鑒于Gumbel Copula函數可較好地描述變量間上尾部的正相關性優點，構建了基于Gumbel Copula函數的時變動態Copula模型，而沒有綜合分析其他不同Copula函數。在以后的研究中，將進一步考慮基于不同類型分布函數、分布函數中參數的不同驅動關系及不同類型Copula函數，通過對比優選的方式確定優勢邊緣分布和聯合分布模型。