全純曲線正規族分擔超平面

鄭曉杰， 劉曉俊

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

在亞純函數的值分布和正規族理論中，有一個著名的現象（Block原理），即一個在區域D?C 有性質 P 的亞純函數族是正規的，如果這個性質 P 使得亞純函數在整個復平面 C 上是常數。Zalcman發表了一個更精確的敘述(Zalcman引理和 Zalcman-Pang 引理[1-2]) 去判斷亞純函數族的正規性。在全純曲線的例子中也存在一些類似的現象。

Chen等[3]證明了全純曲線在強分擔條件下的唯一性定理（定理1）。

定理1f和g是從 C 到 PN(C)的2個非常數全純曲線，1 ≤j≤q，Hj是q個 在 PN(C)上處于一般位置的超平面，使得f(C)?Hj,g(C)?Hj，f(z)和g(z)分擔Hj，1 ≤j≤q。如果q≥2N+3，則f=g。

這里的“分擔”意味著不僅f(z)∈Hjg(z)∈Hj，而且要求在

Yang等[4]考慮了全純曲線正規族理論的相應結果，得到定理2。

定理2F 是從D?C 到 PN(C)的全純曲線族，Hj是q≥2N+1個在 PN(C)上處于一般位置的超平面，1 ≤j≤q。假定對于任意的f,g∈F,f(z)∈Hj?g(z)∈Hj，z∈D， 1 ≤j≤q，則 F在D上正規。

劉曉俊等[5]使用了一個導曲線的特殊曲線去替代g，證明了定理3。

定理3F 是從D?C 到 PN(C)的一族全純映射。Hl={x∈ PN(C):x,αl=0}是 PN(C)上處于一般位置的超平面，其中， αl=(al0,···,alN)T和al0≠0,l=1,2,···,2N+1。假定對于任意的f∈F，滿足下列條件：

a.若f(z)∈Hl，則 ?f∈Hl,l=1,2,···,2N+1；

則 F 在D上正規。

Liu等[6]去除了上述定理在 P2(C)中超平面第一個系數的限制，證明了定理4。

定理4F 是從D?C 到 P2(C)的一族全純映射 ，H0={w0=0}，Hl={x∈ P2(C):x,αl=0}≠H0是P2(C)上處于一般位置的超平面，其中，αl=(al0,al1,al2)T,l=1,2,3,4,5。假定對于任意的f∈F滿足下列條件：

a.f(z)∈Hl當且僅當 ?f∈Hl,l=1,2,3,4,5；

則 F 在D上正規。

由定理4可知，定理4的證明不能被推廣到P3(C)的情況，因此，引出定理5。

定理5F 是從D?C到P3(C)的一族全純映射，H0={w0=0}和Hl={x∈P3(C):x,αl=0}≠H0是P3(C)上處于一般位置的超平面，其中，αl=(αl,αl,αl,αl)T,0123l=1,2,3,4,5,6,7,8。假定對于任意的f∈F滿足下列條件：

a.f(z)∈Hl當且僅當 ?f∈Hl,l=1,2,3,4,5,6,7,8；

則 F在D上正規。

在證明定理5之前，先說明一些概念。

一般地，D是 C 上一個區域，H0={w0=0}總是表示第一坐標超平面。fn(z)?f(z)，z∈D表示{fn}在D的緊致集上關于 PN(C)上的Fubini-Study度量 一 致 收 斂 于f。 對 于 在D上 的 全 純 曲 線f(z)，f(z)在點z處的球面導數定義為

2 重要概念

首先介紹 PN(C)的一些定義和概念。

PN(C)=CN+1{0}/～為N維復射影空間，對于x=(x0,x1,···,xN)，y=(y0,y1,···,yN)∈ PN(C)=CN+1{0}，x～y當 且僅當存在 λ ∈C ，使得(x0,x1,···,xN)=λ(y0,y1,···,yN)。(x0,x1,···,xN)的等價類 定義為[x0:x1:···:xN]，PN(C)={x=[x0:x1:···:xN]:x=(x0,x1,···,xN)∈ CN+1{0}}。H1,H2,···,Hq為 PN(C)上的超平面 ， 它 們 定 義 為H?={x∈ PN(C):〈x,α?〉=a?0x0+a?1x1+···+a?NxN=0}， 其 中 ， 非 零 向 量 α?=(a?0,a?1,···,a?N)T,?=1,2,···，q。

