談談異面直線之間距離的求法

謝琴琴

求異面直線之間的距離問題具有較強的抽象性.在面對此類問題時，很多同學常常感到無從下手.其實，求兩條異面直線之間的距離，關鍵是要找到兩條異面直線的公垂線，將問題轉化為平面幾何問題來求解.本文主要介紹兩條異面直線之間距離的幾種求法，供大家學習、參考.

一、定義法

異面直線是指在空間內既不平行也不相交的兩條直線.而異面直線之間的距離就是同時垂直于兩條直線的線段的長度，即公垂線的長度.運用定義法求異面直線之間的距離，需根據幾何圖形的結構特征作出公垂線，再將公垂線視為某個三角形、平行四邊形、矩形的一條邊，運用正余弦定理、勾股定理、矩形的性質等求公垂線的長度.

例1.已知正方體 ABCD -A′B′C′D′的棱長為1，求異面直線 DA′與AC 之間的距離.

運用定義法求異面直線之間的距離，先要作出異面直線的公垂線.在本題中，A′C ⊥ OE 、OE ⊥面A′CD ，即可證明 OE 同時垂直于 DA′和AC 兩條直線.然后將 OE 放置在直角三角形中，根據三角形的面積公式求出 OE 的長度，即為異面直線 DA′與AC 之間的距離.

二、向量法

運用向量法求異面直線之間的距離，要根據幾何圖形的結構特征，建立合適的空間直角坐標系，并給各個線段賦予方向，將各點、線段、平面用坐標表示出來，就可以通過向量的坐標運算，求得異面直線之間的距離.

例2.在長方體 ABCD -A1B1C1D1中，AB =4，AD =3， AA1=2，M，N 分別為 DC、BB1的中點，求異面直線 MN與A1B 之間的距離.

先設出異面直線公垂線的方向向量；然后在兩直 線上各取一點 A、B ，求出向量AB ；再求出AB 在公垂 線方向向量上的射影，即可求得兩條異面直線之間的 距離.

三、函數最值法

異面直線之間的距離，也就是兩條直線上的兩個 點之間距離的最小值，我們可以將問題看作最值問 題，把兩條異面直線之間的距離表示成某一個變量的 函數，通過求其最小值，來解答異面直線之間的距離 問題.

設出變量，將公垂線的長用函數表示出來，便可將問題轉化為函數最值問題，這樣將數與形相結合，便可快速求得異面直線之間的距離.

總之，上述三種方法都是較為常用的方法，針對不同的條件問題，選用最為合適的方法求解，才能簡化解題的過程，降低解題的難度.

（作者單位：江蘇省如皋市搬經中學）