元琛, 黃小濤
南京航空航天大學 理學院,南京 211106
令x∈Rn,y∈Rm,γ>0, Baouemdi-Grushin(B-G)向量場[1]為
B-G梯度可定義為
對應的B-G型拉普拉斯算子為
Δγu=(γ·γ)u=Δxu+|x|2γΔyu
其中Δx,Δy分別是Rn和Rm空間上的拉普拉斯算子.
當γ=1時, 文獻[2]研究了方程
Δ1u1=Δxu1+|x|2Δyu1=g1(x,y)
(1)
此方程與Cauchy-Riemann Yamabe問題有密切關系.
當γ是正整數時, 向量場Xi和Xj滿足H?rmander條件[3]. 由此得到方程的Hε正則性估計.
若γ為任意的正數時, 向量場Xi和Xj僅為H?lder連續, 不滿足H?rmander條件, 所以不能得到Hε正則性. 文獻[4-6]通過研究與B-G向量場相關的加權Sobolev-Poincare不等式, 證明了Harnack不等式和方程解的Cα估計.
(u2)xx+x(u2)yy=g2(x,y),x∈R1,y∈R1
(2)
退化拋物B-G方程也引起了眾多學者的關注[3,14]. 隨后, 文獻[15]研究了拋物p-Laplace類型的B-G方程并證明了一些存在性結論. 文獻[16]研究了帶有初值問題的分數階p-Laplace B-G方程, 通過引入與B-G向量場相關的內在度量, 用緊方法證明了方程解的Lq正則性估計.
對于拋物型B-G方程, 假設Ω?Rn×Rm是一個有界開區域, 拋物區域為Ω*=Ω×(0,T], 則拋物邊界為?Ω*=(?Ω×(0,T])∪(Ω×{t=0}). 我們將研究下述拋物B-G拉普拉斯方程
(3)
其中f=(l1, …,ln,ln+1, …,ln+m).
本文主要證明的結論如下:
在區域{(x,y,t)∈Ω*:x=0}附近, 此方程為退化拋物方程; 如果遠離{x=0}區域, 則方程沒有退化性. 我們將分別研究在{x=0}附近區域和遠離{x=0}的區域的解的正則性, 并給出方程解的一致性估計.
本節我們給出弱解的定義和一些重要的引理.
首先為了能對B-G向量場進行分析, 我們引入C-C度量.
當|x|, |y|~1時, 拋物C-C距離可看成經典的拋物距離
令Z=(x,y,t),rZ=(rx,r1+γy,r2t), 在拋物C-C度量下, 算子L滿足性質
L(u(rx,r1+γy,r2t))=r2(Lu)(rx,r1+γy,r2t)
(4)
本文記
Qr(Z0)={(x,y,t): (x,y)∈Sr(z0), -r2 為方便書寫, 記Sr=Sr(0),Qr=Qr(0). 另外對x∈Rn,y∈Rm,z∈Rn×Rm, 記dx=dx1dx2…dxn, dy=dy1dy2…dym, dz=dx1dx2…dxndy1dy2…dym. 其范數定義為 (5) 且在有界區域上此嵌入為緊嵌入. 方程(3)的弱解可定義如下: (6) 那么稱u是方程(3)的弱解. 定義局部可積函數v∈L1(Ω*)的極大值函數為 對于極大值函數, 有以下結論: (2)如果v∈Lp(Ω*), 其中1 以及 文獻[19]證明了Lp函數的一個測度估計. 引理2[19]若函數u是區域Ω*中的一個可測函數, 常數θ>0,λ>1, 2≤p<∞, 則 且有估計 為了研究解的梯度估計, 我們還需引入改進的Vitali覆蓋引理. 引理3[20]設0<ε<1,A?B?Q1是Q1中的兩個可測集, 滿足|A|<ε|Q1|. 如果對任意的z∈A,r<1, 只要|A∩Qr(z)|≥ε|Qr(z)|, 都有Qr(z)∩Q1?B. 那么存在常數C, 使得 |A|≤Cε|B| 本小節我們研究在區域{(x,y,t)∈Q1:x=0}附近的正則性. 由C-C度量可知, 不妨假設u滿足方程 ut-Δγu=divγf(x,y,t) 則v(x,y,t)=u(rx,r1+γy,r2t)在{x=0}附近滿足方程 vt-Δγv=r2divγf(rx,r1+γy,r2t) 首先給出在Q1內的能量不等式. 引理4設u是方程(3)的弱解, 那么有 (7) 那么 對時間t積分, 整理可得 定理2設u是方程(3)的弱解. 