自抗擾ESO改進及其在PMSM控制中的應用

封志鵬，李白雅，張宇祥

(湖南科技大學 信息與電氣工程學院，湖南 湘潭 411201)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)以轉矩脈動小，結構簡單、調速范圍寬、電機體積小等特性而在電動汽車、智能機器人、航天航空等領域被廣泛的應用。PMSM是一個非線性、高階且強耦合的控制對象，隨著現代工業對裝置性能要求不斷提高，傳統PI控制的性能已無法滿足現代工業的要求，所以研究人員們正在尋找一種能滿足現代工業高要求的控制算法來取代傳統算法對永磁同步電機的控制[1]。

20世紀初，中國的韓京清教授正式提出ADRC技術，其核心思想是規定一個標準型，將系統動態中不同于所規定的標準型部分化為總擾動，對于系統的擾動利用ESO來進行實時觀測，并補償到控制系統中實現擾動抵消，以此提高系統的控制性能[2]。目前，國內外研究人員對ADRC開展了大量的研究。文獻[3]為使電機無超調起動，且能對負載突變快速響應，其將線性化ADRC應用到電機調速中。文獻[4]將非線性ADRC應用至電機調速系統的電流環中，極大的提高了電流的跟隨性能。文獻[5]在自抗擾的基礎上添加了負載轉矩補償器，提高了永磁同步電機調速系統的控制性能。文獻[6]在文獻[5]的基礎上，添加了相應的負載轉矩觀測器進一步優化了控制器的性能。文獻[7]為電機調速系統設計了一種二階非線性ADRC，以實現速度和位置的綜合控制。但是以上大部分文獻都沒有對ADRC本身進行改進。

本文針對永磁同步電機突加負載產生擾動時對控制效果的影響，將轉速環控制器設計為一階自抗擾控制器；對其中的二階ESO進行了誤差理論分析，然后將ESO中的fal函數用faln函數替代，設計出改進ESO，并論證了它的收斂性。最后，通過實驗仿真驗證了改進ESO的觀測精度明顯高于傳統ESO，且運用到ADRC中也能提高永磁同步電機調速系統的抗擾能力。

1 PMSM動態數學模型

本文采用表貼式永磁同步電機，假設PMSM為理想電機，且無鐵心飽和現象，不計渦流、磁滯損耗等。因此PMSM動態數學模型在同步dq坐標系下為

(1)

其中，isd、isq、usd、usq分別是定子電流、dq軸分量的電壓；L是電感；Rs是電阻；wr是轉子電角度；J是轉動慣量；pn是極對數；ψf是轉子磁鏈；TL是負載轉矩。

將q軸電流isq作為電機系統的輸入量，電機轉子的電角速度wr看作輸出量，其中isd=0，則永磁同步電機矢量控制系統可近似看作一個一階非線性系統。因此可以設計一階自抗擾控制器作為轉速外環的控制器。

2 轉速環ADRC設計

ADRC是一種不需要系統精準模型的控制算法，由三部分組成：非線性微分跟蹤器(TD)用以安排過渡過程；ESO用以估計出系統的狀態量和擾動量；非線性狀態誤差反饋控制率(NLSEF)實現擾動補償。

一階ADRC結構圖，如圖1所示。

圖1 一階ADRC控制器

由式(1)可得機械運動方程為

(2)

(3)

因此，通過對ADRC的技術分析可知，一階自抗擾表達式如下：

TD：

(4)

ESO：

(5)

其中，z1為轉速wr的跟蹤信號；z2為綜合擾動a(t)的觀測值；β1、β2為輸出誤差校正因子。

NLSEF：

(6)

fal(ε,α,δ)函數為

(7)

其中，ε為輸入的誤差變量；α為非線性因子且0<α<1，為濾波因子。

3 擴張狀態觀測器分析

ESO是現階段所有可以主動抗擾技術中的核心部分，同樣也是ADRC的核心部分；擴張狀態觀測器并不需要擾動模型，也不需直接測量就能得出估計值。

3.1 二階擴張狀態觀測器誤差理論分析

對于一階非線性系統:

(8)

由上可知式(8)的擴張系統是：

(9)

以此構建該系統的狀態觀測器如下：

(10)

(11)

由文獻[8]得知，可將(e1,e2)平面分成5個區域 Gi(i=1,…,5)，以此分別構造非連續分段光滑的Lyapunov正定函數Vi，根據多Lyapunov函數定理可證得系統(11)是穩定的，且系統誤差最終由區域G0所限定，其中β0>w0，得到二階ESO狀態的最小收斂誤差為

