廣義布里淵區與非厄米能帶理論*

胡渝民 宋飛 汪忠

(清華大學高等研究院,北京 100084)

能帶理論是凝聚態物理的基石之一,其應用范圍已延伸至許多其他物理領域.近年來,眾多非厄米物理問題要求將能帶理論推廣至非厄米體系.人們在非厄米拓撲體系的研究中發現,這一推廣需要修改能帶理論的若干基本概念.非厄米趨膚效應(non-Hermitian skin effect)這一普遍的非厄米現象導致了布洛赫能帶圖像的失效以及常規體邊對應關系的破壞.在能譜計算與拓撲不變量定義中,通常的布里淵區概念需要代之以廣義布里淵區(generalized Brillouin zone).非厄米體系的一系列獨特現象可以在廣義布里淵區下得到精確刻畫.基于廣義布里淵區的非厄米能帶理論成功描述并預言了非厄米系統的大量新穎現象.因其相對布洛赫圖像的偏離,這一理論被稱為非布洛赫能帶理論(non-Bloch band theory).本文梳理了廣義布里淵區和非布洛赫能帶理論的主要概念,并簡要介紹了該理論在非厄米體邊對應原理、格林函數、波包動力學、手征衰減和非布洛赫宇稱-時間對稱性等方面的應用.

1 引言

在量子力學中,厄米哈密頓量 (H=H?) 通常描述了封閉量子系統的幺正演化.然而,這是一種非常理想的情況.實際上,很多物理系統與環境之間的耦合不可忽略,這些耦合使得物質和能量在系統與環境之間交換,而這些交換過程無法被系統自身的厄米哈密頓量所準確描述.為了描述系統與環境的耦合,一種方法是將系統和環境放在一起視為一個封閉大系統,并試圖用整個封閉系統的厄米哈密頓量來刻畫其演化.這種方法實際運用起來通常十分困難.封閉大系統的自由度時常遠大于我們關心的物理系統;與之相應,其哈密頓量也非常復雜.一個更為可行的做法是聚焦于所關心的物理系統自身的自由度,將其作為一個開放體系(open system).相應地,其時間演化不能由一個厄米的哈密頓量來生成,需要采用非厄米的哈密頓量(或非幺正的時間演化算符).對于經典波體系,類似的方案也行之有效.

開放量子體系的一個簡潔描述方式是Lindblad量子主方程[13]:

其中ρ代表系統的密度矩陣;H表示系統幺正演化的哈密頓量;Lμ是描述系統與環境之間耦合導致的量子躍遷(quantum jump)的Lindblad 耗散算符,其表明環境的影響將使得系統偏離自身的幺正演化.(1)式可簡記為,其中L通常稱為Liouvillian 超算符.

Liouvillian 超算符是一個非厄米算符,可以視為對應于密度矩陣的有效非厄米哈密頓量,它生成了密度矩陣的非幺正演化.

式中的前兩項代表了密度矩陣在非厄米有效哈密頓量Heff作用下的非幺正演化,而最后一項代表了環境耦合帶來的量子躍遷.

從一個初始波函數|ψ〉出發,在較短的時間內波函數將沿著非厄米有效哈密頓量Heff進行演化:.其有一定的概率在某一時刻t發生量子躍遷,得到一個新的態:|ψ(t)〉→Lμ|ψ(t)〉.隨后這個態將繼續在Heff的作用下進行演化,直到下一次量子躍遷發生.這個過程定義了量子態|ψ〉在非厄米有效哈密頓量和量子躍遷共同作用下的一條量子軌跡(quantum trajectory)[4].實驗上,可以使測量儀器對發生量子躍遷與否作出響應,從而根據測量結果來篩選某條指定的量子軌跡,這對應了實驗測量中的后選擇(post selection).由于密度矩陣可以視作許多純態在經典概率下的疊加,所以對所有可能的量子軌跡進行加權求和可得到密度矩陣在Lindblad 量子主方程下的演化.

由此可見,為了研究開放量子系統的性質,需要研究非厄米算符L和Heff,Heff描述了后選擇下波函數的時間演化,而L描述了密度矩陣(無須后選擇)的時間演化.

體系的開放性與耗散性在冷原子和量子光學等物理體系中非常普遍.在凝聚態體系中,由相互作用或者無序導致的有限準粒子壽命也會引入非厄米物理[5-8].除此之外,非厄米物理在光學或力學等經典波系統中也發揮著重要作用.例如,麥克斯韋方程可以寫成和薛定諤方程類似的數學形式,而在光子晶體系統中,介質對光的吸收或者光向系統外界的輻射使得這一方程包含非厄米項.適當調控光學系統的性質可使其呈現出豐富的非厄米物理現象,如光子拓撲絕緣體中的拓撲激光[9,10]和光子能帶中連接奇異點(exceptional point)的體費米弧(bulk Fermi arc)[11].

由于非厄米物理廣泛存在于各類物理系統中,包括量子光學、冷原子、經典波、凝聚態體系等,而且具有許多超出厄米系統范式的新穎物理性質,所以非厄米物理近年來成為一個廣受關注的方向[12,13].

21 世紀,凝聚態物理一個重要的研究方向是拓撲物態,其中最簡單且應用廣泛的基礎內容是拓撲能帶理論.在有平移對稱性的厄米系統中,布洛赫定理(Bloch theorem)扮演著至關重要的角色.布洛赫波函數所蘊含的全局拓撲結構描述了能帶的拓撲性質,激發了人們對拓撲材料的研究和探索[14-17].這些拓撲結構體現為拓撲不變量,一般定義在布里淵區(Brillouin zone,BZ)上.例如,刻畫量子霍爾效應的陳數(Chern number)定義為布洛赫波函數的Berry 曲率在布里淵區上的積分.拓撲能帶理論基于拓撲不變量和對稱性對不同維度的拓撲系統進行分類,為拓撲材料的研究提供了一個理論框架[16].其中,拓撲物態的一條中心原理是“體邊對應”(bulk-boundary correspondence),該原理表明周期邊界條件(periodic boundary condition,PBC)下的布洛赫波函數所蘊含的拓撲不變量與開放邊界條件(open boundary condition,OBC)下受到拓撲保護的邊界態數目之間有著一一對應的關系.拓撲保護的邊界態具有新穎的物理性質.與偶然出現的邊界態不同,拓撲邊界態具有很強的穩定性,不會被邊界上的無序或雜質破壞.除了科學意義本身,拓撲態的獨特物理性質也具有重要的應用前景.

拓撲能帶理論的成功從實驗和理論的角度激發了人們對拓撲物理的探索.在這之后,拓撲能帶理論被廣泛應用于物理學的其他領域.例如,光子晶體的能帶結構中也蘊含著諸多拓撲性質,這方面的研究構成了拓撲光子學方向[18].

拓撲能帶理論在過去十幾年取得了巨大的成功.然而,這些理論僅適用于描述厄米系統.前面提到,非厄米物理現象在自然界普遍存在.一個自然的問題是:非厄米系統中的拓撲能帶理論會有怎樣的形式? 它是厄米拓撲能帶理論的簡單推廣還是具有全新的特征? 回答這些問題不僅是理解非厄米拓撲態的基礎,也對研究其他非厄米物理現象有重要意義.

關鍵進展始于“非厄米趨膚效應”(non-Hermitian skin effect,NHSE) 的發現[19-25].不同于厄米系統,具有平移對稱性的非厄米系統的一個重要性質是其周期邊界條件和開放邊界條件下的本征態可以非常不同.在厄米系統中,開放邊界條件下的本征態是周期邊界條件下的布洛赫波(即周期調制的平面波)的線性疊加;而在非厄米系統中,開放邊界條件下的本征態通常以指數衰減的形式局域在系統的邊界附近,這一現象被命名為“非厄米趨膚效應”[19].這一效應意味著布洛赫波圖像的失效,也使得非厄米系統的性質對邊界條件十分敏感.

正是由于這種邊界敏感性,在非厄米系統中,周期邊界條件下的拓撲不變量(即定義在布里淵區上的拓撲不變量)不再能準確地描述開放邊界條件下的邊界態的性質.這意味著厄米系統的傳統體邊對應原理在非厄米系統中將會失效.為了描述非厄米系統的拓撲性質,需要發展能夠容納非厄米趨膚效應的非厄米能帶理論(non-Hermitian band theory).鑒于布洛赫波圖像的失效,這一能帶理論一般稱為“非布洛赫能帶理論”(non-Bloch band theory)[19,26].這一理論修改了傳統能帶理論的若干基本概念,如布里淵區被廣義布里淵區(generalized Brillouin zone,GBZ)所取代.相應地,拓撲不變量的定義域也從布里淵區變為廣義布里淵區.這些拓撲不變量被稱為非布洛赫拓撲不變量(non-Bloch topological invariants),它們對邊界態的性質給出準確的預言.非布洛赫拓撲不變量與拓撲邊界態的精確對應關系被稱為非布洛赫體邊對應(non-Bloch bulk-boundary correspondence)[19].

