絲驅動蛇形臂機器人的被動柔順特性分析

劉北,尹來容,黃龍*,,胡波,2

(1. 長沙理工大學 汽車與機械工程學院,長沙 410114; 2. 長沙理工大學 機械裝備高性能智能制造關鍵技術重點實驗室,長沙 410114)

蛇形臂機器人具有結構緊湊、運動靈活等特點,近年來在復雜環境下的維修與救援[1-3]與醫療手術[4]等領域得到了廣泛應用。國內外學者相繼設計了構型各異的蛇形臂機器人樣機,驅動方式主要包括絲驅動、氣動肌肉驅動、形狀記憶合金彎曲變形等。其中,絲驅動方式因具有占用空間小、可使質量較大的驅動器遠離末端執行機構等優勢,在蛇形臂機器人應用更為廣泛。

Li等[5-6]提出了一種由多個球關節和柔性骨架組成的絲驅動蛇形臂機器人,通過這種設計使得蛇形臂機器人結構更緊湊?；趧傂远ㄝS轉動關節,Shen等[7]設計了一種可用于經自然腔道內鏡手術的絲驅動蛇形臂機器人。熊志林等[8]利用絲驅動設計了一種具有萬向節結構的蛇形臂機器人,并結合關節結構的物理限制改進了末端跟隨運動。楊文龍等[9]中基于柔性切口結構提出一種絲驅動的平面連續體機械臂,并建立了針對該切口結構的機械臂力學模型。王海等[10]給出了一種具有六自由度柔性關節的機械臂簡化模型,并基于拉格朗日方法對其動力學進行了分析。Yoon等[11-12]以彈簧作為柔性關節建立了一種含有四自由度的絲驅動蛇形臂機器人,并應用于微創外科手術中。但大多含有剛性轉動關節或柔性關節的絲驅動蛇形臂機器人當其末端受到外部橫向力作用時,在關節內的絲仍有可能會松弛,從而導致蛇形臂機器人構型不可控,這種特性即為被動柔順特性[13]。

為避免被動柔順特性,Zhang等[14]利用等腰梯形機構研制了一種可用于手術器械的蛇形臂機器人可重構單元?；谌嵝躁P節,Dong等[15-16]提出了一系列絲驅動蛇形臂機器人設計,且在其末端受到外部干擾時能防止絲的松弛。Suh等[17-18]與Kim等[13]均提出了一種由柱面滾動關節串聯構成的可避免被動柔順特性的絲驅動蛇形臂機器人,但并沒有深入探討被動柔順特性的本質。但關節結構的不同會導致相應絲驅動蛇形臂機器人的構型穩定性及其避免被動柔順特性的能力存在一定差異。

首先總結絲驅動蛇形臂機器人的關節類型與結構特點。以含有定軸轉動關節的典型絲驅動蛇形臂機器人為例,分析被動柔順特性的產生機理,并提出一種被動柔順指標?；陉P節運動學建立關節結構參數與被動柔順指標之間的關系,得到可避免被動柔順的關節結構參數設計要求,并在此基礎上,構建不同類型的絲驅動蛇形臂機器人構節。

1 蛇形臂機器人的關節類型

絲驅動蛇形臂機器人的關節類型多樣,典型的關節包括剛性轉動關節、柔性關節、柱面/球面滾動關節,其關節自由度可分為單自由度或多自由度。常見的單自由度關節包括單自由度定軸轉動關節、柔性板簧和柱面滾動關節(圖1a)),而常見的多自由度關節包括虎克鉸/球關節、柔性中心桿和球面滾動關節(圖1b))。在實際的結構限制下,蛇形臂機器人的關節扭轉自由度通常受到約束,因此實際只能實現兩自由度運動。由兩自由度關節構成的蛇形臂機器人可在一定程度上提升蛇形臂機器人的彎曲變形幅度,但其運動控制難度也相對較大。相比而言,單自由度關節在蛇形臂機器人中應用更為廣泛,但若要構成兩自由度構節,需要在關節疊加過程中,使相鄰關節的瞬時轉軸保持異面垂直。

圖1 典型的單自由度關節與多自由度關節

本文選取3種典型的基于單自由度關節的蛇形臂機器人作為研究對象分析其結構特點。蛇形臂機器人通常由多個構節串聯構成[19],每個構節又由若干個相同的關節串聯而成,可實現兩自由度彎曲變形。多個兩自由度構節的串聯之后,可以實現整體的復雜彎曲構型,以適應更復雜的環境。如圖2所示,絲驅動蛇形臂機器人單個構節的基本構型都由一個基座盤、多個間隔盤、一個末端盤和沿周向均勻布置的多條絲組成。相鄰間隔盤之間通過剛性鉸鏈、柔性桿或柱面/球面滾動副連接,進而形成了一個關節。每條絲的一端與末端盤固連,另一端固連在驅動輪上。此外,對徑位置也可以采用一整條絲,即絲的兩端均固定在末端盤上,而在其中間位置繞過驅動輪。通過驅動輪的轉動使得相應的各條絲拉緊和釋放,進而使得構節發生彎曲變形。與傳統機器人相比,絲驅動蛇形臂機器人的所有驅動電機不是安裝在每個關節中,而是安裝在一個驅動系統中。該驅動系統一般位于蛇形臂機器人首個構節中第一個關節附近。由于構節中的關節數量通常顯著大于電機數量,整個構節具有欠驅動特性。

