寬速域下神經網絡對雷諾應力各向異性張量的預測1)

任海杰 袁先旭, 陳堅強, 孫 東 朱林陽 向星皓,

* (空氣動力學國家重點實驗室,四川綿陽 621000)

? (中國空氣動力研究與發展中心計算空氣動力研究所,四川綿陽 621000)

引言

湍流模型是為了封閉Navier-Stokes (N-S)方程中的雷諾應力項而額外補充的方程,主要目的是構建時均流動、空間位置與雷諾應力張量或湍流渦粘之間的數學關系式[1].雷諾平均(Reynolds averaged Navier-Stokes,RANS)方程是當前湍流研究中使用最廣泛的模型之一.RANS 框架的核心是確定流場的平均量,并針對脈動量對于平均場本身的影響進行建模;而脈動場則是通過雷諾應力張量的散度嵌入到RANS 方程中,RANS 模型正是需要對此張量進行建模[2].最早的有效黏度假設由Boussinesq 提出,該假設也是使用最為廣泛的有效黏度假設,通常使用的兩方程RANS 模型(例如k-ε,k-ω 模型)通過Boussinesq 渦黏假設完成雷諾應力的封閉.但Tracey 等[3]指出湍流渦黏模型的主要誤差來源是無法解釋雷諾應力的各向異性,即Boussinesq 渦黏假設認為湍流黏性系數是各向同性的標量.此外,有諸多學者根據推導出的雷諾應力輸運方程進行求解,例如雷諾應力方程模型(RSM),閆超等[4]指出RSM 存在雷諾應力方程的建模困難、數值剛性問題較嚴重、計算量較大的問題.不同于RSM 的思路,Pope[5]針對各向異性提出了新的有效黏度假設.該假設的有效性已經得到了充分的驗證[6],但由于其在N-S 求解器中較差的魯棒性,并未得到廣泛應用.這也意味著研究者往往需要從DNS,LES 等高分辨率數據中獲得更加準確的雷諾應力各向異性張量.

隨著機器學習方法的不斷發展,在雷諾應力的封閉中結合機器學習的研究方法日益增加.主要的研究方向分為兩種[7]:采用機器學習方法縮小RANS解與高精度數據或實驗值的偏差;或是基于高精度數據或實驗值直接構建某些湍流變量的代理模型.縮小偏差的方法既可以是改變模型的控制方程形式,也可以構建針對RANS 模型偏差函數進行疊加修正.代表性工作包括Tracey 等[8]構建了替代SA 模型控制方程中源項的神經網絡模型;Wu 等[9]針對RANS 模型計算結果和高分辨率DNS 數據之間的雷諾應力偏差進行建模,提高了原有模型的準確性.相比于縮小偏差的方法,直接構建代理模型的方法同樣頗具亮點.Zhu 等[10-11]通過徑向基函數神經網絡以及深度神經網絡構建了渦黏系數νt 與平均流動變量之間的映射關系,并將得到的映射關系與N-S求解器耦合用于封閉湍流模型.而Ling 等[12]針對張量不變性分別在隨機森林和神經網絡中進行了測試.隨機森林作為決策樹的集合,是將多個決策樹的預測組合成一個模型,其結構并不像神經網絡一樣容易改變,難以將Pope 的本構關系嵌入到隨機森林中.而神經網絡由于體系結構的靈活性在張量不變性的處理上別具優勢.為了在RANS 模型的基礎上,利用機器學習方法提高雷諾應力各向異性的計算精度,Ling 等[7]采用具有伽利略不變性的輸入特征并提出張量基神經網絡(TBNN)架構.諸多成果表明機器學習方法在湍流模型化工作中具有良好的前景[13].

對于TBNN,Ling 等[7]使用TBNN 預測了低速的管流、周期山流動.Fang 等[2]針對槽道流提出了新的神經網絡模型,使其在低速槽道流的預測效果優于TBNN.而該研究也指出,其新的神經網絡未能嵌入旋轉不變性,且僅適用于特定流動.張珍等[14]也將TBNN 與一個預測渦黏系數的神經網絡嵌入到了RANS 求解器中,并對低速周期山流動進行了預測,提升了RANS 求解的精度.由于TBNN 基于Pope的有效黏度假設構建,而該假設是Pope 針對絕大部分不可壓縮流提出的,因此TBNN 的研究工作往往集中在低速的領域.