本文的目的是簡介非厄米能帶理論的基本概念及其應用.第2節首先介紹非厄米趨膚效應和廣義布里淵區這兩個基本概念;隨后討論廣義布里淵區的基本性質.第3節將討論非厄米能帶理論的若干應用,包括非厄米體邊對應、非厄米格林函數、波包動力學、手征衰減(chiral damping)、非布洛赫宇稱-時間對稱性(non-Bloch parity-time symmetry,or non-Bloch PT symmetry)等現象.第4節是一個簡短總結.隨著相關研究的不斷深入,非厄米能帶理論可能會在越來越多的物理系統中得到應用,其基礎理論也將進一步發展完善.由于篇幅所限,本文未能覆蓋本方向的所有重要進展,感興趣的讀者可進一步閱讀文中列出的參考文獻.

2 廣義布里淵區與Non-Bloch 能帶理論

2.1 非厄米趨膚效應

為了引入非厄米能帶理論,首先回顧厄米系統的布洛赫能帶理論.布洛赫定理表明,具有平移對稱性的厄米系統在周期邊界條件下的本征態是被布洛赫波函數調制的平面波〈x|n,k〉=un,k(x)eikx,其中實數k是位于第一布里淵區的準動量,n表示能帶指標,un,k(x)=un,k(x+a) 是周期性的布洛赫波函數.在這里,a表示晶格常數.這些本征態所對應的本征值被記為En(k),它們表征了系統的能帶結構.

周期邊界條件和開放邊界條件下的哈密頓量相差一個連接兩端邊界的邊界項δH.如果以周期邊界條件下的本征態{|n,k〉}作為基矢,該邊界項將使得不同的本征態{|n,k〉}之間存在散射,其散射矩陣元,其中|δH|表示邊界項的大小而L表示系統的長度.因為且δH只會局域地影響邊界附近的波函數,所以散射矩陣元正比于 1/L.

在熱力學極限L →∞下,上述邊界項的散射矩陣元趨于零,其對能譜的影響可以忽略.因此,在開放邊界條件下,厄米系統的連續能譜仍由En(k)給出.系統的本征態是上述調制平面波的線性疊加,其在布洛赫波基矢下的展開系數則由邊界條件的細節決定.

然而,在一般的非厄米系統中,上述性質會發生重大變化:周期邊界條件和開放邊界條件下的系統不再具有相似的能譜和波函數.這種現象在非厄米系統中普遍存在.為了直觀地說明這種變化,下面考慮一個簡單的例子—非厄米Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 模型,其布洛赫哈密頓量為[19,27]

其中dx=t1+t2cosk,dy=t2sink.圖1(a)給出了它的實空間哈密頓量.t1和t2分別表示原胞內和原胞之間的躍遷,γ代表非厄米項.非厄米SSH模型有著新奇的拓撲性質,相關內容將在第3.1節討論.本節主要討論非厄米SSH 模型在不同邊界條件下能譜和波函數的行為,以引出non-Bloch 能帶理論.

非厄米SSH 模型的手征對稱性σzH(k)σz=-H(k)使得其能譜以 (E,-E) 的形式成對出現.在周期邊界條件下,非厄米SSH 模型HPBC的能譜是上述布洛赫哈密頓量的本征值E±(k)=其在復平面上形成閉合的圈(如圖1(c)).當t1=t2±γ/2 (t1=-t2±γ/2) 時,系統的能譜在k=π(k=0) 關閉能隙.

圖1 (a) 非厄米SSH 模型示意圖;(b) 開放邊界條件下本征態的空間分布,其中 |ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2,鏈長 L=40 ;(c) 非厄米SSH 模型在周期邊界條件(黑色虛線)和開放邊界條件(藍色實線)下的能譜;(d) 非厄米SSH模型的廣義布里淵區(藍色實線),虛線為布里淵區.參數值:t1=2.5,t2=1,γ=4/3 [19]Fig.1.(a) Sketch of non-Hermitian SSH model;(b) eigenstate profiles under open boundary condition,|ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2and L=40 ;(c) energy spectrum under periodic boundary condition (black dashed lines) and open boundary condition (blue solid lines);(d) generalized Brillouin zone (blue solid line) and Brillouin zone (black dashed line).Parameters:t1=2.5,t2=1,γ=4/3 [19].

在傳統的能帶理論中,實空間的布洛赫波圖像對應的倒空間概念是布里淵區.我們自然會問,在非厄米趨膚效應下,是否仍然存在倒空間(reciprocal space)的概念? 由此問題出發,可以引入廣義布里淵區的概念[19].定義哈密頓量H(β)≡H(k →-i lnβ),或者H(β)≡H(k)|eik→β.通常的布里淵區就是單位圓|β|=1,在單位圓上,H(β) 給出了非厄米SSH 模型在周期邊界條件下的本征能量(圖1(c)).按照上面的分析,如果將波矢k變為復數k →k-i lnr,即|β|=r,哈密頓量H(β) 將給出開放邊界條件下的能譜(圖1(c)).實際上,|β|=r所確定的復平面上的圓定義了非厄米SSH模型的廣義布里淵區(圖1(d)),它有別于傳統的布里淵區(|β|=1),在非厄米系統中扮演著厄米系統里布里淵區的角色.當β在廣義布里淵區上移動時,H(β)的本征值和|β|x分別給出了實空間的能譜和具有非厄米趨膚效應的波函數[19].

非厄米趨膚效應廣泛存在于非厄米系統[23-25,28-43].它體現了非厄米系統對邊界條件的敏感性.這種敏感性使得系統波函數在周期邊界條件下和開放邊界條件下呈現出截然不同的行為.

2.2 廣義布里淵區

從非厄米SSH 模型的例子可以看到,非厄米系統在開放邊界條件下可呈現出非厄米趨膚效應,其能譜和波函數由廣義布里淵區給出.在非厄米系統中,廣義布里淵區扮演著厄米情況下布里淵區的角色,它決定了非厄米系統中諸多獨特的行為.因此,我們需要更加仔細地研究廣義布里淵區的普遍定義與計算方法.

2.2.1 非厄米SSH 模型的廣義布里淵區

為了得到廣義布里淵區,需要考察邊界條件的重要作用.例如,對于圖1(a)所示的非厄米SSH模型,可以通過邊界條件解析地求出其開放邊界條件下的能譜[19].假設系統長度為L,在開放邊界條件下,這個模型的實空間薛定諤方程為

(9)式的兩個方程在方程(8) 的聯系下是等價的.特征方程的兩個根表明系統中存在兩個獨立傳播的指數形式波函數,它們將以一定的形式線性疊加,以滿足相應的邊界條件.因此,實空間波函數的一般形式可表達為

由于方程(8)和方程(9),上述波函數有兩個獨立的參量,它們的取值將由邊界條件給出.系統的邊界條件為

此即非厄米SSH 模型的半徑r的廣義布里淵區(圖1(d)),與相似變換所得的結果一致.滿足這個方程的能量E將構成該模型在開放邊界條件下的能譜(圖1(c)).

然而,目前所討論的非厄米SSH 模型的圓形廣義布里淵區并不是普遍的情況.一般的非厄米模型的特征方程存在不止一對β根,所以此時邊界條件的應用將會復雜一些.對于這些一般情況,是否能得到普遍的廣義布里淵區方程?

例如,圖3(a)表示具有遠程躍遷項t3的非厄米SSH 模型,其布洛赫哈密頓量為[19]

其中dx=t1+(t2+t3)cosk,dy=(t2-t3)sink.這個模型在開放邊界條件下仍具有非厄米趨膚效應(圖3(b)),但是該模型的特征方程有4 個根,此時無法判斷是哪些根應該滿足上述|β|模相等的條件,這個模型也無法相似變換為一個厄米模型.而且可以發現,其廣義布里淵區不再是一個圓(圖3(d)).為了描述一般的非厄米系統,需要更加普遍地定義廣義布里淵區.