圖2 絲驅動蛇形臂機器人構節的理想狀態

2 絲驅動蛇形臂機器人的被動柔順

在對絲驅動蛇形臂機器人進行運動學建模的過程中,通常假設機器人始終保持理想構型,即在直線構型下保持所有間隔盤相互平行,不產生局部彎曲(圖3a)),而在彎曲構型下,每個關節的轉角保持相等(圖3b))。然而由于構節的欠驅動特性與絲驅動的單側約束特性,理想構型假設并不是始終成立的,大多現有的蛇形臂機器人在微小外界擾動下會大幅度偏離理想構型,例如由理想直線構型(圖3a))變為S構型(圖3c)),即被動柔順特性。

圖3 被動柔順特性

為了便于討論,不妨將各絲的釋放/拉緊量作為機器人的輸入,而各關節的彎曲角度和彎曲方向(即機器人構型)作為機器人的輸出。在張緊狀態下,機器人輸入與構節中各絲長度(Ll與Lr)一一對應;而松弛狀態下則不存在一一對應關系。當機器人處于初始直線構型時(圖3a)),在構節中所包含的左右兩側絲的長度相等(Ll=Lr)。若在合適的輸入下,無外力作用的構節可實現理想的均勻彎曲構型(圖3b)),此時Ll減少為L′l,Lr增加為L′r。然而無論是初始直線構型,還是均勻彎曲構型,能否在擾動下保持穩定,與關節類型和關節參數密切相關。以圖3a)所示的剛性轉動關節構成的構節為例,通過簡單的幾何推導可知,當其彎曲時,在單個關節中有l′l1+l′r1<2ll0=2lr0,整理可得Δll+Δlr<0,即關節內的左右兩側絲長度變化量的代數和為負值。

進一步考慮構節的兩種構型狀態,即直線構型(圖3a))與S構型(圖3c)),其中S構型由兩段均勻彎曲部分反向疊加而成,且左右兩側絲的長度在S構型下滿足

L″l1+L″l2=L″l=L″r=L″r1+L″r2

(1)

此時構節中的左右兩側絲長度均比直線構型下更短,因此在驅動輸入保持不變時兩側絲均會松弛。正是由于這種特性,絲驅動蛇形臂機器人的同一個輸入對應于多個構型輸出,這將導致機器人構型不可控。

若在其單個關節中左右兩側絲的長度變化量的代數和滿足Δll+Δlr>0,則左右兩側絲的長度在相應構節的S構型下滿足

L″l1+L″l2=L″l=L″r=L″r1+L″r2>Ll=Lr

(2)

此時構節中兩側絲的長度均比直線構型時更長,因此,在輸入不變的情況下,構節不可能由直線構型變為S構型甚至任意其它構型,因此能夠保持其構型穩定性,可避免具有被動柔順特性。

根據上述推導,本文以Δll+Δlr為被動柔順指標,具體分析3種單自由度關節的結構參數與絲驅動蛇形臂機器人中被動柔順特性的關系。

3 結構參數對被動柔順特性的影響

基于3種單自由度關節,本節分別推導了其關節參數、彎曲角度與被動柔順指標之間的關系,進而分析出關節結構參數對被動柔順特性的影響,總結出避免被動柔順特性的結構參數設計要求。為便于分析,作以下假設:1) 在3種單自由關節內兩對絲周向均勻分布,其中一對絲在該關節的彎曲平面內用于驅動該關節彎曲,同時在該關節內的另一對絲的長度保持不變;2) 絲與絲孔之間不存在間隙,且絲的抗拉剛度為無窮大;3) 當關節末端受到外力作用時,機器人的輸入保持不變。3種關節的基本結構參數定義如下:r為絲分布圓半徑;a為關節初始間隙(柔性關節長度);h為間隔盤厚度;R為柱面/球面半徑;ll,lr表示在3種關節內左右兩側絲的初始長度;lli,lri(i=1,2,3,4,5)表示3種關節受到外部橫向力時左右兩側絲的彎曲長度;Δlli,Δlri表示在3種關節中左右兩側絲在受力彎曲前后的變化量。