本文在蒙特利爾大學和谷歌開發的Theano 深度學習框架(https://pypi.org/project/Theano/)上完成了神經網絡的編譯.以Pope[5]修正的有效黏度模型作為理論基礎,并基于Ling 等[7]搭建的TBNN 內核構建了神經網絡模型.本文通過TBNN 構建了從雷諾平均方程(RANS)湍流模型的湍動能、湍流耗散率和速度梯度到高精度數值解的雷諾應力各向異性張量的映射.除了對低速槽道流、低速NACA0012翼型進行了預測以外,還將TBNN 的應用范圍從低速拓展到了高超聲速,較精確地預測了馬赫6 的平板邊界層的雷諾應力各向異性張量,并通過一組低速平板進行了模型泛化能力的進一步驗證.驗證了TBNN 在寬速域流動下對雷諾應力各向異性的預測能力.對于本文涉及的3 個TBNN 模型,經由槽道流訓練得的模型標記為TBNN-C,翼型對應模型為TBNN-N,高超聲速平板對應模型為TBNN-H.

1 計算方法

1.1 有效黏度假設

時均形式的N-S 方程為

主應力和切應力的不同取決于坐標系的選擇,而根據雷諾應力內在的差別可以將其區分為各向同性和各向異性

式中 kδij為各向同性張量,aij為各向異性張量.

為封閉RANS 方程,需要給出雷諾應力與平均流場間的關系,這一封閉的過程可基于有效黏度假設完成.最早的有效黏度假設由Boussinesq 提出,該假設也是使用最為廣泛的有效黏度假設.基于該假設,雷諾應力可被定義為

式中k 為湍動能,δij為克羅內克符號,μeff為有效黏度,Ui,j和Uj,i為速度梯度.發現Boussinesq 假設是基于各向同性假設的,這也使得該假設無法準確地捕捉各向異性.

為了更好的捕獲雷諾應力各向異性張量,Pope[5]進一步修正了有效黏度模型.將各向異性張量通過湍動能進行歸一化

Pope[5]根據Caley–Hamilton 理論推導了歸一化的各向異性張量b 與基張量之間的本構關系的一般形式

式中 T(1),T(2),···,T(10)為基張量,λ1,λ2···,λ5為張量不變量,二者都是無量綱化后的張量S 和R 相關的函數.S 為平均應變率張量,R 為平均旋轉率張量.不同于三維流場中的10 個基張量,該本構關系在二維流場中僅需要4 個基張量,具體表達為

對于張量不變量的構造,Johnson[15]枚舉了對稱和反對稱張量的7 個相關不變量:Tr(S),Tr(S2),Tr(S3),Tr(R2),Tr(R2S),Tr(R2S2)和Tr(R2SRS2).而Pope 將本構關系中的張量不變量確定為

無量綱化后的張量S 和R 表達式為

由于張量不變量和基張量的存在,任何滿足該有效黏度模型的本構關系的張量b 都會自動滿足伽利略不變性.

1.2 深度神經網絡

全連接神經網絡的大致結構如圖1 所示.每一個圓圈代表神經元,其中包含兩步計算:第一步為輸入向量X 和權值向量W 及偏置b 的線性運算a=WX+b,第二步為激活函數y=h(a)的非線性運算.常用的激活函數h(x) 包括Tanh,Sigmoid,ReLU和階躍函數等.本文沿用了TBNN 中采用了leaky ReLU 激活函數[6].

圖1 深度神經網絡結構Fig.1 Structure of deep neural network

通常采用帶有梯度下降的反向傳播方法來訓練神經網絡,本文選擇了Adam 方法.該方法通過迭代調整神經網絡中各節點的權重,從而在各向異性張量的預測值和真實值之間提供最低的均方誤差,以使模型更適合訓練數據.此外隱藏層的層數、每層的寬度也會顯著影響神經網絡的性能.神經網絡的層數和節點數較多時能容納更復雜的數據,但也容易造成過擬合.