圖3 (a) 具有遠程躍遷項 t3的非厄米SSH 模型示意圖;(b) 開放邊界條件下本征態的空間分布,其中|ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2,L=40 ;(c) 周期邊界條件(黑色虛線)和開放邊界條件(藍色實線,通過廣義布里淵區計算)下的能譜,橙色圓點代表直接對角化實空間哈密頓量所得的 L=40 系統在開放邊界條件下的能譜;(d) 廣義布里淵區(藍色實線)和輔助廣義布里淵區(灰色實線),參數取值:t1=1.1,t2=1,t3=0.2,γ=4/3 [19]Fig.3.(a) Sketch of non-Hermitian SSH model with t3 being the third nearest neighbor hopping term;(b) eigenstate profiles under open boundary condition with |ψ(x)|2=|ψA(x)|2+|ψB(x)|2and L=40 ;(c) energy spectrum under periodic boundary condition (black dashed lines) and open boundary condition (blue solid lines,calculated from the generalized Brillouin zone).Orange points are eigenenergies from directly diagonalizing the real-space Hamiltonian of an open chain with L=40 ;(d) generalized Brillouin zone (blue solid line) and auxiliary generalized Brillouin zone (gray solid line).Parameters:t1=1.1,t2=1,t3=0.2,γ=4/3[19].

2.2.2 一般模型的廣義布里淵區

本節將討論一般模型的廣義布里淵區的定義.為了簡便,首先討論一維單帶非厄米模型的廣義布里淵區,隨后再推廣到多帶模型.考慮一般的一維單帶模型,其布洛赫哈密頓量記為h(k)=表示格點模型的最大躍遷范圍;2m+1個不同格點之間的躍遷振幅t-m,···,tm均在復數域上取值;實數k ∈[-π,π].將單位圓上的相位因子 eik替換為一般復數β,eik →β,可定義一個洛朗多項式:

該多項式對應的實空間哈密頓量為

在格點模型里,空間坐標x的取值為整數,表示該處的粒子湮滅算符.

假設在遠離邊界的區域,實空間波函數具有如下形式:ψ(x)=〈x|ψ〉=Cβx,其中C是與格點坐標x無關的常數.給定復數能量E,實空間薛定諤方程H|ψ〉=E|ψ〉將給出如下限制:

(17)式被稱為系統的特征方程.其表明對于能量為E的模式,只有滿足ψ(x)～βn(E)x這種形式的空間波函數才能在系統中存在,其中βn(E) 是方程(17)的 2m個根之一.按照根的模長可將它們排序為|β1(E)|≤|β2(E)|≤···≤|β2m(E)|.

如果考慮邊界條件,系統的本征能量不僅要滿足特征方程(17),其所對應的本征波函數還需要滿足系統的邊界條件.例如,周期邊界條件要求ψ(x)=ψ(x+L),其中L為周期系統的長度.這種邊界條件要求特征方程至少存在一個根βn(E)使得=1.在熱力學極限下,這個條件變為|βn(E)|=1,亦即特征方程存在一個根βn(E)=eik,k為實數.因此,周期邊界條件下的能譜為E(k)=h(eik).

然而,開放邊界條件則要求ψ(x ＜1)=0=ψ(x ＞L).這種邊界條件要求 2m個指數形式的波函數的線性組合需要在系統的左右兩端相互抵消,從而形成“駐波”.類似圖2的分析可以發現,為了滿足系統左右兩端的開放邊界條件,要求對于某一個指數變化的,存在一個與之對應的,使得它們在x=1,L附近有相同的數量級.這個條件要求存在一對特征方程的根βi,j,它們滿足[19]:

圖2 非厄米體系在開放邊界條件下形成以指數衰減的方式局域在邊界的“駐波”,此駐波由 β1波和β2波疊加而成Fig.2.An eigenstate wavefunction under open boundary condition,which is a superposition of the β1 wave andβ2wave.

即這兩個根的模長必須相等.只有滿足這個方程的能量E才有可能在開放邊界條件下形成駐波.在這個方程中,i,j ∈{1,2,···,2m}.那么,是不是所有滿足這個方程的能量都是系統在開放邊界條件下的本征值呢？更加仔細地研究邊界條件可以發現(見第2.3節),如下方程將描述開放邊界條件下的能譜和波函數[19,26]:

方程(19)說明特征方程(17) 的中間兩個根所對應的波函數構成了開放邊界條件下的“駐波”.滿足方程(19)的能量E定義了開放邊界條件下非厄米系統的能譜EOBC.此時,當E ∈{EOBC}時,系統的波函數具有如下形式:|ψ(x)|～|βm(E)|x.當|βm(E)|/=1時,波函數以指數衰減的形式局域在邊界,呈現非厄米趨膚效應.

與此同時,當E ∈{EOBC}時,它的兩個根βm(E),βm+1(E)在復平面上形成一個有別于單位圓的圍繞原點的圈(圖1(d)和圖3(d)).這個由所有滿足條件的βm(E),βm+1(E) 所構成的集合被稱為廣義布里淵區[19,26].當β在廣義布里淵區上移動時,由特征方程給出的E(β) 代表了熱力學極限下開放邊界條件下的連續能譜.因此,方程(19)被稱為廣義布里淵區方程.

基于廣義布里淵區發展的非厄米能帶理論被稱為non-Bloch 能帶理論.在厄米系統中,|βm(E)|=|βm+1(E)|=1,廣義布里淵區始終是單位圓,即傳統的布里淵區β=eik(k為實數).此時,非厄米能帶理論回到了厄米情形時的布洛赫能帶理論.廣義布里淵區之于非厄米系統,發揮著類似于布里淵區之于厄米系統的作用.值得補充說明的是,廣義布里淵區的應用范圍并不限于最常見的開放邊界條件,對于其他類型的邊界條件,如疇壁(domain wall)邊界條件同樣適用[44].

2.3 廣義布里淵區方程的推導

本節將通過全面考察邊界條件來嚴格推導廣義布里淵區方程(19),并提供一種廣義布里淵區的簡便計算方法.跳過本節并不影響讀者理解后續物理內容.

考慮方程(15)所描述的一維單帶非厄米模型,在開放邊界條件下,假設能量為E的本征態波函數為,其中βn是特征方程h(β)-E=0的根而Cn是依賴于邊界條件的 2m個待定系數.當 1?x ?L時,容易驗證這個波函數滿足薛定諤方程:

而在邊界附近,薛定諤方程不再是(20)式的形式.系統的左右邊界各包含m個邊界方程.這 2m個方程將被用來確定開放邊界條件下本征態ψ(x) 的具體形式.在左邊界x=1附近的m個方程具有如下形式:

其中j=1,2,···,m.這個條件等價于ψ(-m)=ψ(-m+1)=···=ψ(-1)=0.同理在右邊界x=L附近的m個方程有如下形式:

其中j=1,2,···,m.(23)式中gj,l和gj+m,l是2m×2m個由系統參數t-m,···,tm和本征能量E所確定的與系統長度L無關的系數.這 2m個線性方程具有非零解的條件為其系數矩陣的行列式等于零,即[26]

此即方程(19)給出的廣義布里淵區方程.

上述理論可以直接推廣到多帶模型.考慮到多帶模型的布洛赫哈密頓量H(k)是一個q×q的矩陣(如方程(4)),其中q為能帶的個數,同樣假設不同原胞之間最遠的躍遷距離為m,此時的特征方程可定義為

式中H(β)≡H(k →-i lnβ),而 I是q×q單位陣.一般情況下,上述特征方程有 2mq個根,將其按照|β1|≤···≤|β2mq|的順序排列.在多帶模型中,開放邊界條件的左邊界和右邊界各有mq個邊界方程.類似的方法可以給出多帶的廣義布里淵區方程:

同樣地,中間兩個根的模長相等給出了廣義布里淵區.

將上述非厄米能帶理論用于圖1(a)的非厄米SSH 模型可直接計算其廣義布里淵區.延拓方程(4)的哈密頓量至復平面,H(β)≡H(k →-i lnβ),非厄米SSH 模型的特征方程 det(H(β)-EI)=0 如方程(8)所示.根據韋達定理,這個方程的兩個根滿足.于是,根據廣義布里淵區的定義可得|β1(E)|=|β2(E)|=r ≡,即方程(13).這說明非厄米SSH 模型的廣義布里淵區是復平面上半徑為r的圓(圖1(d)),與相似變換的分析和解析求解的結果一致.