3.1 定軸轉動關節

定軸轉動關節包括關于轉動中心O的上下對稱和非對稱兩種情形。如圖4所示的轉動關節為對稱情形,即轉動中心與關節初始間隙的中間位置。在初始狀態下(圖4a)),則左右兩側絲的長度ll=lr=a+2h。在一定的外部橫向力F作用在該轉動關節的末端時,假設該轉動關節繞轉動中心O轉動θ角度(圖4b)),左側的絲長ll減少到ll1,右側的絲長lr增加到lr1。

圖4 對稱情形的定軸轉動關節

根據幾何結構可知,線段AB表示相鄰間隔盤的中心線,其長度為

(3)

在該關節受到外部橫向力F時,其左右兩側絲長分別為:

(4)

因此初始狀態與受力彎曲狀態相比,關節內的兩側絲的變化量為:

(5)

由式(5)可知Δll1+Δlr1=2a(cos(θ/2)-1)<0。這表明在定軸轉動關節的對稱情形下,絲在外部橫向力作用時可能出現松弛現象,因此由該關節構成的絲驅動蛇形臂機器人具有被動柔順特性。

假設在定軸轉動關節的非對稱情形下(圖5),轉動中心O到下間隔盤的上邊緣距離為a1,到上間隔盤的下邊緣距離為a2,且上下間隔盤的邊緣距離為a。在初始狀態時左右兩側絲的長度ll=lr=a+2h。

圖5 非對稱情形的定軸轉動關節

若在一定的外部橫向力F作用在該轉動關節末端時,該轉動關節繞轉動中心O轉動了θ角度,左側的絲長ll減少到ll2,右側的絲長lr增加到lr2,且轉動中心在關節內任意位置時,在OMN和OPQ中均滿足:

(6)

但∠MON和∠POQ隨著轉動中心位置的變化而變化。如圖5a)和5b)所示,當轉動中心O在上間隔盤和下間隔盤的中間任意位置時二者分別滿足:

(7)

如圖5c)和5d)所示,當轉動中心O在下間隔盤的內部任意位置時∠MON和∠POQ分別滿足:

(8)

類似地,當轉動中心O在上間隔盤的內部任意位置時∠MON和∠POQ分別滿足:

(9)

根據余弦定理,關節內的左右兩側絲在受到外部橫向力時的長度為:

(10)

因此,其左右兩側絲變化量為:

(11)

假設初始間隙為a=6 mm,轉動中心位置分布區間為[-1,7],絲分布圓半徑r分別取1.5 mm,2.5 mm,3.5 mm和4.5 mm。當彎曲角度θ的范圍為[-π/4,π/4]時,Δll2+Δlr2與轉動中心位置分布、絲的分布圓半徑之間的關系如圖6所示。

圖6 定軸轉動關節參數對Δll2+Δlr2的影響

當轉動中心處于對稱點(a1=a2=3)時,Δll2+Δlr2始終小于零,且隨著彎曲角度的增大而減小。在非對稱情形下,Δll2+Δlr2隨轉動中心與對稱點之間的距離增大而增大,且在上間隔盤的下邊緣處和下間隔盤的上邊緣處為Δll2+Δlr2大于零的臨界位置。Δll2+Δlr2隨著絲分布圓半徑r的增大而增大。這表明對于定軸轉動關節的絲驅動蛇形臂機器人,存在合理的絲分布圓半徑及轉動中心位置,使得Δll2+Δlr2>0成立,且不具有被動柔順特性。

3.2 柔性關節

與定軸轉動關節類似,柔性關節也可分為兩種情形:關于彎曲中心的上下對稱情形和非對稱情形。目前,對具有柔性關節的絲驅動蛇形臂機器人研究通常采用分段常曲率假設模型[20-21]。在上下對稱情形的初始狀態下(圖7a)),其關節內的左右兩側絲長度ll=lr=a+2h。

圖7 含有柔性關節的對稱情形

如圖7b)所示,假設在外部橫向力F作用在該轉動關節的末端時柔性關節以常曲率k均勻彎曲θ角,則間隔盤的中心線AB長度可知

(12)

此時,該關節內的左右兩側絲長度為:

(13)

因此該柔性關節初始狀態與受力彎曲狀態相比,其左右兩側絲的變化量為:

(14)

在實際工作中,絲驅動蛇形臂機器人的各轉動關節彎曲角度一般小于45°,因此有

(15)

這表明當有外部橫向力的作用時,絲會出現松弛現象。因此由該柔性關節構成的絲驅動蛇形臂機器人具有被動柔順特性。

在上下非對稱情形的柔性關節內(圖8),上間隔盤約束的絲長度為h,下間隔盤約束的絲長度為H+h,柔性關節的長度為a。在初始狀態下左右兩側絲長ll=lr=a+2h。

圖8 非對稱情形的柔性關節

當存在外部橫向力F作用在該柔性關節末端時(圖8b)),左右兩側絲長為:

