基于解析Preisach模型的非晶合金磁滯特性模擬

余蓓，李曉露

(上海電力大學電氣工程學院，上海200090)

0 引言

非晶合金憑借其低矯頑力、高磁導率、低損耗等優點，近年來已被廣泛應用于高頻變壓器等高頻電力設備中[1 - 2]。在非晶合金的應用中，其固有的磁滯特性會對變壓器的勵磁電流、能量損耗等產生重要影響[3 - 4]，因而如何準確、高效模擬非晶合金的磁滯特性具有重要意義。

目前，國內外學者對非晶合金的磁滯特性研究主要通過實驗測量的方式，而鮮有設計相關理論和模型對其進行準確模擬。例如，文獻[5]為了探究非晶合金的損耗機理，通過實驗直接測量了大量磁滯回線，進而對其形狀、矯頑力、剩磁等特性進行分析。文獻[6]直接在實測非晶合金磁滯特性曲線的基礎上，進行數值分解，從而提出了一種雙曲模型模擬非晶合金磁疇壁移動、磁疇旋轉等磁化過程?，F有已被提出模擬磁性材料磁滯特性的磁滯模型有Jile-Atherton(J-A)[7 - 9]、Preisach[10 - 13]模型等。其中，J-A模型是一種基于磁性材料內在能量守恒的物理模型，由于其在推導過程中存在多處近似處理，導致其模擬精度較低。Preisach模型是一種基于宏觀磁滯現象的數學模型，求解精度較高，但參數辨識需要大量實驗數據，且實現過程較為復雜、耗時。由于非晶合金的磁滯回線相較于電工鋼片更加細窄、損耗更低，因此本文選擇對精度較高的Preisach模型進行改進。

為了解決Preisach模型數值求解較為耗時、復雜等問題，有學者對經典Preisach磁滯模型進行了改進。例如，Vecchia R D提出了Everett函數的概念，可有效避免經典Preisach磁滯模型雙重積分的計算[14]。在此基礎上，Dlala E利用極限磁滯回線實驗數據構造了一階回轉曲線，提出了基于該一階回轉曲線數據辨識Everett函數的方法，從而避免了使用過多實驗數據[15]，但是該模型的計算效率較低。Mayergoyz在經典Preisach磁滯模型基礎上加入了可逆磁化分量，從而提高了模型的模擬精度，但其分布函數的辨識依賴于一階回轉曲線和二階回轉曲線的測量，同時求解過程中涉及求導等計算，容易產生誤差[10]。另外，有學者利用Cauchy-Lorentz、Gaussian、Lognormal、Hyperbolic tangent等解析函數來近似分布函數，這種方法雖然減小了分布函數辨識的復雜度，但模擬精度相對而言較低[16 - 19]。

為了能夠快速準確模擬非晶合金磁滯特性以及計算其損耗，首先，根據非晶合金極限磁滯回線實測值計算Preisach分布函數、分析分布函數基本特征，從而選擇合適的解析函數對分布函數進行辨識，并對其積分得到閉合形式的Everett函數表達式，從而確定非晶合金不可逆磁化分量，這樣避免了Preisach模型分布函數辨識復雜、計算耗時的問題；而后，考慮可逆磁化分量對非晶合金磁滯特性的影響，引入雙曲正切函數來表征非晶合金可逆磁化分量；最終，通過線性疊加的方式建立了一種新的適用于非晶合金磁滯特性準確、快速模擬的解析Preisach模型。實驗及仿真結果證明了本文所提Preisach模型的準確性以及有效性。

1 經典Preisach模型

經典Preisach磁滯模型將磁性材料的磁滯回線表示成無數個矩形磁滯算子的疊加。單個矩形磁滯算子如圖1所示的矩形回線，其中β和α分別代表磁滯算子正、負向翻轉的臨界值，同時每個磁滯算子的磁化狀態γ僅有“+1”和“-1”兩個值。當外加磁場強度H作為輸入且小于α時，γ=-1；當外加磁場強度H大于β時，γ=+1。將每一個磁滯算子的磁滯特性疊加后，便得到了磁性材料的磁滯特性：

圖1 單元磁滯算子

B(t)=?Tμ(α,β)γ(α,β,H(t))dαdβ

(1)

式中：μ(α，β)為Preisach模型的分布函數，表示Preisach平面內磁滯算子的分布密度；T為三角形積分區域。磁場強度H作為輸入，磁通密度B為輸出。圖2中分布函數μ(α，β)的積分域被階梯線L分為兩個區域S+和S-，S+內磁滯算子磁化狀態γ取值為+1，S-內磁滯算子磁化狀態γ取值為-1。階梯線L上的轉折點對應外加磁場強度H(t)的歷史極值，當H(t)增大時，階梯線水平上移，S+區域增大；當H(t)減小時，階梯線垂直左移，S-區域增大。因此，式(1)可寫成以下形式。

