分數算子的Charef有理逼近與新穎標度方程的奇異性質

謝雨婧， 袁 曉

(四川大學電子信息學院， 成都 610064)

1 引 言

近年來，分數微積分的概念在數學之外，特別是物理、化學、生物、工程等領域的應用激起了人們相當大的關注，并發現使用分數微積分比整數微積分更能精確描述或建模實際的問題[1]. 分抗元(Fractor，有時人們簡稱分抗)是一種能實現分數階積分或微分運算的新電路元件，并使用符號F表示，理想μ階分抗元的阻抗(或導納)為

I(μ)(s)=F(μ)sμ, 0<|μ|<1

(1)

式中，s=σ+jΩ是復頻率變量(也稱為運算變量)；μ是運算階；sμ稱為μ階微積分算子，簡稱分數算子. 常量F(μ)是分抗元的電路集總特征值，簡稱分抗值(Frac-tance). 分抗元越來越廣泛地應用到電路設計中[2,3]，且已形成分數階電路與系統的研究方向. 由于理想的分抗元件不存在，人們通過對各種分數階現象與過程的觀察，構建了許多在一定頻率范圍內實現半階分抗的無源分抗逼近電路.該電路利用可實現的無源整數階元件(電阻，電容，電感)構造二端網絡，特別是(RC網絡)來逼近理想分抗元[4,5]，此類無源網絡稱為分抗逼近電路.通過對分數微積算子、分抗與分抗逼近電路及其運算特征分析[6,7]，可將電路的分數微積分運算性能，通過標度拓展或非正則標度方程拓展至任意階分數算子的有理逼近[8,9].

許多物理現象，包括某些類型的電噪聲、介質中極化阻抗的弛豫行為和音樂的譜密度，表現出與頻率有關的分數次冪函數，或等效的對數-對數波德圖上的分數斜率，這類過程可稱為1/f型過程或分形系統[10]，表示為

(2)

在大多數情況下，系統通常在低頻段(0←Ω<Ωτ)處表現出有限的幅值. 因此，一些研究者通過Pade近似表示單分數冪極點(Single-Fractional Power Pole)函數，描述分形系統的頻率現象[11]. 文獻[12]描述了由無源R和C恒相元件組成的梯形網絡模型來表示(2)的函數. 由此，Charef等提出描述分形系統的一種由若干零極對級聯分支組成的奇異函數方法[13](又稱Charef有理逼近)，Charef有理逼近使用適當的有理傳遞函數來描述分數階系統. 文獻[14]給出了分數PID控制器的有理函數和模擬電路實現，通過例子說明了該方法的有效性. 分數算子的Charef有理逼近是一種使用比較廣泛的有理逼近方法，在分數階混沌系統和分數階控制系統等[15,16]方面應用較多. Zourmba等[17]利用Charef逼近方法近似傳遞函數用于實現小數積分電路單元，該模型比現有模型需要的組件更少，并且供了更高的精度.

本文根據單分數冪極點與單分數冪零點(Single-Fractional Power Zero)模型的奇異傳輸函數，利用Charef有理逼近法的零極點組合逼近，引入兩個非正則的標度方程——新穎標度方程來表征Charef有理逼近的極限情形. 探究新穎標度方程迭代獲得的有理函數序列的運算有效性、運算性能和零極點分布，最后得到與典型標度方程不同的新穎特性.

2 Charef有理逼近與新穎標度方程

2.1 單分形的奇異結構

μ階單分數冪極點與零點系統的傳輸函數在復頻域分別表示為[11]

(3a)

HZ(s)=(1+s/pτ)μ, 0<μ<1

(3b)

令w=τs(稱為歸一化運算變量)，其中τ=1/pτ為松弛時間常數. 對單分數冪極點傳輸函數(3a)式與冪零點(3b)傳輸函數歸一化后分別得

(4a)

yz(w)=(1+w)μ

(4b)

ΛP(?)=lg|HP(j·10?)|=-μlg|1+j·10?|

(5a)

ΛZ(?)=lg|HZ(j·10?)|=μlg|1+j·10?|

(5b)

在?→±∞的極限情況下，幅頻特征函數ΛP(?)/ΛZ(?)分別趨近于兩條漸進直線.

(6a)

(6b)

根據式(5)和式(6)可知，單分數冪極點無理函數的幅頻特征曲線可用兩條漸近線近似表示(如圖1所示).

