直接有限環的新刻畫

趙旭東， 王 姍， 魏俊潮

(1.運城師范高等?？茖W校 數計系， 山西 運城 044000； 2.揚州大學 數學科學學院， 江蘇 揚州 225002)

2019年第十屆全國大學生數學競賽決賽(數學類， 三、 四年級)第五大題：

設R為結合環，a,b∈R， 若a+b=ab， 且關于x的方程

(1)

在R中有解， 則ab=ba.

證明由于該方程組等價于方程組

再注意到a+b=ab等價于(1-a)(1-b)=1, 故

(1-a)x=(1-a)x[(1-a)x2(1-a)]

=[(1-a)x(1-a)]x2(1-a)

=(1-a)x2(1-a)=1，

x(1-a)=[(1-a)x2(1-a)]x(1-a)

=(1-a)x2[(1-a)x(1-a)]

=(1-a)x2(1-a)=1，

因此 1-a可逆且(1-a)-1=x， 而且

x=x(1-a)(1-b)

=(1-a)-1(1-a)(1-b)=1-b.

從而 (1-b)(1-a)=x(1-a)

=1=(1-a)(1-b)， 于是ab=ba.

受此題啟發， 下面給出直接有限環的幾個刻畫.有關直接有限環的研究可參見文獻[6-9]. 本文中R均指有單位元的結合環.

定理1R為直接有限環當且僅當對任意的a,b∈R滿足ab=a+b時， 有ab=ba.

證明先證必要性.假設a,b∈R， 滿足

ab=a+b， 則(a-1)(b-1)=1， 由于R為直接有限環， 故(b-1)(a-1)=1， 從而a+b=ba， 所以ab=ba.

再證充分性.任取x,y∈R， 滿足xy=1.記

a=x+1，b=y+1， 則(a-1)(b-1)=xy=1，

所以ab=a+b.由題設知ab=ba， 故有

(x-1)(y-1)=(y-1)(x-1)，

計算得yx=xy=1, 因此R為直接有限環.

定理2R為直接有限環當且僅當對任意的a,b∈R滿足ab=a+b時關于x的方程組(1)有解.

證明先證必要性.假設R為直接有限環且對任意的a,b∈R滿足ab=a+b， 則 (a-1)(b-1)=1， 故 (b-1)(a-1)=1， 從而a-1為可逆元， 故x=(a-1)-1=b-1為方程組(1)的解.

再證充分性.設u,v∈R， 滿足uv=1.記

a=u+1，b=v+1， 則ab=a+b.由題設知方程組(1)有解， 設解為x=d.從而有

于是1-a可逆且(1-a)d=1=d(1-a).由于(1-a)(1-b)=1-a-b+ab=1， 所以

d=d[(1-a)(1-b)]=[d(1-a)](1-b)=1-b

所以 (1-b)(1-a)=1， 即vu=1， 所以R為直接有限環.

定理3R為直接有限環當且僅當對任意的a∈R， 方程ax=a+x有解時， 解與a可交換.

證明必要性是定理1的直接推論, 下面證充分性.

設a,b∈R， 滿足ab=a+b， 則ax=a+x有解x=b. 由題設知ab=ba， 故由定理1知R為直接有限環.

引理1設a,b∈R， 方程ax=a+x有解當且僅當1-a右可逆.

證明先證必要性.若ax=a+x有解， 設x=b為一個解， 則ab=a+b.

所以(1-a)(1-b)=1-a-b-ab=1， 所以1-a右可逆.

再證充分性. 若1-a右可逆， 則有c∈R， 使得(1-a)c=1， 記b=1-c， 則c=1-b.

所以(1-a)(1-b)=1， 有ab=a+b， 所以x=b為ax=a+x的解.

定理4R為直接有限環當且僅當對任意的a∈R， 1-a左可逆時，ax=a+x有解.

證明先證必要性.因為1-a左可逆， 則有c∈R， 使得c(1-a)=1.

由于R為直接有限環， 所以(1-a)c=1， 由引理1知ax=a+x有解.