對于一般的非厄米模型,廣義布里淵區不再是一個圓.例如,考慮圖3(a)所示具有遠程躍遷項t3的非厄米SSH 模型,將方程(14)的布洛赫哈密頓量H(k)延拓為H(β)≡H(k →-i lnβ),可得其特征方程為

將(29)式的右邊記為g(β),它是一個關于β的多項式.特征方程E2=g(β)有4 個根|β1(E)|≤|β2(E)|≤|β3(E)|≤|β4(E)|.考慮到方程(19)要求存在模相等的兩個根,假設這兩個根為β和βeiθ,其中θ ∈[0,2π].這兩個根對應相同的能量,由此可得:

消除能量E2可得關于β的多項式方程[26]:

對于給定的θ=[0,2π],可以求出β(θ),然后根據方程(30)得出相應的E,考察β和βeiθ是否為特征方程的中間兩根β2(E) 和β3(E) (對于一般模型,是βm(E)和βm+1(E)).若是,則β和βeiθ屬于廣義布里淵區.改變θ,這些解的集合構成了該模型的廣義布里淵區(圖3(d)中藍色實線).注意到此時的廣義布里淵區不再是圓.這表明在開放邊界條件下,具有遠程躍遷項的非厄米SSH 模型無法通過相似變換變為一個厄米模型.通過廣義布里淵區可以求得系統在開放邊界條件下的能譜(圖3(c)中藍色實線),其結果與在一條有限長的鏈上直接對角化實空間哈密頓量所得的能譜一致(圖3(c)中橙色圓點).注意到系統在開放邊界條件下存在零能的拓撲邊界態,其能量并非由廣義布里淵區給出.這說明廣義布里淵區只提供體態的連續能譜,與厄米系統中布里淵區的角色一致.

更一般的多帶非厄米模型的特征方程f(β,E)=det(H(β)-EI)=0是一個關于E和β的多項式方程,可表達為

其中q為能帶個數而m為原胞間最遠的躍遷距離.這個方程不一定能化簡成類似于方程(30)那樣的p1(E)=p2(β)形式,其中p1,p2表示任意的多項式.因此,無法簡單地消去能量E得到關于β的方程p2(β)=p2(βeiθ).

為了計算這類普遍模型的廣義布里淵區,可以利用結式(resultant)將上述方法推廣為一種被稱為輔助廣義布里淵區(auxiliary generalized Brillouin zone)的方法[45].

廣義布里淵區方程要求特征方程的某兩個根的模長相等,于是這兩個根具有如下關系:=βeiθ,其中θ ∈[0,2π].此時β和βeiθ均為特征方程的根:

給定一個θ,將有兩個關于E和β的多項式方程,利用結式的定義可以直接消除能量E,得到一個關于β和eiθ的代數方程R(β,eiθ)=0[45].對任意θ ∈[0,2π],這個方程給出的根同時滿足f(β,E)=f(βeiθ,E)=0,因此它們是方程(18)的解.這些解所構成的β集合被稱為輔助廣義布里淵區[45].從這些根中選出滿足條件|βmq(E)|=|βmq+1(E)|的根即可得到廣義布里淵區,進而得到開放邊界條件下的能譜和波函數.

圖3(d)中的灰色實線即為具有遠程t3躍遷項的非厄米SSH 模型的輔助廣義布里淵區|β1(E)|=|β2(E)|;|β3(E)|=|β4(E)|對應的輔助廣義布里淵區則超出了本圖的展示范圍.

借助廣義布里淵區和輔助廣義布里淵區的概念,可以理解一類被稱為臨界非厄米趨膚效應(critical non-Hermitian skin effect)的現象[46-48].考慮如下雙帶非厄米模型:

假設所有參數都是實數,其中hα(β)=(tα-γα)β-1+Vα+(tα+γα)β,且α=a,b表示兩個單帶非厄米Hatano-Nelson 模型[49,50].這兩個單帶模型之間的耦合由參數δ控制.

當兩個單帶模型之間沒有耦合(δ=0)時,這個系統的特征方程 (E-ha(β))(E-hb(β))=0 可分解為兩個獨立的方程:E-ha(β)=0和E-hb(β)=0.它們分別對應兩個單帶模型的特征方程,其廣義布里淵區是兩個圓.這兩個圓的半徑分別為,其中 α=a,b.由此可求得其開放邊界條件下的能譜是純實的.

然而,當兩個單帶模型間存在耦合(δ/=0)時,兩條鏈自身不同的趨膚模(假設|βa|/=|βb|)將被耦合在一起,使得系統的廣義布里淵區偏離兩個獨立的圓.此時的特征方程(E-ha(β))(E-hb(β))=δ2不再能分解為兩個獨立的單帶特征方程.這個方程有4 個根|β1(E)|≤···≤|β4(E)|.考察邊界條件可以發現此時的廣義布里淵區方程為|β2(E)|=|β3(E)|.這個模型的廣義布里淵區將分布在上述兩個圓形廣義布里淵區之間的區域[46].在熱力學極限下,這個廣義布里淵區給出的能譜是復數的.

值得注意的是,兩條鏈之間的微小耦合使得廣義布里淵區方程發生了很大改變.這意味著在熱力學極限下,即使是無窮小的耦合強度(δ →0)也會使得系統的能譜與δ=0 的情況不再相同,能譜從δ=0變為非零時將發生不連續的突變.這一現象被稱為臨界非厄米趨膚效應.值得指出,輔助廣義布里淵區在引入微小的δ時相對于δ=0 并不發生突變,廣義布里淵區的突變來自于模長排序:只有中間兩個根入選廣義布里淵區.

在有限大的開放邊界條件下的系統中,該模型的能譜將強烈依賴于系統的長度L.固定耦合強度δ,在L較小時,系統的能譜是純實的.這意味著此時不同鏈的趨膚模之間的耦合較小.當L超過某個臨界值Lc時,系統的能譜將隨著L的增大逐漸從純實數能譜過渡到熱力學極限下廣義布里淵區給出的復數能譜.其復數能譜中擁有最大虛部的本征值對應的波函數在空間中的分布隨著L的變化會呈現出標度不變的性質[46,47].

2.4 環繞數和非厄米趨膚效應

圖1和圖3兩個模型均具有非對稱的躍遷項,其原胞內向左躍遷的振幅t1+γ/2 比向右躍遷的振幅t1-γ/2 大.直觀看來,這一非對稱性導致了其在開放邊界條件下的波函數呈現出局域在系統左側邊界的非厄米趨膚效應.這是否說明具有非厄米趨膚效應的波函數在空間中局域的方向取決于非對稱躍遷項中較大的那個方向呢？事實證明,上述粗略的圖像是不準確的.

現考慮一個如圖4(a)所示的具有非對稱次近鄰躍遷的一維單帶非厄米模型,其哈密頓量為[51,52]

這個模型在周期邊界條件和開放邊界條件下的能譜有著顯著的不同(圖4(c)).這意味著該模型在開放邊界條件下具有非厄米趨膚效應(圖4(b)).這個模型的特征方程h(β)-E=0是一個關于β的4 次方程.可以仿照2.3節的方法求解其廣義布里淵區.對于不同的θ ∈[0,2π],求解h(β)=h(βeiθ) 可得一系列βθ和E(βθ).它們滿足方程(18):|βi(E)|=|βi+1(E)|,其中i=1,2,3.從中選出滿足方程(19)的根即可得廣義布里淵區.圖4(d)中的藍色和紅色實線分別表示位于單位圓內側和外側的廣義布里淵區|β2(E)|=|β3(E)|,可由其求得開放邊界條件下的能譜(圖4(c)中的紅色和藍色實線).圖4(d)中的灰色實線為輔助廣義布里淵區|β1(E)|=|β2(E)|.輔助廣義布里淵區|β3(E)|=|β4(E)|超出了本圖的展示范圍.

圖4 (a) 具有非對稱次近鄰躍遷的非厄米模型示意圖;(b) 開放邊界條件下系統本征態的空間分布,其中鏈長L=100,藍色表示波函數局域在左邊,紅色表示波函數局域在右邊;(c) 周期邊界條件(虛線)和開放邊界條件(實線)下的能譜,Ea=-3+0.1i(黃點)和Eb=4+0.1i (綠點)為兩個能量參照點;(d) 廣義布里淵區(紅藍實線),輔助廣義布里淵區 |β1(E)|=|β2(E)| (灰色實線),和布里淵區(黑色虛線),|β3(E)|=|β4(E)| 對應的輔助廣義布里淵區在圖示區域以外,黃點和綠點分別為 Ea=h(β) 和Eb=h(β) 的前3 個零點 β1,2,3.參數取值:t1=2,t2=0.3,γ=0.3,κ=0[51,52]Fig.4.(a) Sketch of a single-band non-Hermitian model with asymmetric next-nearest-neighbor hoppings;(b) eigenstate profiles under open boundary condition when L=100.Blue/red eigenstates are localized at the left/right side;(c) energy spectrum under periodic boundary condition (black dashed lines) and open boundary condition (red and blue solid lines),Ea=-3+0.1i (yellow point) and Eb=4+0.1i (green point) are two reference points;(d)generalized Brillouin zone (red and blue solid line),auxiliary generalized Brillouin zone |β1(E)|=|β2(E)| (gray solid line),and Brillouin zone (black dashed line).Auxiliary generalized Brillouin zone |β3(E)|=|β4(E)| is out of the plot.Yellow and green points are the zeros ofh(β)-Ea and h(β)-Eb,respectively.Parameters:t1=2,t2=0.3,γ=0.3,κ=0[51,52].