(12)

(13)

所以系統穩定時所得到的實際轉速觀測誤差為|e1|<1。

3.2 改進二階擴張狀態觀測器及其收斂性

當誤差較大時，為了使觀測器狀態z1、z2與被跟蹤狀態wr、a(t)不會產生太大偏離，增強系統抗擾性，同時由上節得出系統穩態時的觀測誤差|e1|小于1，所以本文可利用faln函數來構造二階擴張狀態觀測器。

faln函數的表達形式為[9]

(14)

以下為faln函數對傳統非線性自抗擾控制的優化原理：

對式(7)和式(14)進行變換，知：

(15)

(16)

其中

(17)

(18)

改進ESO：

(19)

當系統總擾動為零時，由式(9)和式(19)可得誤差方程，可寫為如下形式：

(20)

其中,

(21)

引理1[11]若存在矩陣

(22)

且矩陣D的對角元素為正數，使矩陣DA(e)正定對稱，由此，式(19)的零解可看作是Lyapunov漸近穩定的。

由引理1可知，是否能構造出令DA(e)矩陣正定對稱的D矩陣，便是證明式(19)的零解Lyapunov漸近穩定，系統變量x1、x2能否被觀測器狀態z1、z2跟蹤的關鍵。下面將證明滿足條件的D矩陣是否存在。

計算矩陣DA(e)可得

(23)

其中,

D11=d11β1F+d12β2F

(24)

D21=-d12β1F+d22β2F

(25)

(26)

D21=-d11

(27)

D11>0

(28)

(29)

在此可令d11=1，d22=ε1令ε1為一個無限小的正數，則可滿足引理1的要求。結合式(25)和式(27)可得：

(30)

結合式(24)和式(30)可知：

(31)

因為F有界，且大于零，ε1為無限趨近于零，則上式可化簡為

(32)

且F>0,β1,β2為正數，則滿足式(28)。

將式(30)和式(31)代入式(29)得：

(33)

因此滿足式(29)。

綜上所述，可以構造出令矩陣DA(e)正定對稱的D矩陣，所以系統式(19)的零解是Lyapunov漸近穩定的。

4 仿真及結果分析

為驗證本文所設計的改進ADRC控制方法在永磁同步電機矢量調速系統中的控制性能，在Matlab/Simulink環境中進行仿真研究，同時與其它控制器在相同條件下進行比較研究。采用的PMSM的運行參數，如表1所示。

表1 永磁同步電機仿真參數數值表

永磁同步電機自抗擾控制系統框圖如圖2所示。

圖2 PMSM調速系統整體結構圖

仿真中的電流環PI參數為kp=46.75、ki=15812.5；由文獻[12]的進行自抗擾器參數整定，所得到的自抗擾控制器參數如表2所示。

表2 ADRC仿真參數數值表

電機以給定速度1000 r/min，空載起動，在0.05 s突加7 Nm的負載，仿真結果如圖3所示。

圖3 轉速觀測值與實際轉速值誤差局部對比圖

如圖4所示，改進ADRC和傳統ADRC對于電機轉速的控制都能實現轉速無超調，起動時間一致；在0.05 s突加7 Nm的負載時，傳統ADRC的轉速降為986.24 r/min，改進ADRC的轉速降為976.1464 r/min，且在轉速恢復時，改進ADRC的轉速震蕩次數少，幅度小，由此可知改進ADRC具有比傳統ADRC更好的抗擾效果。

圖4 輸出轉速曲線圖和局部放大圖

如圖5所示，在0.05 s突加負載時，傳統ADRC的給定轉速與實際轉速之間的誤差明顯大于改進ADRC的轉速誤差；傳統ADRC的誤差經過7次大的震蕩才趨于常值，而改進ADRC的轉速誤差經過3次比較大的震蕩后便趨于常數；改進ADRC的轉速穩態誤差為0.016325 r/min小于傳統ADRC的0.99804 r/min；由此可以看出改進ADRC較傳統ADRC有更優的穩態性能。

圖5 給定轉速與實際轉速誤差對比圖和局部放大圖

5 結 論

本文提出了一種改進ADRC作為永磁同步電機矢量控制速度環控制器的控制方法，先對二階ESO進行了誤差理論分析，為提高系統抗擾性能，將faln函數取代ESO中的fal函數，通過Lyapunov驗證了改進ESO收斂性。仿真結果表明了改進ESO對實際轉速的觀測精度有了明顯提高，將其運用到ADRC中也能提高永磁同步電機調速系統的抗擾能力和穩態精度。