再證充分性.設a,b∈R滿足ba=1， 故b(1-(1-a))=1， 所以1-(1-a)左可逆， 由題設知(1-a)x=1-a+x有解， 設為x=c， 則

(1-a)c=1-a+c，

所以

(1-a)(1-c)=-c=1-c-1

[1-(1-a)](1-c)=1， 即a(1-c)=1.

所以1-c=(ba)(1-c)=b(a(1-c))=b，

所以ab=1，R為直接有限環.

定理5設a∈R， 則方程ax=a+x有冪零解當且僅當a為冪零元.

證明先證必要性.設x=b為冪零解， 即存在n≥1， 使得bn=0且有

ab=a+b

ab2=ab+b2

? ?

abn-1=abn-2+bn-1

abn=abn-1+bn

將上面n個等式兩邊同時相加， 得

abn=a+b+b2+…+bn-1+bn.

注意到bn=0， 所以有

a=(-1-b-b2-…-bn-2),b=f(b)b，

f(x)=-1-x-…-xn-2.

因為f(b)b=bf(b)， 所以an=[f(b)]nbn=0， 所以a為冪零元.

再證充分性.因為a是冪零元， 即存在n≥1， 使得an=0， 易知1-a為右可逆元.由引理1知

ax=a+x有解， 設x=b為解， 即有

ab=a+b

a2b=a2+ab

a3b=a3+a2b

? ?

an-1b=an-1+an-2b

anb=an+an-1b

將上面n個等式兩邊同時相加， 得

anb=a+a2+…+an-1+an+b

所以b=(-1-a-a2-…-an-2)a=f(a)a

所以bn=[f(a)]nan=0， 即b為冪零元， 因此ax=a+x有冪零解x=b.

定理6R為直接有限環當且僅當對任意的a∈R， 1-a右可逆時， 方程ax=a+x有唯一解.

證明先證必要性.由于1-a右可逆， 所以1-a可逆， 由引理1ax=a+x有解.設b，c都為解， 則ab=a+b，ac=a+c， 所以由

(1-a)(1-b)=1； (1-a)(1-c)=1.

得 1-b=(1-a)-1=1-c， 所以b=c， 從而可知解唯一.

再證充分性.設ab=1， 則1-(1-a)=a右可逆.記

1-a=c， 1-b=d，

則cd=c+d， 所以1-c右可逆且d為方程cx=c+x的解.由題設cx=c+x有唯一解.

c(dc-cd+d)=cdc-c2d+cd

=(c+d)c-c(c+d)+cd=dc

c+(dc-cd+d)=c+dc-(c+d)+d=dc

所以dc-cd+d也為cx=c+x的解， 所以

d=dc-cd+d，

所以dc=cd.

所以

(1-b)(1-a)=dc=cd=(1-a)(1-b).

所以ba=ab=1，R為直接有限環.

定理7R為直接有限環當且僅當對任意的a∈R， 方程ax=a+x有解時， 方程

x2-(ax2+x2a)+ax2a=1有解.

證明先證必要性.假設R為直接有限環且

ax=a+x有解， 由定理2得證.

再證充分性.設u,v∈R， 滿足uv=1， 記

a=1-u，b=1-v， 則(1-a)(1-b)=1， 所以

ab=a+b， 所以ax=a+x有解x=b.由題設知方程x2-(ax2+x2a)+ax2a=1有解，

即(1-a)x2(1-a)=1有解x=c，

所以(1-a)c2(1-a)=1，

所以(1-a)c2=(1-a)c2(1-a)(1-b)=1-b， 所以(1-b)(1-a)=(1-a)c2(1-a)=1，

即vu=1， 因此R為直接有限環.

下面的推論1簡化了2019年第十屆全國大學生數學競賽決賽(數學類， 三、 四年級)第五大題的題設.

推論1設a,b∈R滿足ab=a+b， 若x2-(ax2+x2a)+ax2a=1有解， 則ab=ba.

證明設x=c為x2-(ax2+x2a)+ax2a=1的解， 則(1-a)c2(1-a)=1.

因為ab=a+b， 則(1-a)(1-b)=1，

所以(1-a)c2(1-a)(1-b)=1-b， 即

(1-a)c2=1-b，

所以(1-b)(1-a)=(1-a)c2(1-a)=1，

所以ba=b+a=a+b=ab.