圖1 單分數冪極點與零點傳輸函數的幅頻特征曲線及其漸近線Fig.1 Amplitude-frequency characteristic curve and its asymptote of single fractional power pole and zero transfer function

2.2 Charef有理逼近與零極點對子系統

將式(4a)的無理函數yP(w)通過實零極點對形式重寫為有理逼近函數，并在有限的頻率范圍內，可以截斷為一個有限的迭代次數k，使用yPk(w)逼近yP(w).

(7)

第i對零極點對(zi,pi)一次子系統的歸一化阻抗函數為

(8)

(9)

式(9)中，實數oi表示零點頻率指數和實數χi表示極點頻率指數[18].令極點與零點之比為

(10)

得一次零極點子系統的頻域特征函數:

(1) 幅頻特征函數

(11a)

(2) 相頻特征函數

(11b)

(3) 階頻特征函數

(11c)

圖2a零極點對子系統函數Ei(w)的幅頻特征曲線可由一條斜率為-1和兩條水平漸近線組成的Z形折線近似表示，是由零點與極點的共同作用導致的.由(10)式可知，lgα取值越大，一次子系統的運算特征的帶寬越大[19]. 子系統函數Ei(w)的相頻特征?i(?)和階頻特征ui(?)具有偶對稱性和局域化特性圖2b和2c，正是這種每個一次子系統都會產生波峰的局域化特性，使得無理函數序列yP(w)在頻域產生準周期性的運算振蕩現象，運算振蕩現象是所有一次子系統的集體行為[20](3.2節詳細分析).

圖2 一次子系統的頻域特征曲線 Fig.2 Frequency domain characteristic curve of the primary subsystem

2.3 Charef有理逼近過程

根據圖1描述的單分數冪極點傳輸函數yP(w)的幅頻特征曲線在波特圖中可用兩條漸近線近似表示，以及圖2描述零極點對子系統函數Ei(w)的運算特征函數，組合可得子系統逼近幅頻曲線的過程如圖3.

2.4 零極點分布關系

遞進因數(Recursive Factors)α,β，標度因子(Scaling Factor)σ，可根據漸進幅頻誤差δ表示.

α=10[δ/10(1-μ)]

(12a)

β=10[δ/10μ]

(12b)

σ=αβ=10[δ/10μ(1-μ)]

(12c)

當0<σ<1時為反比拓展，當1<σ<∞時為正比拓展[10]. 零點和極點頻率以遞進分布形式確定，以單分數冪極點的傳輸函數為例有

(13a)

(13b)

另外，極點pi與前一極點pi-1的位置比等于零點zi與前一個零點zi-1的位置比為

(14a)

(14b)

根據上述公式，可以從第一個極點得到所有的極點和零點，關系如下.

pi=σip0,i=0～k

(15a)

zi=σiαp0,i=0～k-1

(15b)

2.5 新穎標度方程

為了用線性時不變的系統模型表示單分數冪極點與單分數冪零點，需要用有理傳遞函數來逼近其無理傳遞函數. 使用Charef等人[14]給出的近似方法，在傳輸函數的幅頻曲線圖上使用斜率為-μ的直線近似表示，該漸近線由復平面負實軸上零極點對應的若干條斜率為-1和0的直線構成. 因此給出近似結果，單分數冪極點傳輸函數yP(w)=(1+w)-μ, Charef-I有理逼近：

(16a)

單分數冪零點傳輸函數yZ(w)=(1+w)μ, Charef-D有理逼近：

(16b)

給定一個有理可實現的初始阻抗函數y0(w)=N0(w)/D0(w)，根據式(13)可以構造迭代過程有理函數序列{yΙk(w),k∈+}、{yDk(w),k∈+}，如下式.

(17a)

(17b)

得到兩個非正則的新穎標度方程

(18a)

(18b)

3 新穎標度方程的近似求解與真實解

3.1 近似求解與運算有效性

運算有效性是指非正則的標度方程給定初始迭代函數y0(w)的迭代過程

yk(w)=F(ayk-1(σw)),k∈+

(19)

兩個非正則新穎標度方程，在高頻段可以近似簡化為正則標度方程. 對于Ⅰ型新穎標度方程有

(20)

yΙ(w)≈ζΙwμΙ→μΙ=0

(21)

yΙ(w)≈ζΙwμΙ→μΙ=-lgα/lgσ

(22)

由上式可得，Ⅰ型新穎標度方程在高頻段具有負分數階算子.

對于D型新穎標度方程有

(23)

yD(w)≈ζDwμD→μD=0

(24)

yD(w)≈ζDwμD→μD=lgα/lgσ

(25)

由上式可得，D型新穎標度方程在高頻段具有正分數階算子.