有趣的是,這個模型在開放邊界條件下的一部分本征態局域在系統的左側邊界,而另一部分本征態局域在系統的右側邊界.在這個系統中,非厄米趨膚效應局域的方向可以和非對稱躍遷項所暗示的方向相反.這種現象被稱為雙極非厄米趨膚效應(bipolar non-Hermitian skin effect)[53],已經在聲學實驗中觀察到[43].在一定條件下,這類系統存在頻率依賴的單向放大,即不同頻率的信號將分別向左或向右放大(見第3.2節)[51].

為了進一步理解非厄米趨膚效應發生的條件,需要更加仔細地考察系統的性質.可以注意到,具有非厄米趨膚效應的系統在周期邊界條件下的能譜在復平面上形成閉合的環狀結構,而其在開放邊界條件下的能譜將形成未閉合的弧狀結構(圖1(c),圖3(c),圖4(c)).從圖4(c)可以看出,開放邊界條件下的能譜被周期邊界條件下的能譜所環繞,且環繞的方向和開放邊界條件下能譜對應的波函數局域的方向相關.為了刻畫這種關聯性,引入能譜圍繞一個參考能量E0的環繞數(winding number)[52,54-57]:

其中 arg表示復數的幅角且C為積分圍道.考慮到h(β)-E0是關于β的洛朗多項式,(35)式等價于

其中Nzeros(Npoles)是積分圍道C內h(β)-E0的零點數(極點數).

將積分圍道C選為傳統的布里淵區,wBZ(E0)表示周期邊界條件下的能譜環繞E0的次數.這個環繞數所定義的點能隙拓撲(point-gap topology)是非厄米系統獨有的現象.在厄米系統中,不論何種邊界條件,系統的能譜都是實軸上的若干條線段.此時對于任何不在能譜上的參考點E0,其能譜的環繞數均為零.但是,非厄米系統在周期邊界條件下的能譜形成環狀結構,環內的參照點對應的環繞數wBZ(E0)/=0.

如圖4(c)所示,在由方程(34)所描述的單帶非厄米模型中,能量參考點Ea和Eb對應的周期邊界條件下的能譜的環繞數分別為wBZ(Ea)=+1和wBZ(Eb)=-1.而這個模型的特征多項式h(β)-E在原點處是一個二階極點,即Npoles=2.因此,非零的環繞數表明參考點Ea/Eb在布里淵區內有3/1 個零點,如圖4(d)中黃點/綠點所示.

然而,在開放邊界條件下,非厄米系統的能譜通常形成線狀或弧狀結構,或者說,其包圍的“內部區域”面積為零.因此,如果將積分圍道C選為廣義布里淵區,任何參考能量E0∈/{EOBC}均不被開放邊界條件下的能譜所環繞[52,54],即

這說明在廣義布里淵區內Nzeros=Npoles.這個關系可以通過一種極限情況來理解.假設一般的洛朗多項式h(β)-E0可分解為

因為開放邊界條件下的能譜通常形成沒有內部區域的線狀或弧狀形態,所以當E0∈/{EOBC}時,總能找到一條連續的路徑將E0在不經過開放邊界條件下的能譜的情況下移動到無窮遠處.因此,廣義布里淵區內總是包含著β1(E0),···,βm(E0)這m個零點,即Nzeros=m.由此可得到方程(37).

即使某些特殊的模型在開放邊界條件下的能譜表面上看似包圍了非零面積,上述定理依然嚴格成立.當參考點E0在從內部移動到無窮遠處的過程中穿過開放邊界條件下的能譜時,βm(E0)和βm+1(E0)的次序將發生交換,它們將分別移出或移入廣義布里淵區.因此,廣義布里淵區內始終包含著β1(E0),···,βm(E0)這m個零點,即wGBZ(E0)=0.這一事實被表述為一個嚴格的定理,其完整證明請參閱文獻[52].

方程(34)所描述的模型中,圖4(c)中能量參考點Ea和Eb對應的開放邊界條件下的能譜的環繞數均為零.參考點Ea/Eb在廣義布里淵區內有2 個零點,如圖4(d)中黃點/綠點所示.

能譜的環繞數表明:當參考能量E0處在周期邊界條件下的環狀能譜內部時,wGBZ(E0)=0 但wBZ(E0)/=0.這說明布里淵區和廣義布里淵區不再重合.廣義布里淵區上的點不再是單位模長,其對應的開放邊界條件下實空間本征態波函數將局域在系統的邊界,呈現非厄米趨膚效應.如果選取開放邊界條件下的一個本征能量作為參考點E0,wBZ(E0)的正負號將決定E0所對應的本征態局域在體系的左側邊界或右側邊界(圖4).因此,周期邊界條件下的能譜的非零環繞數符號和開放邊界條件下的非厄米趨膚效應有著一一對應的關系[52,54].進一步研究發現,周期能譜非零環繞數的具體數值也對應于量子化的物理響應[58].

這種周期邊界條件下的能譜環繞數和開放邊界條件下的非厄米趨膚效應的對應關系在一定程度上可以推廣到高維體系.考慮一個高維非厄米系統,如果它在周期邊界條件下的能譜在復平面上占據了一個面積非零的區域,那么在某些邊界條件下會出現非厄米趨膚效應[59].需要指出的是,高維的非厄米趨膚效應尚有許多問題有待理解.

3 非厄米能帶理論的應用

廣義布里淵區概念與non-Bloch 能帶理論為一大類非厄米物理問題提供了出發點,激發了豐富的研究進展.本節將討論非厄米能帶理論在體邊對應、格林函數、波包動力學、手征衰減和非布洛赫PT 對稱性等方面的應用.

3.1 非厄米拓撲系統的體邊對應

Non-Bloch 能帶理論最初提出是為了回答非厄米系統的體邊對應問題.在厄米系統中,周期邊界條件下的布洛赫哈密頓量所蘊含的拓撲不變量與開放邊界條件下拓撲保護的邊界態之間存在著對應關系[14-17].但是,在非厄米系統中,布洛赫哈密頓量的能譜及其所對應的調制平面波形式的波函數與開放邊界條件下的能譜及波函數有著顯著的區別.這意味著非厄米布洛赫哈密頓量的拓撲性質無法預言開放邊界條件下邊界態的行為.實際上,基于布洛赫能帶理論的拓撲不變量在發生改變時,一般并不對應開放邊界條件下邊界態數目的變化[19].

因為布洛赫哈密頓量無法描述開放邊界條件下的非厄米趨膚效應,所以布洛赫拓撲不變量無法準確預測開放邊界條件下非厄米系統的拓撲性質.能夠刻畫非厄米趨膚效應的non-Bloch 能帶理論可以解決這個問題.此時,拓撲不變量不再定義在傳統的布里淵區上,而是定義在廣義布里淵區上.這種拓撲不變量刻畫了廣義布里淵區上的哈密頓量所蘊含的拓撲性質,因此被稱為非布洛赫拓撲不變量(non-Bloch topological invariants).它能夠準確地預言開放邊界條件下邊界態的行為,忠實地體現了非厄米系統的體邊對應.因此,體邊對應原理在非厄米體系中依然成立,但其含義有重要變化;非厄米體邊對應關系一般稱為non-Bloch 體邊對應.

為了闡述基于廣義布里淵區的非布洛赫拓撲不變量,現考慮圖1(a)所示的非厄米SSH 模型(方程(4)).圖3(a)所示具有遠程躍遷項的非厄米SSH 模型(方程(14))的拓撲性質擁有類似的結論.前面已經提到,非厄米SSH 模型在周期邊界條件和開放邊界條件下的能譜有著顯著的區別.在改變系統參數時,開放邊界條件下邊界態出現的位置并不對應周期邊界條件下能隙關閉的位置(t1=±t2±γ/2),而是對應開放邊界條件下能隙關閉的位置,如圖5(a)所示.因此,為了刻畫非厄米系統的體邊對應,需要采用non-Bloch 能帶理論.

