深度學習下“將軍飲馬”問題的教學設計與思考*

北京市十一學校龍樾實驗中學(100096)彭芳芳

《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確指出:“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務,應體現在數學教與學的過程之中.”[1]深度學習引領下的數學教學設計與思考,能夠有效幫助學生建立知識的系統性,培養學科思維和創新意識,滲透核心素養.筆者以數學史中的一個經典幾何問題——“將軍飲馬”問題為載體,呈現深度學習引領下的幾何應用專題的教學設計與思考,與讀者分享交流.

1 教學設計

1.1 內容分析

最短路徑問題是人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊“軸對稱”這一章的應用內容,屬于《義務教育數學課程標準(2011年版)》中“圖形與幾何”領域.最短路徑問題在現實生活中經常遇到,初中階段,主要以“兩點之間,線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”為知識基礎,有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.

本課例以數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬”問題為載體,開展對“最短路徑問題”的課題研究與深度學習,引導學生自主發散情境,并通過類比轉化、遷移學習,利用基本原理(“兩點之間線段最短”和“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”)與基本變換(平移、軸對稱)解決問題,發現學科本質.

1.2 學習者分析

本班學生為我校分層教學理念指導下的數III 學生,學生基礎較好,認知能力、學習能力和遷移能力較強.在此之前,學生已經學習過“幾何圖形初步”、“相交線與平行線”、“三角形”和“全等三角形”,已具備一定的空間觀念、幾何直觀、幾何推理能力和幾何思維.為提升課堂效率,本課主要采用開放性的問題驅動式教學策略.

1.3 學習目標

(1)能夠建立幾何模型,將實際問題抽象為數學的最短路徑問題;

(2)能夠利用軸對稱、平移等圖形變換,將線段和的最值問題轉化為“兩點之間線段最短”問題或“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”問題;

(3)能根據情境需求,分類討論,并完成復雜情境向簡單情境的轉化,體會分類討論思想和類比、轉化思想,體會學科思維習慣,體驗深度學習過程;

(4)積極參與問題的探索活動,自主創設情境、提出問題,學會和他人合作交流,體會成功的快樂,提升數學學習的興趣.

1.4 教學過程

環節一:情境引入 模型建立

早在古羅馬時代,傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者,名叫海倫.一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請教一個百思不得其解的問題:將軍每天從軍營A出發,先到河邊飲馬,然后再去河岸B地開會,應該怎樣走才能使路程最短?從此,這個被稱為“將軍飲馬”的問題被廣泛流傳.

問題1:同學們,你能借助于幾何圖形把這個問題抽象為數學問題嗎?

學生活動:學生分析畫圖,建立幾何模型,回答問題:把軍營A、河岸B抽象為A,B兩點,河抽象為直線l,于是將軍飲馬問題轉化為在直線l上取一點P,使得AP與BP兩線段之和最小.

教師活動:引入情境,提出問題,鼓勵學生展示建模過程.

設計意圖:讓學生將實際問題抽象為數學問題,即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.

環節二:條件開放 分類討論

問題2:在直線上l取一個點P,使得線段AP與BP之和最小,有幾種不同的情形?

學生活動:畫圖分析、分類討論,并與同學交流討論,達成共識:A,B兩點在直線l的同側和A,B兩點在直線l的異側.

追問1:哪一種情況比較簡單?如何解決?你的依據是什么?

學生活動:思考判斷、互相交流、組織語言、回答問題:若A,B在直線l的異側,連接線段AB,線段AB與直線l的交點即為要求的P點.依據是兩點之間線段最短(三角形的兩邊之和大于第三邊),如圖1所示.

圖1

追問2:如果A,B兩點在直線l的同側,如何解決?能否根據所學轉化為第一種情況?

追問3:轉化的依據是什么?

學生活動:獨立思考,對比轉化,與同學交流討論,嘗試回答,相互補充:作點A關于直線l的對稱點A′,將“同側”問題轉化為“異側”問題,如圖2所示,轉化的依據是“線段垂直平分線(對稱軸)上任一點到線段兩端點的距離相等”.

圖2

教師活動:以問題串的形式引導學生分類討論,先易后難,并利用轉化思想解決問題.

設計意圖:引導學生全面分析問題,針對不同情境進行分類討論;關注學生思維生成的過程,通過問題驅動式教學,搭建臺階,為學生探究問題提供“腳手架”,將“同側”難于解決的問題轉化為“異側”容易解決的問題,滲透轉化思想;引導學生思考線段和最小問題的依據和將“同側”問題轉化為“異側”問題的依據,培養學生嚴謹的思維習慣.