定義1超平面H1,H2,···,Hq處于一般位置，如果對于任意的單射 φ :{0,1,2,···,N}→ {1,2,···,q}，向量組 αφ(0),···,αφ(N)是線性無關的。

其次，令f:D→PN(C)為全純映射，U為D上一個開集。對于任何全純映射f:U→CN+1，使得P(f(z))≡f(z)，z∈U，稱f為在U上的一個代表，其中， P :CN+1{0}→PN(C)為標準商映射。

定義2對于D的任意開子集U，若f0,f1,···,fN是U上沒有公共零點的全純函數，則稱f=(f0,f1,···,fN)為f在U上的簡約表示。

H?={x∈PN(C):x,α=0}為一個超平面，定義一般地，只考慮標準超平面，使得 ∥H∥=1。

對于全純映射f的任意簡約表示f，定義全純函數

根據文獻[7]中定義的導曲線，可得定義3。

定義3設f是從D到 PN(C)的全純映射，f=(f0,f1,···,fN)是f在D上的任意簡約代表，fμ(z)? 0，μ ∈ {0,1,···,N}，則有

被稱為f的第 μ個導全純映射，其中，d(z)為全純函數，使得/d和W(fμ,fi)/d沒有公共零點，i=0,1,···,N，i≠ μ。

為了簡單起見， ?μf寫為 ?f，顯然， ?μf的定義不依賴于f的簡約表示的選擇。

3 預備定理

在給出定理5的證明之前，需要由Aladro等[8]證明的從區域 ? ?C 到 PN(C)的全純映射的Zalcman引理。

引 理1[8]F 是 從 雙 曲 區 域 ? ?C 到 PN(C)的一族全純映射，若 F 在 ? 上不正規當且僅當存在數列 {fn}?F,{zn}??，zn→z0∈?，和 {ρn},ρn>0，ρn→0，使得

在 C 的緊致集上一致收斂到一個非常數全純映射g，g從 C 映到 PN(C)。

由Nevanlina理論中退化的第二基本定理得到引理2。

引理2[9]設f:C→PN(C)是一個全純映射，H1,···,Hq(q≥ 2N+1)是 PN(C)上處于一般位置的超平面。若對于j=1,···,q，f(C)不是含于Hj中，就是不含于Hj，則f是常數。

引理3[9]設f0,f1,···,fn+1是處處不為0的整函數，且

考慮劃分

使得i和j在同一個類I?當且僅當fi=cijfj，cij為某個非零常數，則對于任意的I?，可得

引理4[10]若f(z)和 ?ν(z)(ν=1,2,3)是有限平面上的亞純函數，使得

則有

其中，S(r,f)=o{T(r,f)}，r→ ∞。

引理5[6]設g=[g0:···:gN]:C → PN(C)是有窮級的全純曲線，g0(ζ)? 0，其中，N≥2，N是整數。H?={x∈PN(C):x,α?=0}是 PN(C)上處于一般位置的超平面，它們的首項系數a?0非零，l=1,2,···,2N+1。設 g (ζ)=(g0,g1,···,gN)(ζ)是g的任意簡約代表，定義

假 定G?(ζ)≠0，ζ∈C 和G′?(ζ)≠ 0，ζ∈ C ， 則g線性退化。

4 定理5的證明

假定 F 在D上不正規，則由引理1可知，存在zn→z0∈D，正點列 ρn→0和全純映射列fn∈F，使得

其中，g是 C上的有窮級的非常數全純映射。

設g(ζ)=(g0,g1,g2,g3)(ζ)是g的簡約代表。因為，H?處于一般位置，1 ≤?≤8，不失一般性，可以假設H1,H2,H3,H4和H5的首項系數不為0。