1.3 張量基神經網絡

TBNN 目標是確定式(6)中的g(n)(λ1,λ2,···,λ5)函數.一旦確定了函數,則可以使用公式(6)求解張量b.對于機器學習而言,將相同的流動在不同坐標系下的流場用于機器學習時,機器學習模型可能會產生不同的預測,因此在使用TBNN 時保證神經網絡的伽利略不變性是必要的.

基于Pope 的有效黏度模型,將5 個張量不變量λ1,λ2,···,λ5作為TBNN 的輸入變量,標量函數g(n)作為輸出變量,從而避免在神經網絡中引入張量運算,保證了其伽利略不變性.在完成了TBNN 模型的構建后,結合基張量進行式(7)的運算,即可得到歸一化的雷諾應力各向異性張量b.TBNN 的結構圖如圖2 所示.

圖2 張量基神經網絡結構Fig.2 Structure of tensor basis neural network (TBNN)

此外為了衡量訓練效果,引入均方根誤差作為損失函數

學習率采用學習率衰減(learning rate decay),初始學習率為0.01,最小學習率為1 × 10-6.

并根據Banerjee 等[16]提出的湍流不變量與特征值方法的各向異性特性的表述,對b 和其特征值ξ1≥ξ2≥ξ3添加約束,從而對預測好的各向異性進行后處理

2 數據集

Ling 等[7]的工作對多種基礎流動進行了研究,諸如管流(Reb=3500)、周期山流動等.張珍等[14]使用EVNN 和TBNN 的組合神經網絡進一步研究了周期山流動.為了驗證基于Pope 有效黏度模型的TBNN在寬速域和小樣本的前提下的適用范圍,本文選取了低速槽道流、低速翼型以及高超聲速平板三類算例展開研究.由于獲得的高精度數據均對應二維,本文采用翼型、槽道流以及高超平板的二維算例,以精確匹配高精度DNS 和LES 數據的二維工況.

針對低速工況,選擇NACA0012 翼型以及槽道流作為研究算例.槽道流的DNS 數據來自Moser等[17-19],用于TBNN 訓練的為Reτ=395 工況下湍流充分發展區域的一條截線上136 個點的流場數據,Reτ=590 工況對應的136 個點將作為外推的測試集驗證TBNN 預測能力;針對Reτ=590,Krogstad 等[20]在風洞實驗中通過熱線風速儀測量了該工況的雷諾應力各向異性張量,相關實驗中的18 個流場點可作為測試集的驗證,與TBNN 預測結果和DNS 結果形成充分的對比,進一步衡量TBNN 預測能力.翼型來自Vinuesa 等[21-22]通過LES 求解的NACA0012 翼型,工況為Rec=4×105,AoA=0°,不可壓縮.數據包含了流場上翼面的1800 個數據點,其中80%的點作為訓練數據,余下20%的點將通過散點圖和云圖的形式對TBNN 的預測效果進行驗證,對比測試中尚不包含實驗結果.

高超聲速流動涉及了強激波、強逆壓梯度、強壓縮效應等諸多因素[23],因此Pope[5]針對大部分不可壓縮流動提出的本構關系在高超是否適用需要重新判斷.本文選擇一組Ma=6 的平板作為研究算例.該算例來自Sun 等[24]最新計算的高超聲速平板,以邊界層內的流場為研究對象,并于該平板上選取了8 條截線共計1540 個流場點進行研究,其中的6 條截線用于訓練,相關DNS 計算方法[25]以及平板計算結果[24]見以下文章.而相較于低速槽道流的實驗,高超聲速工況下的雷諾應力難以使用熱線風速儀進行測量.其它測量手段如納米示蹤平面激光散射技術(NPLS)[26]可以獲得超聲速、高超聲速條件下的雷諾應力分布,但由于本文需要進行邊界層內不同站位法向方向雷諾應力各向異性分量的定量對比,故僅采用DNS 計算結果與本文計算結果進行對照.