環節三:推理證明 語言規范

問題3:你能用幾何語言證明線段和AP+BP最小嗎?

學生活動:思考分析,用圖形語言與符號語言完成推理證明.

教師活動:關注學生的書寫過程,引導學生利用數形結合,用圖形語言與符號語言共同完成證明過程,必要時進行思維點撥.

設計意圖:進一步體會作法的科學性,訓練解題規范,提高學生的邏輯思維能力.

環節四:思想總結 方法提煉

思考1:下面請同學們思考,將軍飲馬問題中運用的數學方法和思想?

學生活動:回顧研究內容,再現思維生成的過程,獨立思考,總結提煉.

設計意圖:引導學生回顧解題過程,把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法,完成思想和方法提煉,養成總結思考的習慣,再次體會解題過程中的模型思想、分類討論思想、轉化思想和從簡單到復雜的數學研究方法.

環節五:情境開放 應用拓展

思考2:在現實生活中,馬不能只喝水不吃草,如果將軍先到草地牧馬,再到河邊牧馬.你能不能據此創設情境,然后解決問題呢?請小組交流完成.

學生活動:分析思考,小組交流,分類討論,自主創設情境,并嘗試解決新情境下的問題.

教師活動:先給學生自己獨立思考的時間和空間,在必要時引導學生畫圖建模、分類討論,類比研究.

設計意圖:通過要素開放拓展學生的思維,引領開放性學習,讓學生通過類比研究,體會總結的思想方法在新情境中的應用,把握問題核心,體會軸對稱的“橋梁”作用,感悟轉化思想,鞏固應用學習成果.

環節六:方向引領 深化研究

小組作業,請各小組任選一個方向,完成研究性報告:

1.在以上問題中,我們都把將軍的飲馬地(牧馬地)抽象為河邊(草地)的某個點,實際情況是否是這樣?更一般地,如果把飲馬地(牧馬地)抽象為河邊(草地)的某條線段,如何解決?

2.為了保持馬的健壯,將軍決定牧馬、飲馬后,再去沙灘遛馬,你能否設計并完成研究報告?

設計意圖:在鞏固課堂所學的基礎上,培養學生深入研究和思考的學習習慣,提升鉆研能力,培養學術規范,提高創新意識.

2 深度學習拓展研究

在深度學習的引領下,我們對將軍飲馬問題展開了如下的拓展研究:

將軍飲馬2.0:將軍從山腳下的A點出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,最后再回到A點宿營.怎樣走才能使總的路程最短?

分析:將草地抽象為直線OM,河抽象為直線ON,于是問題轉化為:在直線OM和ON上分別取一點P和Q,使得線段AP、PQ與QA之和最小.

情形1:點A在角∠MON外,如圖3所示.

圖3

作法:如圖4所示,過A點作AQ⊥ON交ON于Q,交OM于P,則點P和點Q分別是滿足要求的牧馬點和飲馬點.

圖4

依據:(1)兩點之間線段最短;(2)點到直線的線段中,垂線段最短.

情形2:A點在角∠MON內,如圖5所示.

圖5

作法:如圖6所示,(1)分別作點A關于直線OM、ON的對稱點A′、A′′;

圖6

(2)連接A′A′′,交直線OM于點P,交直線ON于點Q,則點P和點Q分別是牧馬點和飲馬點.

依據:(1)垂直平分線的性質:線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點距離相等;(2)兩點之間線段最短.

總結將軍飲馬2.0 版本的問題中,運用的數學方法和思想:以上兩個情形均屬于兩線一點的最短路徑問題,主要用到了

①模型思想:將實際問題抽象為數學問題;

②分類討論思想:根據A點在草地與河張成的角的外部還是內部分類討論;

③類比和轉化思想:一、類比經典的將軍飲馬問題,我們很自然地想到分別作點A關于兩條直線的對稱點,兩個對稱點的連線與兩直線的交點分別就是我們要找的牧馬點和飲馬點;二、兩線一點的將軍飲馬問題,是三條線段和的最短路徑問題:先固定點P,將三條線段AP、PQ與QA之和的最小值轉化為兩條線段PQ與QA之和的最小值,于是問題轉化為兩點一線的將軍飲馬問題,最小值為A′′P;接下來考慮P點的選取,P為直線OM上滿足PA+A′′P最小的點,這又是一個兩點一線的將軍飲馬問題.簡言之,我們可以將兩線一點的將軍飲馬問題轉化為兩個兩點一線的將軍飲馬問題.

將軍飲馬3.0:將軍從山腳下的A點出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,最后回到B點宿營.怎樣走才能使總的路程最短?