從數學角度分析，新穎標度方程迭代生成的有理函數序列yΙ(w)的運算階都應在高頻段有效，且I型新穎標度方程迭代生成的有理函數序列yΙ(w)的有效運算階是負任意分數階，D型新穎標度方程迭代生成的有理函數序列yD(w)的有效運算階是正任意分數階. 典型標度方程反比拓展0<σ<1都在高頻段有效，正比拓展0<σ<1都在低頻段有效[22]. 但兩種新穎標度方程的運算有效頻段與標度因子σ是正比或反比拓展無關，這與常規拓展標度方程的運算有效性不同，正是新穎標度方程新穎性質的體現.

3.2 新穎標度方程的真實解與運算振蕩現象

近似求解可從理論上判斷標度方程的運算有效性，真實解可驗證近似求解的準確性，有利于直觀分析運算性能和逼近性能[23]. 由半階有效的分抗逼近電路拓展得到的具有可構造任意分數階運算性能的標度化分抗逼近電路特征. 以I型新穎標度方程為例，給定初始阻抗為yΙ0(w)=1，迭代求得有理阻抗函數序列如下式.

(26a)

(26b)

(26c)

給定合適的標度因子σ，使用Matlab求解式(26)可得有理阻抗函數序列{yΙk(w),k∈+}，對應的運算特征曲線如圖4所示.

D型新穎標度方程的有理阻抗函數序列

(27)

對應的階頻特征曲線與相頻特征曲線如圖6.

觀察圖4、圖5和圖6，新穎標度方程迭代生成有理逼近函數存在運算振蕩現象[24]，存在固定的振蕩周期如下.

圖4 正比拓展時I型新穎標度方程運算性能(σ=5, k=10)Fig.4 Operational performance of I-type novel scale equation with proportional expansion(σ=5, k=10)

圖5 反比拓展時I型新穎標度方程運算性能 (σ=1/5, k=10)Fig.5 Operational performance of the I-type novel scale equation when inversely expanded (σ=1/5, k=10)

圖6 正比和反比拓展時D型新穎標度方程的運算性能 (σ=5, σ=1/5)Fig.6 Operational performance of the D-type novel scaling equation when the proportional and inverse ratios are expanded(σ=5， σ=1/5)

W=|lgσ|,σ≠1

(28)

由于單分數冪極點與零點系統由若干個零極點一次子系統組成，每個零極點子系統Ei(?)都會產生局域化的波峰圖(如圖2b和2c)，導致有理函數yΙk(w)、yDk(w)在頻域產生了準周期的振蕩現象. 階頻特征振蕩的幅度與標度因子σ和分數算子μ有關.

4 新穎標度方程的奇異性質

有理函數序列yk(w)，取w=j·10?(?是頻率指數變量)可得頻域特征函數.

yk(j·10?)=Λk(?)exp(j·θk(?))

(29a)

式中幅頻特征：

Λk(?)=lg|yk(j·10?)|

(29b)

相頻特征：

θk(?)=Arg{yk(j·10?)},?∈R

(29c)

階頻特征：

(29d)

相頻特征和階頻特征刻畫了分數算子有理迭代過程的運算性能. 以初始阻抗為例，對比I型新穎標度方程在正比與反比拓展條件下的運算性能.

I型新穎標度方程正比拓展(σ=5)迭代次數為10次的數值解與近似求解的理論值一致，在高頻范圍內實現負任意階分數算子wu有理逼近如圖4b.虛線表示分數算子μΙ=-0.1～-0.9，取值間隔為0.2的理想頻域特征曲線，其中α的值是根據近似解(μΙ=-lgα/lgσ)計算得到.

I型新穎標度方程反比拓展(σ=1/5)迭代次數為10次的數值解在高頻段不存在分數階性質，但在甚低頻段實現正任意階分數算子wμ有理逼近如圖5b，這與近似求解的理論結果不一致. 反比拓展的數值解無法通過近似求解的理論結果解釋，這是新穎標度方程的第二個奇異性質.

D型新穎標度方程與I型新穎標度方程的情況相似，正比拓展(σ=5)高頻段正任意分數階有效圖如圖6b，反比拓展(σ=1/5)低頻段負任意分數階有效圖如圖6d.