本文中用于TBNN 的訓練集包含兩部分.第一部分為RANS 求解所得結果,其中湍流模型采用k-ε,SST 模型進行求解.根據流場的湍動能、湍流耗散率和速度梯度構造無量綱化后的張量S 和R,進而計算出5 個張量不變量作為神經網絡輸入.第二部分為高精度的雷諾應力數據,經求解得雷諾應力各向異性張量,作為TBNN 的輸出.在經過訓練集完成訓練后,便可運用TBNN 模型對篩選出的測試集進行預測.

在完成RANS 計算后,可基于RANS 求解結果并根據公式(12)對雷諾應力各向異性張量進行初步的反推[7]

通過此式亦可對Boussinesq 渦黏假設在各向異性的預測能力進行初步的判斷.

3 數值模擬結果

本文主要研究雷諾應力各向異性張量的預測,需要完成RANS 求解、訓練集構建以及TBNN 的訓練和預測.

3.1 低速槽道流

低速槽道流的RANS 計算由k-ε 模型完成.選擇Reτ=395 的工況作為訓練集,并將訓練好的TBNN 模型命名為TBNN-C.將TBNN-C 用于Reτ=590 的工況進行外推算例的預測.開源的DNS 數據中[17-19]給出了完全發展后的一個截線,共有136 個流場點;兩種工況在RANS 計算的網格細節如表1 所示.

表1 中Lx為計算域在x 方向的長度,δ 為槽道的半高,Ly=2δ 為y 方向的長度.Δx+為x 方向兩個網格點的距離差,Δyc+為y 方向中心位置兩個網格點的距離差.此處針對RANS 所用網格的進行了網格無關性驗證.在確保了網格不會對求解精度造成影響后,選取其中湍流充分發展的位置作截線,與DNS 數據中的流場點進行匹配.由于槽道流的對稱性,只取下半部分作為研究對象,網格尺寸為1024 ×257.在保證RANS 求解的速度型與DNS 相近之后,將RANS 求得的速度梯度、湍動能和湍流耗散率以及DNS 中的雷諾應力張量輸入到TBNN-C 中.隱藏層的層數分別設置為2,4 和6 層并對訓練結果的均方根誤差進行對比,最終選擇6 層,每層20 個節點.

表1 槽道流RANS 計算的網格信息Table 1 Mesh information for channel flow in RANS

該工況的實驗由Krogstad 等[20]在回流式風洞中完成,通過兩個平行的光滑平板形成了槽道,試驗段長5 m,入口面積1.35 m × 0.10 m,通過熱線風速儀測量速度脈動,從而獲得雷諾應力.圖3 為Reτ=590 的工況下,雷諾主應力的各分量隨著y+的變化.y+的計算公式如式(14) 所示,其中 uτ為摩擦速度(即湍流壁面附近的黏性速度量級),v 為運動黏度

圖3 Reτ=590 雷諾應力各向異性分量隨y+值的分布Fig.3 Reynolds normal stress anisotropy components vs y + at Reτ=590

區別于雷諾應力張量,從圖3 結果我們可以發現,TBNN-C 的預測結果在y+較小的區域(即y+＜5的黏性子層區域)有較大偏離,但在過渡子層以及完全湍流區域TBNN-C 的預測效果與DNS 以及風洞實驗的結果相近,預測效果良好,能夠揭示雷諾正應力的各向異性部分在槽道流中的發展規律.在y+＞5的范圍內,TBNN-C 預測的bii與DNS 結果的整體誤差僅有10%左右,與實驗相同點位上TBNN-C 的預測誤差均不超過10%;而與TBNN 相比,RANS 的預測結果存在量級上的差異,也說明了基于Boussinesq渦黏假設的湍流k-ε 湍流模型無法準確捕捉雷諾應力各向異性張量.

此外,針對槽道流的TBNN-C 模型僅根據Reτ=395 的136 個流場點進行訓練,在樣本極小的情況下,訓練完成的TBNN-C 模型針對Reτ=590 的不同流場外推預測依舊展現出極佳的泛化能力.這也說明對于槽道流這種外形簡單的研究對象,Pope[5]提出的本構關系能夠充分詮釋其流動機理,從而極大的提升了TBNN 模型的泛化能力.