B(t)=?S+μ(α,β)dαdβ-?S-μ(α,β)dαdβ

(2)

為了避免經典Preisach模型中的雙重積分計算引入Everett函數，其定義是在Preisach平面內對分布函數μ(α，β)進行積分，表達式如下。

E(x,y)=?Tμ(α,β)dαdβ

(3)

式中：T為以α=β為斜邊的等腰直角三角形對應的積分區域，(x，y)表示的是該等腰三角形頂點坐標，如圖2中陰影區域。

圖2 Preisach模型分布函數積分域

2 解析Preisach模型

本文在經典Preisach模型的基礎上，加入可逆磁化分量，如式(4)所示。其中，等號右邊的第一項表示不可逆磁化分量，第二項表示可逆磁化分量，k(α)為可逆磁化分量的分布函數。

(4)

由式(2)可知，磁通密度B(t)求解的關鍵在于分布函數的確定?，F階段，針對分布函數的辨識大多利用一階回轉曲線或者同心磁滯回線。其中，一階回轉曲線可以通過數值方法或者實驗數據生成，前者計算過程復雜且計算速度慢，后者需要大量的實驗數據且測量精度無法保證；同心磁滯回線實驗數據雖然測量精度比較準確，但是涉及數值積分時會放大誤差。因此，本文提出利用解析函數對式(4)中的分布函數進行辨識，并基于式(3)推導出解析形式的閉合Everett函數表達式，從而計算出非晶合金磁感應強度B(t)。

首先，假設圖1中的磁滯算子上升支與下降支不相關，則不可逆磁化分量分布函數μ(α，β)可近似為兩個單值函數的乘積，表達式如下：

μ(α,β)=μ(α)×μ(-β)=f(α)×f(-β)

(5)

利用所選非晶合金樣品實驗測量的極限磁滯回線數據，基于二階偏微分法得到離散分布函數的數值和形狀，如圖3所示。根據所得不可逆磁化分量分布函數的數值和形狀，辨識得到式(5)中單值函數f(z)，如式(6)所示，對應的擬合結果如圖4所示。

圖3 Preisach模型分布函數離散值

圖4 Preisach分布函數擬合結果

(6)

通過調整參數a、b、c的值提高函數f(z)與非晶合金分布函數μ(α，β)的擬合精度。為使函數f(z)形式更簡潔緊湊，令B=1/c，C=eb/c，A=a×C，得到第二個表達式。解析形式的分布函數表達式如下。

μ(α,β)=f(α)×f(-β)

(7)

對上述解析形式的分布函數進行雙重積分，計算得到Everett函數表達式如式(8)所示。

(8)

其中，L表達式為：

(9)

這種解析形式的Everett函數表達式僅包含基本的代數運算，具有運算簡單、計算速度快、便于數值仿真等優點。

當外加磁場強度H(t)從負的最值-HM開始增大到正的最值HM，形成磁滯回線的上升支，此時不可逆磁化分量磁通密度Bu可通過Everett函數表示為：

Bu=-BM+2E(H,-HM)

(10)

式中BM為飽和磁通密度。

同理，當外加磁場強度H(t)從正的最值HM開始減小到負的最值-HM，形成磁滯回線的下降支，此時磁通密度Bd可表示為：

Bd=BM-2E(HM,H)

(11)

由于非晶合金的磁滯回線更加細窄，因此，通過添加更多參數變量提高非晶合金不可逆磁化分量的模擬精度，即以多項和形式表示Everett函數，n為參數變量個數，如式(12)—(13)所示。

E(x,y)=

(12)

(13)

通過上述的Everett函數表達式和式(10)—(11)，即可求得磁滯回線上任一點的不可逆磁化分量磁通密度值。首先計算磁通密度最值BM，結果如下。

BM=E(HM,-HM)=

(14)

(15)

磁滯回線上升支某一點的不可逆磁化分量磁通密度表達式為：

Bu=-BM+

(16)

(17)

磁滯回線下降支某一點的不可逆磁化分量磁通密度表達式為：

Bd=BM-

(18)

(19)

對于式(4)中的可逆磁化分量分布函數k(α)，研究表明，可逆磁化分量計算方法主要有對測量得到的B-H曲線回轉點處的斜率(可逆磁導率)進行積分，以及利用含參函數來近似模擬可逆磁化曲線兩種。

本文根據Mayergoyz提出的移動Preisach模型擬合的可逆磁化分量特性以及文獻[20]中可逆磁化分量計算方法，利用雙曲正切函數來近似計算可逆磁化分量，表達式如式(20)所示。這樣不僅考慮了磁場強度輸入值H(t)對可逆磁化分量的影響，而且僅需要對參數進行提取，計算過程進一步簡化。

(20)