分析:將草地抽象為直線OM,河抽象為直線ON,于是問題轉化為:在直線OM和ON上分別取一點P和Q,使得線段AP、PQ與QB之和最小.

情形1:A、B兩點均在角∠MON外,如圖7所示.

圖7

作法:如圖8所示,連接AB交OM于P,交ON于Q,則點P和點Q分別是牧馬點和飲馬點.

圖8

依據:兩點之間線段最短.

情形2:A、B兩點一個在角∠MON外,一個在角∠MON內,如圖9所示.

圖9

作法:如圖10所示,作點B關于直線ON的對稱點B′,連接AB′交OM于P,交ON于Q,則點P和點Q分別是牧馬點和飲馬點.

圖10

依據:(1)垂直平分線的性質:線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點距離相等;(2)兩點之間線段最短.

情形3:A、B兩點均在角∠MON內,如圖11所示.

圖11

作法:如圖12所示.

圖12

依據:(1)垂直平分線的性質:線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點距離相等;(2)兩點之間線段最短.

將軍飲馬3.1:如圖13所示,將軍從A點出發,先到草地某處牧馬,再到河邊飲馬,若將軍沿草地走a米,沿河邊走b米,最后回到B點.怎樣走才能使總的路程最短?

圖13

分析:設將軍從A點出發,先到草地的點P處牧馬,并沿草地走a米到達點P′處,然后到河邊的點Q′處飲水,并沿河邊走b米到達點Q處,最后回到B點.于是問題轉化為當P、P′、Q′、Q在何處時,AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB最小的問題.

因為PP′=a,Q′Q=b,所以AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB的最小值問題可轉化為AP+P′Q′+QB的最小值問題.

對比將軍飲馬3.0 版本,觀察到AP,P′Q′,QB是彼此不連接的三條線段,我們只需通過平移使三條線段首尾相接,把問題轉化為3.0 版本.

作法:如圖14所示,

圖14

(1)過A點作草地的平行線,并在平行線上截取AA′=a;過B點作河邊的平行線,并在平行線上截取BB′=b;

(2)分別作點A′的關于草地的對稱點A′′;點B′的關于河岸的對稱點B′′;

(3)連接A′′B′′,交草地于點P′,交河邊于點Q′;

(4)分別過點A作AP//A′P′交草地于P點;過點B作BQ//B′Q′交河邊于Q點,則AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路徑.

依據:(1)平移的性質;(2)垂直平分線的性質:線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點距離相等;(3)兩點之間線段最短.

證明:由上述作法可知,四邊形AA′P′P和四邊形BB′Q′Q均為平行四邊形,由平行四邊形的性質可知:PP′=AA′=a,Q′Q=BB′=b,AP=A′P′,QB=Q′B′,所以

AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB

=AP+P′Q′+QB+a+b

=A′P′+P′Q′+Q′B′+a+b

=A′′P′+P′Q′+Q′B′′+a+b

=A′′B′′+a+b.

由前面的分析,可得AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路徑.

將軍飲馬4.0:如圖15所示,將軍從A點出發,先到草地某處牧馬,再到河邊飲馬,接著到沙灘遛馬,最后回到B點.怎樣走才能使總的路程最短?

圖15

分析:設將軍從A點出發,先到草地的點P處牧馬,再到河邊的點Q處飲馬,接著到沙灘的點R處遛馬,最后回到B點.于是問題轉化為當P、Q、R在何處時,AP+PQ+QR+RB最小的問題.

類比之前的討論,可用軸對稱的知識將問題轉化為“兩點之間線段最短”的問題來解決.

作法:如圖16所示,

圖16

(1)作點A的關于草地的對稱點A′;作點A′的關于河邊的對稱點A′′;作點B的關于沙灘的對稱點B′;

(2)連接A′′B′,交河邊于點Q,交沙灘于點R;

(3)連接A′Q,交草地于點P,則AP+PQ+QR+RB是最短路徑.

依據:(1)垂直平分線的性質:線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點距離相等;(2)兩點之間線段最短.

小結:將軍飲馬最短路徑問題總結如下表1所示.

現實問題數學抽象數學語言將軍飲馬1.0兩點一線最小值問題兩條線段和的最小值將軍飲馬2.0兩線一點最小值問題三條線段和的最小值(三角形三邊)將軍飲馬3.0兩點兩線最小值問題三條線段和的最小值(首尾連接)將軍飲馬3.1兩點兩線最小值問題三條線段和的最小值(彼此不連接)將軍飲馬4.0兩點三線最小值問題四條線段和的最小值