3.2 低速NACA0012 翼型

本文所研究的NACA 翼型為NACA0012.由于NACA0012 在零度攻角下的對稱性,僅研究其上翼面.大渦模擬方法(LES)作為研究復雜湍流問題的重要工具,其求解結果擁有較高的精度[27-28],可作為神經網絡的訓練標簽.在開源的LES 數據中,共有1800 個流場點[21-22],皆位于機翼上翼面近壁區.翼型RANS 計算選擇的湍流模型為SST 模型.在完成RANS 計算后,將其中的流場點提取并與LES 流場點一一匹配.為驗證RANS 計算精度,圖4 中對比了RANS 解得的速度場云圖以及LES 的1800 個數據點插值所得速度場云圖,RANS 的計算結果能夠初步的反映LES 結果中的速度變化趨勢.

圖4 RANS 與LES 的速度場對比Fig.4 Comparison of velocity field for RANS and LES

圖4 RANS 與LES 的速度場對比(續)Fig.4 Comparison of velocity field for RANS and LES (continued)

在LES 數據中選擇1440 個流場點作為訓練集對TBNN 進行訓練,訓練完成后的TBNN 模型命名為TBNN-N.將額外的360 個流場點作為測試集輸入到TBNN-N 模型中,檢驗神經網絡對于翼型的預測效果.測試集測點分布如圖5 所示.

圖5 NACA0012 測試集流場點分布Fig.5 Distribution of NACA0012 test data set

在對隱藏層的層數進行了測試后,選擇三層隱藏層,每層20 個節點進行訓練.訓練步數為8000 步,最終訓練完成時訓練集的均方根誤差為0.052,訓練的樣本數為1440,樣本數量較小.圖6 和圖7 給出了測試集的360 個流場點的各向異性分量b11,b22的分布,并選取關鍵區域的流場點插值繪制云圖.插值方法為Matlab 中的V4 雙調和樣條插值(biharmonic spline interpolation).

圖6 雷諾正應力各向異性分量b11 結果Fig.6 The result of Reynolds normal stress anisotropy component b11

圖7 歸一化雷諾正應力各向異性分量b22 云圖分布Fig.7 The result of normalized Reynolds normal stress anisotropy component b22

對于NACA0012 翼型,基于RANS 求解的平均速度場幾乎完全無法捕捉雷諾應力各向異性分量,而基于RANS 結果預測的TBNN-N 各向異性分布在個別流場點的預測較差,但在重點關注區域TBNN-N 能夠較好地預測雷諾應力各向異性.同樣在低速工況下,TBNN-N 針對翼型的預測相比于槽道流精度有所下降,但在小樣本的前提下TBNNN 取得的預測效果尚可接受,較RANS 結果顯著提升.要對翼型進行精準預測,可考慮進一步擴大樣本范圍,以提升TBNN 的預測精度.

3.3 高超聲速平板

針對低速工況的模擬方法面對高超聲速往往會產生不適用性[29-30],故通過高超聲速平板來衡量TBNN 在高超聲速下預測的精確度.當前所擁有的平板DNS 數據為二維算例[24],來流參數中馬赫數為6,單位雷諾數為12 000,在湍流區域共有8 條截線.選取截線位置邊界層內的數據用于本算例,其中B11 距平板前緣點51.68%處,各截線位置以及邊界層厚度如圖8 所示.

圖8 平板DNS 數據各截線位置以及邊界層厚度Fig.8 Position of transversals and boundary layer thickness of DNS data

在8 條截線中,選擇B13 和B16 作為測試集,其余6 組截線數據作為訓練集對TBNN 進行訓練,訓練完成后的模型命名為TBNN-H.訓練集中共有1155 個流場點,用于預測的B13 和B16 截線分別有187 和199 個流場點.

高超聲速平板的RANS 計算由Fluent 完成,使用可壓縮k-ε 模型作為湍流模型.根據邊界層厚度在RANS 結果中完成B11 到B18 的各截線位置的匹配.RANS 計算的網格尺寸為3869 × 320,在完成網格無關性驗證后,保證相同站位RANS 與DNS 邊界層厚度一致,對比結果如圖9 所示.此外,如圖9還給出了邊界層內近壁區域的網格加密.

