中文中的大小數名

劉鈍

[編者按]語言與數學密不可分。任何自然語言都有關于數的詞語，有各自的進位系統;而且，數學作為一切科學的基礎（達爾文語），定義精準，推理嚴密，對語言表述（尤其是學術語言）和思維有深刻的影響。本期專欄邀請了4位數學史家，從不同的角度討論數學與語言的關系。

本文所論之大數名和小數名，指中文中對較大和較小數值單位的特定稱謂，并不表示絕對的大小關系。如同其他早期文明一樣，中國人對大數的認識是逐步發展的，甲骨文中最大的數詞是“萬”，雖然出現了“兆、京”等字，但不做數詞。先秦文獻中“億”“兆”并見，但都表示“很多”而無固定的對應量級（后世儒生的注疏另作別論）。南北朝董泉所撰《三等數》，應是系統介紹大數記法的書，可惜早已亡佚。從唐代學官把它與北周甄鸞《數術記遺》并列為輔助讀物來看，其內容恐與《數術記遺》有相似之處，而后書中介紹的三等數，正是萬以上的大數記法，原文為：

黃帝為法，數有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者，謂上、中、下也。其下數者，十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之，若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。上數者，數窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍。下數淺短，計事則不盡。上數宏廓，世不可用。故其傳業，惟以中數耳。

公元400年前后成書的《孫子算經》“大數之法”一節從“億”到“載”都從萬萬進，相當于上述中等記數法;而“量之所起”一節從“億”到“載”都從十進，相當于上述下等記數法。敦煌文獻中有兩種唐代算經也涉及大數記法：其中編號為P.3349、S.0019和S.5779的3種寫經實為同一部書，介紹的是中等記數法，不同的是“載”后還有一個單位“極”（萬萬載曰極）;編號為S.0930的一種介紹的是下等記數法。

唐代所譯佛經中又出現了許多印度數名（數詞），例如實叉難陀所譯《大方廣佛華嚴經》在“萬”后面就提到124個數名，第一個“洛叉”等于10萬，第二個“俱胝”等于1000萬，從“俱胝”開始皆按“數窮則變”的上等記數法進位，如“俱胝”個“俱胝”等于1個“阿庾多”（100萬億）。佛經所譯數名大多佶屈聱牙，其中有些也被中國采用，成為漢語中的數詞。元代朱世杰《算學啟蒙》在“載”之后，就還有“極、恒河沙、阿僧祗、那由他、不可思議、無量數”等大數單位，大多來自佛經。

實際生活中，“億、兆”之后的大數很少用到，兩字連用的“億兆”通常表示很大的數目。另一方面，由于古代官方數學教育承認“三等數”均合乎法度，人們對“億、兆”的量級就難免產生困惑。舉個例子，嚴復《論中國之阻力與離心力》中稱“二萬里之地，四百兆之人”，這里的“兆”相當于百萬，“四百兆”就是“四萬萬”，其實他用的是逢十進位的“下等記數法”，即十萬為億，十億（即百萬）為兆;而我們今天所用的“億”，則是“中等記數法”的結果，即萬萬為億。

至于小數，中國古代一般借助十進制長度單位來表達，如果以尺為基本單位（相當于數字1），以下依次為“寸、分、厘、毫、絲、忽、微”。公元3世紀數學家劉徽說：“微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退至彌下，其分彌細”，建議采取十進小數表達更小的數值單位而無須給出具體名目?！端鍟ぢ蓺v志》記祖沖之以圓徑一丈，推出“圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽”，相當于給出3.1415926 < π < 3.1415927，所謂祖沖之將圓周率近似值精確算到小數點后第6位和第7位之間，其根據就在這里。

南宋秦九韶《數書九章》曾用“沙、莽、輕、清、煙”等字表示十進小數。朱世杰《算學啟蒙》卷首列出大、小數名目，其小數在“微”以下還有“纖、沙”兩個單位，俱為十進（退）;下面依次為“塵、埃、渺、漠、模糊、逡巡、須臾、瞬息、彈指、剎那、六德、虛、空、清、凈”，都是萬萬進（退），例如1沙等于1萬萬塵，1塵等于1萬萬埃，等等。后面那些小數名目顯然也來自佛經，不過在經文中只是表示很小的事物或很短的時間，并無精確的數值意義。

為了表達很大或很小的數目，近世普遍采用A × 10n形式的科學記數法，其中A為1～10之間的有理數，n為整數（n為正整數則全數大于1，n為負整數則全數小于1），這樣大數或小數的量級就一目了然，既不需要大數或小數的專名，也無須借助分隔符來判斷數目的量級。舉例來說，阿伏伽德羅常數6.02214 × 1023，一看就知道是個6打頭的24位數;電子的靜止質量以千克計的數值為9.10938 × 10- 31，是一個小數點后連續30個0后才出現第一個有效數字9的數。

西方許多語言中都有“千、百萬、十億、萬億”等千進位的數詞專名，現在通行的阿拉伯數字寫法每3位用一逗號分隔的方法，就是西方人為了辨識和誦讀大數而使用的一種手段。與此相應，當代許多物理單位也是根據千進原則劃分量級的，如重量單位的“納克（ng，10- 9克）、微克（μg，10- 6克）、毫克（mg，10- 3克）、克（g）、公斤（kg，103克）、噸（t，106克）”，長度單位的“納米（nm，10- 9米）、微米（μm，10- 6米）、毫米（mm，10- 3米）、米（m）、千米（km，103米）”，等等。

人類進入數字化時代之后，計算機信息技術中用于表達存儲量的單位就顯得格外重要了，一些漢字被賦予新意進入我們的日常生活，但也往往給一些人帶來困惑。比如說表示電子設備存儲量或像素大小的“兆”，就是個百萬級（106）的量，與嚴復的“四百兆之人”意思類似;而在其他場合，它又可能是萬億級（1012）或億億級（1016）的量。實際上，表達信息量的等級是按準千進原則劃分的，因為進位數值210 = 1024，接近1000。信息量的基本單位是字節（Byte，簡寫作B），向上依次為千字節（KB，1024B）、兆字節（MB，10242B）、吉字節（GB，10243B）、太字節（TB，10244B）、拍字節（PB，10245B）、艾字節（EB，10246B）、澤字節（ZB，10247B）、堯字節（YB，10248B）……。堯字節中的“堯”字，已經代表一個很大的數詞了，將其展開是1 208 925 819 614 629 174 706 176。