圖5 (a) 非厄米SSH 模型在開放邊界條件下的能譜模長|E|隨著參數 t1的變化,紅色實線表示拓撲零模邊界態,鏈長L=40;(b) Non-Bloch 拓撲不變量隨著 t1的變化,參數取值:t2=1,γ=4/3 [19]Fig.5.(a) Absolute values of open-boundary eigenenergies|E|for the non-Hermitian SSH model.Red solid line represents the topological edge zero modes.The chain length L=40.(b) Non-Bloch topological invariant calculated from Eq.(42).Parameters:t2=1,γ=4/3 [19].

按照前面的做法,將布洛赫哈密頓量延拓到β復平面上,非厄米SSH 模型的哈密頓量可以寫作:

H(β)的本征值和本征態如下:

此時,non-Bloch 環繞數可定義為沿著廣義布里淵區的積分[19]:

如圖5(b)所示,這個基于廣義布里淵區的non-Bloch拓撲不變量刻畫了開放邊界條件下非厄米SSH 模型的邊界零模態的數目,準確描述了非厄米系統的體邊對應.

非厄米拓撲系統的體邊對應已經在多個實驗平臺上實現,其中包括量子光學系統[24,28]、拓撲電路[23]、光學網格系統[25]、拓撲超材料[29]等.這些實驗結果清楚地觀測到非厄米趨膚效應,并顯示了基于廣義布里淵區的non-Bloch 能帶理論準確地描述了非厄米系統的體邊對應.

Non-Bloch 體邊對應關系的應用范圍并不限于上述最簡單的開放邊界條件,它也可以應用于其他類型的邊界條件,如非厄米疇壁系統[44].非厄米趨膚效應和non-Bloch 體邊對應在高維系統中也發揮著重要作用.在二維非厄米陳絕緣體中可以定義non-Bloch 陳數,它準確預言了非厄米陳絕緣體的手征邊界態的數目[20].值得指出,這里的non-Bloch 陳數是在連續極限下計算的,二維或更高維度的non-Bloch 拓撲不變量的高效、普適的計算方法還有待發展.高維非厄米系統還存在著更豐富的非厄米趨膚效應,如高階非厄米趨膚效應,以及其他豐富的非厄米拓撲相[13,60-68].

3.2 非厄米格林函數

非厄米系統中另一類重要的物理量是非厄米格林函數.格林函數在物理學的很多領域都扮演著十分重要的角色,它描述了系統對于外界小擾動的線性響應.因此,研究非厄米格林函數可以幫助理解非厄米系統的響應和動力學性質.

考慮圖4(a)所示的具有非對稱次近鄰躍遷的一維單帶非厄米系統,其頻率空間中的格林函數定義為

其中H為實空間哈密頓量.數值計算表明,開放邊界條件下的格林函數 GL1(ω)和G1L(ω) 對于系統長度L的依賴關系呈現出如圖6所示的指數變化的行為[51]:

圖6 (a) 方程(34)所描述的非厄米模型在開放邊界條件下的非厄米格林函數 |GL1| 和|G1L|,實線是利用廣義布里淵區計算的理論值;(b) L=80時的 |G40,j|,藍線表示根據廣義布里淵區公式計算的理論值.參數取值:t1=t2=1,γ=4/3,κ=-0.8,ω=-1.7[51]Fig.6.(a) Non-Hermitian Green’ s functions |GL1| and|G1L|for the non-Hermitian model in Eq.(34) under open boundary condition.Solid lines are calculated from the generalized Brillouin zone.(b) |G40,j|for L=80.The blue lines are the results from the generalized-Brillouin-zonebased formula.Parameters:t1=t2=1,γ=4/3,κ=-0.8,ω=-1.7[51].

特別地,當α→＞1(α←＞1)時系統對邊界上輸入信號的響應會呈現出向右(左)放大的特征.

根據non-Bloch 能帶理論,開放邊界條件下實空間的非厄米格林函數可以通過廣義布里淵區上的圍道積分來計算[51]:

不失一般性,首先考慮i ＞j的情況.因為廣義布里淵區是復平面上繞原點的一個閉合回路,所以留數定理表明(45)式等于廣義布里淵區內所有極點的留數之和.為了計算廣義布里淵區內的留數,需要考慮ω-h(β)=0 在廣義布里淵區內的零點,如圖7(a)和圖7(e)所示.第2.4節證明廣義布里淵區包含m個零點β1(ω),···,βm(ω).因此,當i ?j時,上述格林函數的漸進行為如下:

同理可得,當i ?j時,格林函數的漸進行為如下:

如圖7所示,數值計算所得的指數α→,α←和代數方程ω-h(β)=0的中間兩個零點βm(ω),βm+1(ω)符合得很好,即

當系統存在單向放大(α→＞1或α←＞1)時,βm(ω)或βm+1(ω) 位于廣義布里淵區和布里淵區之間的區域,如圖7(a)和圖7(e)所示.值得一提的是,在目前這個模型里單向放大具有頻率依賴性,即某些頻率區間系統會向右放大(圖7(a)—圖7(d)),而另一些頻率區間里系統會向左放大(圖7(e)—圖7(h)).這一性質有望應用于將濾波器件與放大器件合二為一.

圖7 (a) 布里淵區(藍色虛線)和廣義布里淵區(紅色實線).β1,2,3是方程 h(β)=ω 在 κ=-0.1,ω=4時的根(β4在展示范圍之外).β2位于廣義布里淵區和布里淵區之間.(b) |β2|隨著 ω,κ的變化.(c) α→隨著 ω,κ的變化.(d) |β2| 和α→ 沿著圖(c)中虛線 κ=-0.1的變化.(e)和圖(a)的區別是 ω=-3,此時 β3 位于廣義布里淵區和布里淵區之間.(f) |β3|-1.(g) α←.(h)|β3|-1和α←沿著圖(g)中虛線 κ=-0.1的變化.參數取值:t1=2,t2=0.3,γ=0.3 [51]Fig.7.(a) Brillouin zone (blue dashed line) and generalized Brillouin zone (red solid line).β1,2,3 are the roots of h(β)=ω with κ=-0.1,ω=4(β4 is out of this plot).β2 lies between the Brillouin zone and generalized Brillouin zone.(b) |β2| as a function of ω,κ.(c) Numerical α→as a function of ω,κ.(d) |β2|and α→along the dashed cut κ=-0.1 in panel (c).(e) The same as panel (a) except that ω=-3.β3 lies between the Brillouin zone and generalized Brillouin zone.(f) |β3|-1.(g) α←.(h)|β3|-1 and α←along the dashed cut κ=-0.1in panel (g).Parameters:t1=2,t2=0.3,γ=0.3 [51].

上述結果對一維多帶非厄米模型依然成立.此時βm(ω) 和βm+1(ω)應為代數方程det(ωI-h(β))=0的中間兩個零點[51].

近期,非厄米格林函數和廣義布里淵區也在其他相關問題中得到應用,如在量子化物理響應中[58].

3.3 非厄米波包動力學

Non-Bloch 能帶理論不僅可用于計算開放邊界條件下頻率空間的格林函數,還可用于研究非厄米系統在時域上的動力學性質.

考慮一個波包在一維非厄米系統的內部(遠離邊界)進行演化.Longhi[69]研究發現,系統內部波包演化動力學在長時間極限下的Lyapunov 指數能夠由廣義布里淵區來刻畫.有趣的是,波包動力學所給出的Lyapunov 指數與邊界條件無關.不論是周期邊界條件還是開放邊界條件,Lyapunov指數都與廣義布里淵區上的鞍點有關.這一現象為實驗探測非厄米趨膚效應提供了新的思路.

其中h(k)是H對應的布洛赫哈密頓量而h(β)≡h(k →-i lnβ)是其向β復平面的延拓.通過(49)式可以看出,被積函數僅在β=0 處有一個本性極點.這說明積分圍道可以在不經過原點的情況下從布里淵區移動到別的圍道,如這個非厄米哈密頓量所對應的廣義布里淵區.因此,在布里淵區或廣義布里淵區上積分會給出同樣的ψ(x,t),即周期邊界條件和開放邊界條件下的波包動力學有著相同的行為.這要求演化時間t遠小于波包到達系統邊界的時間,否則波包的行為將受到邊界的影響而產生差異.可以證明,熱力學極限下的時域格林函數在t較小時與系統的邊界條件無關[70].