式中k1、k2、k3分別為與可逆磁化分量相關的待提取變量。

綜上所述，將式(16)—(17)或式(18)—(19)與式(20)代入式(4)中對應項，便可得到適應于非晶合金磁滯特性模擬的解析Preisach模型。

3 實驗驗證與仿真分析

3.1 實驗平臺

為了驗證所提磁滯模型的精度，本文選用BROCKHAUS軟磁材料磁特性測量系統測量非晶合金磁環樣品在不同磁感應強度下的磁滯回線。該測量系統專用于軟磁材料的磁性能測量，可根據測量需求選擇不同的測量線圈單元。由于該測量系統采用全數字化的數據采集系統，可實現磁場強度H與磁感應強度B的并行存儲，因此保證了H和B同步測量，避免因相位差而產生的測量誤差。同時，該測量系統還采用自適應負反饋算法，自動調節激勵電源的輸出電壓，從而保證了磁滯回線等磁特性數據測量的準確性。因此，該測量系統的測量方法及結果符合國際電工委員會標準“IEC 60404- 2”。利用實測的原邊電流和副邊空載電壓，計算磁場強度H(t)和磁感應強度B(t)，如式(21)—(22)所示。

(21)

(22)

式中：N為線圈匝數；i為初級線圈勵磁電流；u為次級線圈電壓；lm為等效磁路長度；S為非晶合金磁環等效截面積。

本文采用牌號為1K101的鐵基非晶合金磁環[21]，參數為：內徑90 mm，外徑100 mm，高20 mm，質量180.45 g。測量該非晶合金磁環直流條件下不同磁密時的磁滯回線，結果如圖5所示。實驗測量結果發現，該非晶合金磁環飽和磁密約為1.0 T，此時對應的磁場強度在17 A/m左右。

圖5 1K101非晶合金實驗測量磁滯回線

3.2 解析模型參數辨識

由于解析Preisach模型涉及較多參數變量，因此關鍵是找到合適的參數提取算法。本文基于對現有參數提取算法[9,22 - 23]的研究，采用單目標多變量二進制遺傳算法對Preisach模型參數進行辨識。對于多變量優化問題，遺傳算法將各個變量的二進制碼串聯在一起形成碼鏈，迭代優化后，再進行解碼，提高參數提取的準確性。遺傳算法目標函數如式(23)，Bcal、Bmea分別為仿真值與實驗測量值。遺傳算法提取解析Preisach模型參數的過程如圖6所示。

圖6 解析Preisach模型參數辨識流程圖

通過將實驗數據與仿真結果比較，選取n=3，既可以保證解析Preisach模型的準確性又可以防止參數過多造成計算量過大，由此得到的參數辨識結果如表1所示。

表1 n=3時，非晶合金解析模型辨識參數

(23)

3.3 磁滯特性模擬與仿真

為了驗證本文所提解析Preisach模型的準確性，將表1中參數值分別代入非晶合金不可逆磁化分量和可逆磁化分量表達式中，利用MATLAB對1K101鐵基非晶合金磁環靜態磁滯特性進行仿真，將擬合結果與實驗測量數據以及經典Preisach模型仿真結果進行對比，結果如圖7所示(Bp表示磁滯回線峰值磁密)。

圖7 不同磁密下的仿真結果

從以上結果可以看出，無論在低磁密時還是飽和磁密附近，相對于經典Preisach模型，本文所提解析Preisach模型擬合效果都更好，精度更高。同時，解析Preisach模型由于僅涉及簡單的數值計算，因此計算速度相比于經典Preisach模型大大提升。

表2 損耗計算結果

從損耗對比結果可以看出，解析Preisach模型計算誤差均控制在10%以內，證明了該模型的計算精度較高?？紤]到該解析模型便于數值仿真、準確性高且計算速度快，因此滿足實際工程要求。

4 結論

為了可以準確快速地模擬非晶合金磁滯特性以及計算其損耗，本文提出了一種解析Preisach模型，得到以下結論。

1)本文首先根據非晶合金極限磁滯回線實測值計算Preisach分布函數離散值以及分析分布函數基本特征，利用特定的解析函數對分布函數進行辨識，并對其積分得到閉合形式的Everett函數表達式，從而確定非晶合金不可逆磁化分量；而后，根據Mayergoyz提出的移動Preisach模型擬合的可逆磁化分量特性，考慮到可逆磁化分量對非晶合金磁滯特性的影響，利用雙曲正切函數計算非晶合金可逆磁化分量；最后，通過線性疊加的方式建立了解析Preisach模型。

2)基于構建的解析Preisach模型對1K101鐵基非晶合金磁環在不同磁密下的磁滯回線進行模擬，發現仿真結果與實驗測量磁滯回線差距較小，且損耗計算誤差均控制在10%內。驗證了該磁滯模型不僅可準確地模擬非晶合金磁滯特性、計算損耗，而且在分布函數辨識、數值實現、計算精度等方面都有較大提升，滿足實際工程中對非晶合金磁滯特性模擬的要求。