根據2.4節零極點分布關系的式(12)，畫出兩種新穎標度方程的零極點分布圖，進一步分析反比拓展時數值解與近似解不一致的原因. 分析I型和D型新穎標度方程正反比拓展的零極點分布圖. 以I型新穎標度方程正反比拓展為例，根據零極點頻率指數oki和xki與零極點的關系式(9), 標度因子正比與反比分別取值σ=5、σ=1/5，迭代次數k=10，令分數階算子μΙ=-0.1～-0.9，取值間隔為0.2，求得新穎標度方程有理函數序列不同分數算子μΙ對應的零極點指數的分布圖如圖7. 其中，橫坐標?表示零極點的頻率指數，縱坐標表示不同的運算階μΙ.

觀察圖7中不同階數的零極點指數分布可知，當標度因子σ取值固定，階數μΙ取值不同時，極點指數的值幾乎不變，而零點指數之間的間距隨階數μΙ的增加而不斷變大.

圖7 正比和反比拓展時I型新穎標度方程不同階數的零極點分布圖(σ=5, σ=1/5, k=10)Fig.7 The distribution diagrams of poles and zeros of different orders of the I-type novel scaling equation with proportional and inverse expansion (σ=5, σ=1/5, k=10)

令階數μΙ=-0.5，標度因子對數化lgσ分別取值為0.2、0.6、1.0、1.4，Ⅰ型新穎標度方程電路的節數k=15. 圖8和圖9分別是正比拓展和反比拓展在標度因子σ取值不同的頻率指數分布. 根據施卜椿等[25]對標度分形分抗逼近電路的零極點分布規律的研究可知，零極點的值與節號i之間呈線性關系，此斜率與標度因子σ有關. 標度分形鏈與標度分形格電路等零極點的頻率特征指數?k=-ilgσ.

觀察圖8和圖9發現，不同的標度因子σ取值，零點頻率指數與極點頻率指數的斜率的確與lgσ相關.

圖8 I型新穎標度方程正比拓展不同標度因子σ零極點頻率指數分布圖(k=15)Fig.8 Type I novel scaling equation proportionally expands the exponential distribution diagram of zero-pole frequency with different scaling factors σ (k=15)

圖9 I型新穎標度方程反比拓展不同標度因子σ零極點頻率指數分布圖(k=15)Fig.9 Type I novel scaling equation inversely expands the exponential distribution diagram of zero-pole frequency with different scaling factors σ (k=15)

根據仿真數據可得零極點線性分布規律的近似表達式如下式.

(31)

正比拓展或反比拓展的零極點分布都滿足上式關系. 新穎標度方程取不同的σ值，其對應的零極點頻率指數斜率為正標度因子的對數，與其他標度方程對應的斜率為負的標度因子的對數不相同，這是新穎標度方程的另一奇異性質的體現.

5 結 論

描述了分數算子的Charef有理逼近的具體逼近過程，用Z形逼近(遞進分布的零極點對逼近)分形系統，將單分數冪極點傳輸函數重寫成零極點對形式的有理函數. 單分數冪極點與冪零點系統的傳輸函數根據Charef有理逼近法以及零極點的分布關系，得到兩個非正則的標度方程分別是Ⅰ型和D型新穎標度方程. 通過對新穎標度方程的運算性能的分析，近似求解發現Ⅰ型和D型新穎標度方程在高頻范圍內實現正或負任意階分數算子wu有理逼近，在低頻段都不具有分數階特性. 發現這一有效頻段不同以往典型的非正則標度方程的近似解結果，這是新穎標度方程的第一點奇異性質. 接著對新穎標度方程迭代生成的有理函數函數序列式(26c)求真實解，得到反比擴展的情況下在低頻段具有運算有效性，這與近似求解的結論不符. 真實解與近似解的結果不符，這是新穎標度方程的第二點奇異性質. 進一步分析Charef 標度方程的零極點分布情況，發現在正比或反比拓展的情況下分別取不同標度因子的值，零極點頻率指數分布的斜率為lgσ，這與其他典型標度方程的零極點指數斜率-lgσ不同，這是第三點奇異性質.

根據分數階算子的Charef有理逼近過程獲得的新穎標度方程，分析其奇異的性質只是研究的開端部分. 后續還有如下可以深入研究的內容以及問題善待解決：(1) 關于新穎標度方程反比拓展的近似解無法使用Liu氏粗解解釋真實解的結果，本文目前無法解釋該現象的原因，或許存在異于Liu氏粗解的關于非正則標度方程的新解法；(2) 通過階頻指標O、相頻指標P和斜率指標K等，探尋新穎標度方程其他的奇異性質；(3) 根據新穎標度方程，給出一個具體的電路應用實例.