然而,即使在熱力學極限下波包動力學與邊界條件無關,ψ(x,t) 中依然蘊含著廣義布里淵區的信息.沿著漂移速度v所確定的坐標x=x0+vt可定義波包演化的Lyapunov 指數

Lyapunov 指數的極大值為周期邊界條件下能譜的最大虛部:max(λv)=Im(Em),其中取得極大值時的漂移速度vm=[dE(k)/dk]Em.如果系統在開放邊界條件下具有非厄米趨膚效應,可以證明v=0一定不是Lyapunov 指數的極大值點,即λ0＜max(λv)[69].這說明非厄米趨膚效應會顯著影響系統內部的波包動力學.

廣義布里淵區可以給出體內波函數演化的更定量的信息.利用鞍點近似可以得到出發位置波函數ψ(x0,t) 在長時間極限下的行為:

其中E(βs)為某一個鞍點處的能量,即0.(50)式表明,在長時間極限下v=0 的Lyapunov 指數λ0=Im[E(βs)]是某一個鞍點能量的虛部.

可以證明,開放邊界條件下的能譜曲線的末端總是鞍點(圖8(a)),對應的βs一定處在廣義布里淵區上[69].如果有多個鞍點,虛部最大的鞍點將決定波包的長時間演化.由此可知,出發位置波函數振幅的長時間演化行為將由開放邊界條件下能譜的末端能量的虛部決定,因此與廣義布里淵區而不是布里淵區相聯系.雖然波包演化一直處于體內(遠離邊界),這一結論仍然成立.

圖8 (a) 周期邊界條件(黑色虛線)和開放邊界條件(紅色實線)下的能譜,藍點代表鞍點 =0 ;(b) 波包初始位置波函數振幅 |ψ(x0,t)| 隨時間的演化.參數取值:t1=1,t2=1,γ=1.5,κ=-1.2Fig.8.(a) Energy spectrums under periodic boundary condition (black dashed line) and open boundary condition (red solid line).Blue points are the saddle points satisfying=0.(b) Time evolution of wavefunction amplitude|ψ(x0,t)|at the initial location x0.Parameters:t1=1,t2=1,γ=1.5,κ=-1.2.

因為開放邊界條件下能譜末端的鞍點位于周期邊界條件下能譜的內部,所以一定有λ0＜max(λv).由于上述過程與邊界條件無關,因此即使在周期邊界條件下,系統仍能體現非厄米趨膚效應和廣義布里淵區的性質[69].

作為例子,考慮圖4(a)的一維單帶模型,在一條足夠長的鏈(L=1000)的中部 (x0=500) 放入一個初態波包ψ(x,0)=δx,xO.在一定的參數下,隨著波包的演化,ψ(x0,t) 會呈現出圖8(b)所示的指數衰減的行為|ψ(x0,t)|～e-0.293t.這個指數非常接近開放邊界條件下能譜EOBC末端的虛部,即鞍點Es的虛部 Im(Es)=-0.279 (圖8(a)),與周期邊界條件下能譜的最大虛部無關.

Non-Bloch 能帶理論除了在波包動力學中展現廣義布里淵區鞍點的性質,還在其他諸多非厄米動力學過程中發揮作用[71,72],例如它可以給出淬火動力學中的拓撲不變量[28,73].

3.4 開放量子體系的Liouvillian 能隙與手征衰減

上一個例子表明,非厄米系統的動力學性質受到non-Bloch 能帶性質的深刻影響.在引言部分提到,開放量子體系的Liouvillian 超算符可以視為作用在密度矩陣上的有效非厄米哈密頓量,決定了密度矩陣的時間演化.一個自然的問題是,Liouvillian 作為一個非厄米算子是否可以出現非厄米趨膚效應? 其物理后果是什么? 是否可以在non-Bloch 能帶理論下描寫?

下面從Lindblad 量子主方程出發:

其中ρ代表系統的密度矩陣,H表示系統幺正演化的哈密頓量,Lμ是描述系統與環境之間的耦合導致的量子躍遷.研究發現,Liouvillian 超算符也能展現非厄米趨膚效應,且這種效應會顯著地影響系統在長時間下的動力學行為.在一大類開放量子系統中,長時間極限下的量子態在周期邊界條件下以代數衰減的方式趨近于穩態,而在開放邊界條件下以指數衰減的方式趨近于穩態[74].

為具體起見,考慮如圖9(a)所示的開放費米子系統,其哈密頓量選為SSH 模型[27]:

根據定義,nx(t)=ΔxA,xA(t)+ΔxB,xB(t).數值模擬發現,當t1≤t2時,n?(t) 在周期邊界條件下呈代數衰減,如圖9(c)中的A,B所示.

圖9 開放量子系統中的Liouvillian 能隙與手征衰減 (a) 具有耗散的開放SSH 模型.(b) 衰減矩陣 X 的本征值.藍色代表周期邊界條件,紅色代表開放邊界條件.A和B (t1≤t2)在周期邊界條件下的Liouvillian 能隙為零而C和D (t1 ＞t2)非零.A,B,C,D4 種情況在開放邊界條件下的Liouvillian 能隙均不為零.4 種情況的參數取值見圖(c).(c) 平均粒子數偏離值 (t) 在周期邊界條件下的演化.A和B 表現為緩慢的代數衰減,而C和D 為指數衰減.(d) 每個格點上的費米子數偏離 (t) 在周期邊界條件(左)和開放邊界條件(右)下的演化.(e) 不同長度系統中平均費米子數偏離 (t) 在周期邊界條件(實線)和開放邊界條件(虛線)下的演化.(f)費米子數偏離(t)在開放邊界條件(虛線)下的演化.(d)—(f)的參數為 t1=t2=1,γg=γl=0.2.(c)—(f) 中所有演化過程的初態均為全占據態∏x,s|0〉[74]Fig.9.Liouvillian gap and chiral damping in an open quantum system with non-Hermitian skin effect:(a) Sketch of the SSH Hamiltonian H with additional single-particle gain and loss.(b) Eigenenergies of damping matrix X.Blue:periodic boundary condition.Red:open boundary condition.The Liouvillian gap under periodic boundary condition is zero for A and B (t1≤t2),while it is nonzero for C and D (t1 ＞t2).Parameter values are shown in panel (c).(c) Time evolution of the fermion number deviation from the steady-state value,(t),of a periodic-boundary chain.The damping is algebraic for A,B and exponential for C,D.(d)Time evolution of site-resolved fermion number deviation from the steady-state values,(t),for the periodic boundary condition(left) and open boundary condition (right).(e) Time evolution of n?(t) under periodic boundary conditions (solid curve) and open boundary conditions (dashed curves) for different chain length L.(f) Time evolution of (t) for an open-boundary chain at different x.Parameters in (d)—(f):t1=t2=1,γg=γl=0.2.The initial state in (c)—(f) is ∏x,s|0〉 [74].

然而,在開放邊界條件下,非厄米矩陣X具有非厄米趨膚效應.這使得它的能譜不再是周期邊界條件下的能譜.此時能譜的Liouvillian 能隙Λ/=0(圖9(b)).因此,n?(t) 在長時間極限下會呈指數衰減.圖9(e)的數值模擬顯示系統的平均粒子數在進入指數衰減之前,會有一段時間呈現周期邊界條件時的代數衰減的行為.且這一行為持續的時間長度正比于體系的尺度L.

更進一步,如果考慮每個格點上的粒子數偏離(t)=nx(t)-nx(∞)的演化.周期邊界條件下它們都呈現出緩慢的代數衰減的行為.然而,在開放邊界條件下,(t) 先經歷一段代數衰減的區域再進入指數衰減.這個轉變從系統的一側邊界x=0附近開始,漸漸向系統的另一側傳播.系統不同位置發生轉變的時間正比于該處到邊界的距離,從而形成一個波前,如圖9(f)所示[74].這種現象被稱為手征衰減(chiral damping),如圖9(d)所示.它起源于X矩陣的非厄米趨膚效應.如果X矩陣在開放邊界條件下沒有非厄米趨膚效應,那么粒子數的演化在不同邊界條件下有著相似的行為.

由此可見,非厄米趨膚效應在開放量子系統中發揮著重要作用,它能影響開放量子系統的穩態和動力學響應等諸多性質[75-78].

3.5 非布洛赫PT 對稱性

宇稱-時間對稱性(PT 對稱性)在非厄米系統中扮演著重要的角色.依賴于非厄米參數的取值,一個具有PT 對稱性的系統可以擁有純實數或者復數能譜,這二者之間的轉變稱為PT 對稱性破缺[79-83].對于一個空間周期性體系,如果系統沒有非厄米趨膚效應,傳統的布洛赫能帶理論表明PT對稱性破缺發生于布里淵區上的奇異點.