圖9 Ma6 平板RANS 邊界層網格以及邊界層厚度Fig.9 The mesh for RANS and boundary layer thickness

根據DNS 計算結果,截線B13 的邊界層厚度δ=6.77 mm,B16 的邊界層厚度δ=7.91 mm.在邊界層厚度相同的情況下,相比于DNS 計算結果,RANS的速度發展較慢.以此RANS 結果為基礎的TBNN-H依舊取得了極佳的預測效果,如圖10 和圖11 所示.(由于流場點過多,進行數據點顯示控制以美觀曲線,每兩個點顯示一個點)

圖10 截線B13 的雷諾主應力各向異性分量的分布Fig.10 Reynolds normal stress anisotropy components on transversals B13

圖11 截線B16 的雷諾主應力各向異性分量的分布Fig.11 Reynolds normal stress anisotropy components on transversals B16

針對高超平板的TBNN-H 使用了4 個隱藏層,每層18 個神經元.在訓練完成后,訓練集的均方根誤差(root mean square error,RMSE)維持在0.01 左右,而訓練好的TBNN-H 對于測試集的預測表現良好,RMSE 約為0.015 左右.從結果中可以發現,在y+較小的區域(即y+＜5 的黏性子層區域)TBNN-H 的預測結果有一定偏離;與槽道流相同,TBNN-H 在過渡子層以及完全湍流區域TBNN-H 的預測效果與DNS 的結果相近,預測效果良好.這也說明了TBNN 的預測在一定程度上可能會受到k-ε 模型的固有限制,因此在湍流邊界層的黏性子層的預測效果較差.

此外,從圖10 和圖11 的結果中我們可以發現TBNN-H 對于高超聲速平板邊界層依舊具有良好的預測能力,盡管Pope 的本構關系針對不可壓縮流動提出,但基于該本構關系構造的TBNN-H 依舊能夠對強壓縮性的高超聲速平板流動雷諾應力各向異性張量進行預測.而這也意味著通過高超聲速樣本構建的TBNN 模型可以用來提高可壓縮模型的針對性,為高超聲速湍流模型的定制化提供方法基礎[1].

3.4 模型泛化能力驗證

神經網絡模型的泛化能力至關重要,本節將對訓練好的TBNN 模型能否應用于與訓練算例不同的算例展開討論.在3.1 節中,TBNN-C 模型由Reτ=395 的低速槽道流完成訓練,并對Reτ=590 的槽道流工況進行了較好的預測,初步驗證了TBNN 的外推能力.為了進一步驗證其泛化能力,本節選取了一組Reθ=1100 的低速平板作為驗證算例,該平板的DNS 結果由Jimenez 等[31]計算.將Reτ=395 的低速槽道流作為訓練數據,通過訓練好的TBNN-C 模型對該低速平板進行預測.

驗證算例的開源DNS 數據[31]給出了邊界層厚度為δ99=2.756 8 的對應截線上的數據點,其中邊界層內的流場點共有130 個.該算例的RANS 計算由standard k-ε 模型完成,網格參數見表2.

表2 驗證算例RANS 計算的網格信息Table 2 Mesh information for validation case in RANS

表中Lx為計算域在x 方向的長度,Ly為y 方向的長度,Δx+為x 方向兩個網格點的距離差.RANS計算的y 方向的網格分布與DNS 計算保持一致.此處針對RANS 所用網格的進行了網格無關性驗證.在確保了網格不會對求解精度造成影響后,選取其中湍流充分發展的位置作截線,與DNS 數據中的流場點進行匹配以便于最終進行對比.

將RANS 算得的平板邊界層的湍動能、湍流耗散率以及速度梯度輸入到TBNN-C 模型中,得到預測的結果.同時將預測結果與DNS 結果以及通過公式(13)解得的RANS 結果進行對比,如圖12 所示.