(16)

因此該柔性關節的初始狀態與彎曲狀態相比,兩側絲的變化量分別為:

(17)

由式(17)可知:假設初始間隙為a=6 mm,H∈[0,4],絲分布圓直徑r分別取1.5 mm,2.5 mm,3.5 mm和4.5 mm。在彎曲角度范圍為[-π/4,π/4]時,絲分布圓半徑、間隔盤凸起厚度H及彎曲角度等基本關節結構參數與Δll4+Δlr4的關系如圖9所示。

圖9 柔性關節參數對Δll4+Δlr4的影響

當H大于圖9所示的臨界位置時,不等式Δll4+Δlr4>0一定成立。Δll4+Δlr4隨著絲分布圓半徑r的增大而增大。這表明在非對稱情形下,通過合理設計關節結構參數可避免其具有被動柔順特性。隨著H的增大,絲驅動蛇形臂機器人柔性轉動關節的彎曲范圍會受限。

3.3 柱面滾動關節

在初始狀態下(圖10a)),左右兩側絲的長度ll=lr=a+2h。假設當一定的外部橫向力F作用在滾動關節末端時,其關節上模塊相對其下模塊沿圓柱面滾動θ角度(圖10b)),左側的絲長ll減少到ll5,右側的絲長lr增加到lr5。

圖10 柱面滾動關節

根據圖10b)所示的幾何結構可知,AB//O1O2,AO1=BO2=R-a/2,線段O1O2表示相鄰兩圓柱面的圓心連線且其長度等于2R,線段AB可看作為間隔盤上的絲分布圓的圓心連線,且其長度為

(18)

此時在柱面滾動關節內的左右兩側絲長為:

(19)

因此,初始狀態與彎曲狀態相比兩側絲的變化量分別為:

(20)

根據式(18)可知,Δll5+Δlr5與絲分布圓半徑無關。假設初始間隙為6 mm,彎曲角度范圍為[-π/4,π/4]時,Δll5+Δlr5與彎曲角度、柱面半徑R及初始間隙之間的關系如圖11所示。

圖11 柱面滾動關節參數對Δll5+Δlr5的影響

若R=a/2,無論彎曲角度取何值,Δll5+Δlr5=0均成立且(Δll5<0,Δlr5>0),此時不具有被動柔順特性;若R>a/2,則Δll5+Δlr5>0,且Δll5+Δlr5隨彎曲角度增大而增大,此時不具有被動柔順特性;若R

4 設計實例

如圖12所示,本節通過采用多個關節模塊正交排列的方式分別設計了3種不具有被動柔順特性的兩自由度彎曲絲驅動蛇形臂機器人構節。

圖12 3種蛇形臂機器人構節

如圖12a)所示的具有定軸轉動關節的蛇形臂機器人構節,其關節數量為7個,關節初始間隙a=12 mm,間隔盤的厚度h=4 mm,轉動中心到下間隔盤的距離為0,到上間隔盤的距離為12 mm;如圖12b)所示的具有柔性關節的蛇形臂機器人構節,其關節數量為7個,關節初始間隙a=12 mm,間隔盤厚度h=4 mm和凸起厚度H=5 mm,柔性板參數為1 mm×1.5 mm×12 mm;如圖12c)所示的具有柱面滾動關節的蛇形臂機器人構節,其關節數量為7個,關節初始間隙a=12 mm,柱面半徑為8 mm,間隔盤厚度為h=4 mm。上述3種絲驅動蛇形臂機器人構節的各個關節模塊均采用鋁合金材質,其每個關節直徑為8 mm,構節總長度為116 mm,其中絲為直徑0.5 mm的不銹鋼絲,絲分布圓半徑r=3.5 mm。

如圖12和圖13所示,當3種絲驅動蛇形臂機器人構節在無外力作用下的單自由度彎曲時,絲的釋放量小于拉緊量。即隨著彎曲角度的增大,在構節內的兩側絲變化量的代數和始終大于零(即Δll+Δlr>0)。這表明所建立的3種絲驅動蛇形臂機器人構節在輸入保持不變時,能夠避免被動柔順特性。

圖13 彎曲角度對Δll+Δlr的影響

5 結論

1) 對于具有定軸轉動關節和柔性關節的絲驅動蛇形臂機器人,在關節上下對稱情形時無法避免被動柔順特性,在關節上下非對稱情形時均可以通過合理設計關節的結構參數避免被動柔順特性。

2) 對于具有柱面滾動關節的絲驅動蛇形臂機器人,則要求柱面的半徑明顯大于關節初始間隙的一半。

3) 給出了3種能避免被動柔順的絲驅動蛇形臂機器人構節的設計實例。