若對任意的ε1>0, 都存在一個δ(ε1)>0, 滿足條件 則存在函數h使得 ht-Δγh=0,Z∈Q1 (8) 且有 (9) 且有 (10) 但是 (11) 令n→∞, 由(9)式和(10)式可得 這說明了u∞和h都是方程(8)的弱解. 這與(11)式矛盾, 證畢. 定理3對任意的ε>0, 存在一個δ(ε), 如果 ut-Δγu=divγf,Z∈Q2 且有 則存在一個函數h滿足 ht-Δγh=0,Z∈Q2 使得 證取φ=η2(u-h)并帶入(6)式, 那么有 以及 同樣的由τ-Cauchy不等式可得 對任意的τ>0, 取τ足夠小使得0<τ<δ2, 上式兩端對時間t積分, 又由于 則有結論 Q1∩{M(|γu|2)≤1}∩{M(|f|2)≤δ2}≠? (12) 那么 (13) 證由(12)式, 假設存在一個點Z0∈Q1, 使得對任意的0 由于Q2?Q4(Z0), 所以 (14) 由定理3可知, 對任意的ε=η>0, 存在一個δ(η)和弱解h滿足 ht-Δγh=0,Z∈Q2 以及 那么 (15) 引理4表明存在一個常數N0, 使得 當r≤2, 有 當r>2時, 注意到Qr(Z1)?Q2r(Z0), 有 進一步可得 (16) 綜上可知 取δ=δ(η)充分小, 可以得到 定理4給出了方程(3)解在(0,0,t)點附近的正則性估計. 同樣可以得到在區域Y=(0,y,t)附近解的估計. 推論1設u是方程(3)在Qr(Y)內的弱解. 存在一個常數N1>0, 對任意的ε>0, 存在一個δ>0, 如果 Qr(Y)∩{M(|γu|2)≤1}∩{M(|f|2)≤δ2}≠? 那么 2.1節得到了在{(x,y,t)∈Q1:x=0}附近的估計. 接下來研究在Q1?Ω*內的任意一點的估計. (17) 則有 Qr(Z0)?{Z∈Q1: M(|γu|2)>1}∩{Z∈Q1: M(|f|2)>δ2} 證當d(Qr(Z0), {x=0})≤10r時, 可以通過反證法證明. 假設結論不對, 即 Qr(Z0)∩{Z∈Q2: M(|γu|2)≤1}∩{Z∈Q2: M(|f|2)>δ2}≠? 令Y0=(0,y0,t0), 那么Qr(Z0)?Q13r(Y0)?Q30r(Z0), 也就是 Q13r(Y0)∩{Z∈Q2: M(|γu|2)≤1}∩{Z∈Q2: M(|f|2)>δ2}≠? 根據推論1, 對任意的ε>0, 有 其中Cγ=30-n-m(γ+1). 由此可得 與(17)式矛盾, 這就證明了第一種情況. 當d(Qr(Z0), {x=0})>10r時, 不妨假設x0≠0. 記 (18) 前文已經指出, 若|x|,|y|~1, 那么 d1s2~ds2=dt2-dx2-dy2 (19) 根據二階拋物方程經典的Lp理論[22]可知存在常數N0和δ>0, 對任意的ε>0, 如果 那么 其中h(x,y,t)滿足方程 最后變換回來得u(x,y,t)在球Qr(Z0)內的估計, 即如果 {M(|f|2)≤δ2}∩{M(|γu|2)≤1}∩Qr(Z0)≠? 那么 引理6設u是方程(3)在Q1內的弱解. 如果 則存在ε1=C(γ)ε, 使 證記 由Vitali覆蓋引理3, 再根據推論1、 引理5有 進一步用有限數量的Qri(zi)去覆蓋Q1即可得結論. 推論2設u是方程(3)的弱解. 存在ε1=C(γ)ε, 使 證下面用歸納法證明. 當k=1時, 由引理6知結論顯然成立. 根據歸納假設, 故對k+1的情況也成立, 易知結論成立. 定理1的證明當p=2時, 由能量不等式可得結論. 令p>2, 根據假設 由條件可知存在一個常數N1, 使得對任意的ε>0, 有一個δ>0, 對任意的r∈(0, 1), Qr∩{M(|γu|2)≤1}∩{M(|f|2)≤δ2}≠? 由引理6知 再根據推論2得到 從引理1知, 存在一個常數C使得 也即 于是有 γu∈Lp(Q1) 且滿足 ‖γu‖Lp(Q1)≤C(‖f‖Lp(Q2)+‖u‖Lp(Q2)) 綜上所述, 結論得證.1.2 Sobolev空間
1.3 引理
2 正則性估計
2.1 {(x, y, t)∈Q1: x=0}區域附近的估計
2.2 遠離{(x, y, t)∈Q1: x=0}區域估計
2.3 主要定理的證明