圖12 Reθ=1100 平板邊界層的雷諾主應力各向異性分量的分布Fig.12 Reynolds normal stress anisotropy components on Reθ=1100 boundary layer

相比于3.1 節的結果,基于槽道流的136 個流場點訓練的TBNN-C 模型對于不同工況的平板邊界層的預測精度盡管稍有下降,但與DNS 結果相比誤差仍不超過20%,依舊較為準確的預測了雷諾應力各向異性張量,驗證了TBNN 模型的泛化能力.而使用上述模型預測翼型以及高超聲速平板邊界層,結果顯示模型的預測的精度大幅下滑,在一定程度上說明了模型性能對于訓練數據的依賴.盡管TBNN 是基于Pope 的本構關系構建,但依舊會受到神經網絡特性的固有限制.

4 結論

本文寬速域下TBNN 對雷諾應力各向異性張量的預測結論如下.

(1) 無論是低速還是高超聲速,基于Boussinesq有效黏度假設的RANS 模型均難以準確地捕捉雷諾應力各向異性張量.

(2) 基于Pope[5]提出的有效黏度假設構造出的TBNN-C 對于槽道流的預測結果較好,在訓練樣本僅有136 個流場點的極小樣本的情況下,依舊可以準確地預測不同雷諾數下槽道流的雷諾應力各向異性張量.TBNN 預測結果與DNS 誤差在10%左右,部分點位與風洞實驗結果誤差亦在10%以內,泛化能力較好.

(3) TBNN-N 對于NACA0012 翼型的預測在個別流場點存在偏差.在選取了流場中1440 個點作為訓練集之后,TBNN 對于同流場額外的360 個點的預測結果尚可.在小樣本的訓練前提下,TBNN-N 能夠對NACA0012 的關鍵區域進行較為準確的預測.與槽道流相比,TBNN 對于復雜流場需要增大樣本量以提升準確性.

(4) 對于高超聲速平板,在以湍流區域部分位置進行訓練后,TBNN-H 能夠較好地給出流場中其他位置的雷諾應力各向異性張量分布.盡管Pope[5]有效黏度假設是針對不可壓縮流提出的,TBNN-H 依舊可以在小樣本的前提下對高超聲速平板邊界層內的流場進行精準的預測.

(5) 在低速槽道流和低/高超聲速平板中,TBNN在黏性子層(即y+＜5 區域)表現較差,猜測原因可能是訓練集的RANS 部分來自于k-ε 模型求解,TBNN 的預測能力會受到RANS 結果的固有限制.

(6) 低速槽道流訓練的TBNN-C 模型能夠較為精確的預測低速平板算例,模型的泛化能力得到了驗證.而相同模型對于翼型和高超聲速平板的預測出現的預測精度下滑則在一定程度上說明了模型性能對于訓練數據的依賴.

本文在寬速域下,對TBNN 預測能力進行了充分的驗證.相比于Pope 針對不可壓縮工況提出的本構關系,神經網絡憑借出色的從數據中提取信息的能力在映射關系中學習到了可壓縮相關的信息,使得基于Pope 本構關系的TBNN 能夠對高超聲速工況進行較好的預測.盡管神經網絡的“黑匣子”性質使得TBNN 難以像本構關系一樣具有可解釋性,但本工作對于高超聲速的雷諾應力各向異性的求解仍具有參考價值.

在下一步的工作中,將針對更多的高超聲速復雜工況展開研究,同時增加三維的相關預測.在進一步完成TBNN 在復雜高超聲速工況的適用性驗證后,將通過單向耦合的方式將訓練好的TBNN 模型與可壓縮湍流模型以及N-S 求解器耦合,嘗試改善對于流動的預測精度.而耦合對應的穩定性與收斂性的問題將是研究的重點與難點.此外,還將通過在神經網絡中添加物理約束,構建物理驅動的張量基神經網絡(physics informed tensor based neural network),進一步增強TBNN 在小樣本的泛化能力.

致 謝

感謝Julia Ling 于https://github.com/tbnn/tbnn開源的TBNN 內核代碼;感謝Ricardo Vinuesa 提供的Naca0012 翼型LES 數據和幫助;感謝Robert D.Moser 提供的槽道流DNS 數據以及Jimenez 提供的低速平板DNS 數據.