情形1g是非線性退化。

情形2g是線性退化。

假設g0,g1,g2是線性非退化。因為，G?≡0或者G?≠0,?=1,2,3,4,5，而由引理5可知，有g0≠0和g是一個全純映射，則G?在 C上全純。

因為， ρG?≤1,1≤?≤5，則

特別地，當G?≡0，B?=0，?j1,j2,j3,j4∈{1,2,3,4,5}，不失一般性，設j1=1,j2=2,j3=3,j4=4，令k1B1eA1ζ +k2B2eA2ζ+k3B3eA3ζ+k4B4eA4ζ=0， 其中，k1,k2,k3和k4為常數。

令

因 為 ， d etA≠0， 則 令(k1,k2,k3,k4)T=A?1(b1,b2,b3,b4)T，它是一個非零向量，則B1eA1ζ,B2eA2ζ,B3eA3ζ,B4eA4ζ是線性退化。

斷言存在單射 σ :{1,2,3}→{1,2,3,4}，使得Bσ(1)eAσ(1)ζ,Bσ(2)eAσ(2)ζ,Bσ(3)eAσ(3)ζ線性非退化。

證明不失一般性，可以假設存在 ?1,?2,?3，使得B4eA4ζ = ?1B1eA1ζ+?2B2eA2ζ+?3B3eA3ζ。因為，

則

所以，可令

若r(C)≤2，那意味著方程組

有非零解，則存在不全為0的數q0,q1,q2，使得

即

如果B1eA1ζ,B2eA2ζ,B3eA3ζ是線性退化，則存在不全為0的c0,c1,c2，使得

由式(1)可得

所以，B1eA1ζ,B2eA2ζ,B3eA3ζ是線性非退化，意味 著A1,A2,A3互 不 相 同 。 因 為 ，H?,1≤?≤5是P3(C)上處于一般位置的超平面，則A1,A2,A3,A4,A5中任意4個存在3個不同。

若存在l∈{1,2,3,4,5}，使得Bl=0，不失一般性，令B5=0，則Bi≠0,i=1,2,3,4。

若A1,A2,A3互不相同，則A4等于A1,A2,A3中一個，不妨設A4=A1。類似地，A5等于A1,A2,A3中一個，不妨設A5=A2。

所以，在A1,A2,A4,A5中不可能存在3個相同，矛盾，則g0,g1,g2線性退化。

因此，存在不全為0的p0,p1,p2，使得p0g0+p1g1+p2g2=0。

a.p2≠ 0，則可被g0,g1線性表示。

所以，存在常數k1,k2,l1,l2，使得g2=k1g0+k2g1,g3= ?1g0+?2g1，則

因為， α1,α2,α3,α4線性無關，則存在 ? ∈{1,2,3,4}，使得a?1+a?2k2+a?3?2≠ 0。

不失一般性，由引理2可假設H6的首項系數不為0，即a60≠0。如果H7的第一個系數仍不為0，即a70≠0，有g不 取H7或者g(C)含于H7。

因為，α6=(0,a61,a62,a63)T，所以，〈g,α6〉的所有零點是重級的。因此，

的所有零點是重級的。

如果對于任意 ζ ∈C， 〈g,α6〉≠ 0或 ≡ 0。由引理2可得g是常數曲線，矛盾。

則存在ζ0∈ C，使得〈g,α6(ζ0)〉=0和〈g,α6(ζ)〉? 0，這意味著

矛盾。

因此，H7的第一個系數為零，即a70=0。類似地，有 〈g,α?〉的所有零點為重級零點，即

的所有零點是重級零點。

若 對于 任 意的 ζ ∈ C,〈g,α?〉≠ 0或 ≡ 0， ? =6,7。由引理2，g是 常數曲線，矛盾。所以，存在 ζ0∈ C，?=6或7，使得〈g,α?(ζ0)〉=0和〈g,α?(ζ)〉? 0。這意味著

矛盾。

b.p2= 0，則p0,p1不全為0。

(a)p0≠ 0，矛盾；

(b)p0= 0，則p1≠0，這意味著g1≡ 0，則0，矛盾。

因此， F 在D上 正規，所以，定理5得證。