對于具有非厄米趨膚效應的系統,根據前面提到的定理[52,54],周期邊界條件下的能譜環繞非零面積,因此不可能為純實數,也就不會發生PT 對稱性破缺;然而,開放邊界條件下的能譜可以是實數的.非厄米趨膚效應使得開放邊界條件下能譜為實數的現象被稱為非布洛赫PT 對稱性(non-Bloch parity-time symmetry).值得指出的是,開放邊界條件是物理上更自然的邊界條件,也是實驗中通常采用的邊界條件.

3.5.1 一維量子行走系統的非布洛赫PT對稱性

前面給出的例子里其實已經出現了非布洛赫PT 對稱性.如,圖1(a)描述的非厄米SSH 模型滿足廣義的PT 對稱性H=H*.這種對稱性是PT對稱性的一般推廣,它保證了哈密頓量在一組合適的基下是一個實矩陣.在一定的參數區間內該哈密頓量在開放邊界條件下的能譜是實數(如圖1(c)),而在周期邊界條件下它的能譜始終是復數.圖3(a)所示模型具有同樣的對稱性H=H*,當參數取值為圖3(c)時,非布洛赫PT 對稱性發生了破缺,其開放邊界條件下的能譜擁有復的本征值.

利用第3.3節討論過的波包動力學,在一維單光子量子行走實驗中可以觀測到這種來自非厄米趨膚效應和廣義布里淵區的非布洛赫PT 對稱性及其破缺[69,84,85]

在這類體系中,光子的演化由非幺正的離散時間演化算符刻畫:|ψ(t)〉=Ut|ψ(0)〉,其中t=0,1,2,···,這可以視為初態|ψ(0)〉在由U=e-iHeff定義的有效哈密頓量Heff的作用下進行演化.具體實現方式有很多可能,實際的量子行走實驗采用了如下的非幺正算符[85]:

其中單向轉移算符

即它們使得不同偏振的光子(|0〉或者|1〉,σz的兩個本征態)沿著一維晶格向不同方向轉移.在每個格點上,還有旋轉算符

系統的增益和損耗通過

實現.

在算符S1,2和M的共同作用下,演化算符U在實空間出現非厄米趨膚效應.如果考慮兩個一維系統首尾相連形成疇壁,兩側的物理參數分別為和,U的本征態會局域在疇壁上[44,85].在這個體系中可以研究非布洛赫PT 對稱性.將演化算符U變換到動量空間U(k)并定義U(β)≡U(k →-i lnβ),可以求得演化算符的廣義布里淵區.考慮β在廣義布里淵區上取值,計算發現,當|costanhγ|時,U(β)有如下η-贗幺正性(η-pseudo-unitarity)[85]:

這便是單光子量子行走系統中的非布洛赫PT 對稱性,它將保證Heff的本征值(U對應的準能譜)是純實的或者互為復共軛.從物理效果來看,在PT對稱的區域和PT 對稱破缺的區域,初態波包具有截然不同的演化行為,可以用第3.3節中非厄米波包動力學的方法來探測系統的PT 對稱性[69,85].

如圖10所示,隨著系統參數的改變,周期邊界條件下的能譜始終是復數的,而開放邊界條件下的能譜會經歷從實數到復數的相變.圖10給出了非厄米系統在開放邊界條件下的非布洛赫PT 對稱性及其破缺過程,破缺點被稱為非布洛赫奇異點(non-Bloch exceptional point)[85].在這個具體系統中,非布洛赫PT 對稱性發生破缺的參數條件是這與周期邊界條件下的情況有著本質區別.在周期邊界條件下,該參數附近的能譜始終為復數,未發生任何相變.

圖10 一維量子行走系統的準能譜虛部 Im(E)隨著 的變化.其他參數為 =0.5625π,=-0.0625π,γ=0.2746(a)=0.75π;(b) =-0.9735π.藍色實線和灰色實線分別代表開放邊界條件下的非布洛赫能譜和周期邊界條件下的布洛赫能譜[85]Fig.10.Imaginary part of quasienergies Im(E)versus for the experimentally realized one-dimensional quantum walk.Parameter values:=0.5625π,=-0.0625π,γ=0.2746:(a) =0.75π;(b) =-0.9735π.Blue and gray lines represent quasi-energies under open boundary condition and periodic boundary condition,respectively[85].

3.5.2 高維系統的非布洛赫PT 對稱性

最近的理論研究發現,非布洛赫PT 對稱性對于空間維數有著出乎意料的依賴性[86].分別考慮4 個不同體系在開放邊界條件下的非布洛赫PT 對稱性的相圖,他們的布洛赫哈密頓量分別如下:圖11(a)表示一維單帶模型

圖11(b)表示二維單帶模型

圖11(c)表示二維雙帶模型

圖11(d)表示三維單帶模型

圖11 不同系統在開放邊界條件下復數能量數目占比 P (a),(e) 長度為 L 的鏈上的 H1D,其中 t=1,s=0.15;(b),(f)L×L的正方形上的 ,其中 t=1,s=0.3;(c),(g) L×L的正方形上的 ,其中 m=0.5,t=0.2,Δ=0;(d),(h)L×L×L的正方體上的 H3D,其中 t=1,s=0.5.(d)中邊界格點上有隨機勢 V=r∈Boundary w(r)|r〉〈r|,其中 w(r) 在[-W/2,W/2]中均勻分布且 W=0.7.能量虛部的絕對值 |Im(E)|＞10-10 即被視為復數能量[86]Fig.11.Complex eigenenergies proportion P for four different systems under open boundary condition:(a),(e) H1D on a length-L chain with t=1,s=0.15;(b),(f) on L×Lsquares with t=1,s=0.3;(c),(g) on L×L squares with m=0.5,t=0.2,Δ=0H3DL×L×Lt=1,s=0.5;(d),(h)on cubes with.For (d),there is an on-site random potential V=w(r)|r〉〈r|w(r)[-W/2,W/2]W=0.7|Im(E)|＞10-10 on boundary sites where is uniformly distributed in with.Numerically,a complex energy holds a nonzero imaginary part if[86].

在一維系統中,非布洛赫PT 對稱性的破缺一般要求非厄米項超過一個與系統長度無關的非零閾值,如圖11(e)所示.但是,在二維或更高維的系統中,當體系的尺寸增大時,非布洛赫PT 對稱性破缺的閾值會趨近于零,如圖11(f)和圖11(h)所示.即使是一個無窮小的非厄米項,在體系足夠大的時候也會使得系統的大部分本征能量變為復數[86].

這一現象與布洛赫能帶的PT 對稱性有著顯著的區別.對于沒有非厄米趨膚效應的PT 對稱的系統,布洛赫能帶理論有效,此時PT 對稱性破缺的閾值一般非零,并且與系統的尺寸無關(除了尺寸較小時出現的有限尺寸效應),如圖11(g)所示.與非布洛赫PT 對稱破缺的維度依賴性不同,布洛赫PT 對稱破缺在一維和高維一般均有非零閾值.

4 結語

本文簡要介紹了廣義布里淵區的non-Bloch能帶理論的基本概念,并討論了該理論在若干非厄米系統中的應用.可以看到,雖然最初提出廣義布里淵區是為了理解非厄米拓撲態的體邊對應,但是這一概念的應用范圍并不限于拓撲性質.它可以用于研究非厄米能帶結構、格林函數、動力學、PT 對稱性等諸多方面的物理性質.

如果在非厄米系統中引入更豐富的對稱性,非厄米能帶理論將會呈現其他新奇性質[54,87-96].如,如果系統存在互易性T h(β)TT-1=h(β-1),其中幺正算符T滿足T T*=-1,系統在開放邊界條件下會呈現出 Z2非厄米趨膚效應(Z2non-Hermitian skin effect),即一個本征能量對應兩個分別局域在系統兩側邊界的簡并的本征態[54,87,90].在具有BCS 配對的玻色子系統中(例如很多magnon 系統中),玻色型Bogoliubov 準粒子的動力學由一個非厄米矩陣所控制,因此可以用非厄米能帶理論來描述[91,92,94].

非厄米趨膚效應作為一個普遍的非厄米物理現象,在許多無法簡單定義能帶結構的非厄米系統中也扮演著重要的角色,如非厄米無序系統[97-106]、非厄米晶體缺陷[107-110]、非厄米相互作用系統[111-117]及非厄米量子場論[118,119]等.

目前,這一研究方向仍在活躍發展之中,限于篇幅,眾多最新進展未能在此介紹.最后需要說明,雖然這一方向最近幾年已有不少進展,但已被理解的部分可能只是冰山一角,還有許多重要問題有待回答.