基于知識形成脈絡 經歷定理生成過程

謝德順

摘? 要：讓學生經歷定理生成過程是學生掌握定理的有效方法. 本節課設計了從一維線段提出問題到二維三角形發現問題、從特殊的三角形（等邊三角形、等腰直角三角形）驗證問題到一般三角形論證中位線定理的過程. 以知識的形成規律構思設計定理教學，引導學生經歷定理的生成過程，感受思考問題、研究問題的策略與方法，深度引導學生思考，理解數學的核心價值.

關鍵詞：中位線定理;經歷過程;探究生成;知識脈絡

數學教學中定理教學占據著重要的地位. 定理教學時，許多時候教師不重視定理的形成過程，結論產生突兀，讓學生失去了探索的樂趣，既沒有達到定理學習的目的，又影響學生追求數學真、善、美的愿景.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程. 除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式. 學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程. 定理教學應遵循知識的形成脈絡，化解學習中的難點，遵從問題探索的一般方法，經歷定理研究的過程，發現定理產生的本源. 定理研究的過程中激發了學生學習的積極性，引發學生積極思考，掌握恰當的數學方法，學會分析問題、解決問題.

定理教學設計需要教師在遵從學生已有經驗的基礎上，從學生的認知理解出發，模擬科學研究的一般規律和方法設計定理教學. 筆者就人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊“三角形的中位線”一節課為例深入研究，與大家交流.

一、經歷過程，探究發現

一個新定理的產生有其形成規律，有其知識背景、文化背景. 在數學定理教學活動中，要讓學生了解定理的來龍去脈，知其然，知其所以然;要打破碎片化的定理認知，經歷定理的形成過程，幫助學生構建知識，發展學科關鍵能力，落實學科核心素養. 定理的學習不能僅僅讓學生記住、會用，經歷定理的形成過程，讓學生學會思考、學會探索解決問題的方法更為重要.

1. 從特殊到一般，經歷定理的生成過程

（1）設計思考1.

線上提出問題：如圖1，線段上任意一點分得的兩條線段中點間的距離等于這條線段長度的一半.

面上發現問題：如圖2，把點A從線段BC中提取出來，形成三角形，猜想DE =[12]BC.

（2）教學活動.

問題思考：

① 如圖3，線段BC = 10，BC上有一點A，且BA = 4，點D是線段BA的中點，點E是線段AC的中點，則DE的長度是______.

教師追問：線段DE和線段BC有怎樣的數量關系？

學生活動：思考并回答，線段DE是線段BC的一半.

② 若取消①中各線段的長度值，將點A改為線段BC上的任意一點（不與端點重合），其他條件不變，則①中的數量關系是否仍然成立呢？為什么？

學生活動：思考并得出結論：①中的數量關系仍然成立.

教師歸納：我們不難發現，當點A是線段BC上任意一點時，兩個中點D，E所連成的線段是整條線段BC的一半.

教師引導：我們知道，點和線段的位置關系，除了“點”在線段上，還有“點”在線段外. 同學們觀察并思考，若將點A移至線段BC外，此時的圖形由線段變化為平面上的三角形，仍然取線段AB的中點D，取線段AC的中點E，連接DE. 當在幾何畫板軟件上移動點A，改變△ABC的形狀，觀察線段DE，你發現了什么？如圖4，線段DE和線段BC的數量關系是否仍然是圖3中的DE =[12]BC？

教師活動：操作幾何畫板軟件動態演示，將點A從線段BC上剝離至線段BC外.

學生活動：觀察幾何畫板軟件動態演示，猜想線段DE的長度不變，仍然是線段BC的一半.

師：這是一條有意義的線段，我們有必要探索一下這條線段. 為此我們需要給出它的定義：在△ABC中，若點D是線段AB的中點，點E是線段AC的中點，則線段DE就是△ABC的中位線. 你能用自己的語言總結出三角形中位線的定義嗎？

學生活動：歸納概念，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

（3）教學反思.

利用學生思維的慣性引導學生猜想結論，從線段的特性到圖形的特性，從一維線到二維面，從低階思維到高階思維，追根溯源，從問題的本源出發，為生成定義、定理做好鋪墊.

2. 從特殊到一般，經歷定理的論證猜想

（1）設計思考2.

特殊驗證問題：① 如圖5，探究等邊三角形的中位線與第三邊的關系;

② 如圖6，探究等腰直角三角形的中位線與第三邊的關系.

（2）教學活動.

探究：當點A在線段BC外時，線段DE，即△ABC的中位線，是否仍然是線段BC的一半呢？

教師引導：剛才的結論是由具體的線段計算得出的，對于現在的問題我們是否也能用這樣的方式處理呢？我們可以嘗試先將三角形特殊化，常見的特殊三角形有哪些？

預設回答：等邊三角形、等腰直角三角形.

教師引導：我們可以先用等邊三角形進行研究驗證：如圖7，若△ABC是等邊三角形，點D，E分別是邊AB，AC的中點，連接DE. 則線段DE和線段BC有怎樣的數量關系？

學生活動：學生思考，并口答思路.

教師追問：你還發現了什么？線段DE和線段BC還存在著怎樣的關系？

學生活動：思考并發現，DE是BC的一半. 除了有這個數量關系外，還存在位置關系——平行，且可驗證.

教師引導：若將中位線放置到等腰直角三角形中，剛才的結論是否依然成立呢？

如圖8，在等腰直角三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，點D，E分別是邊AB，AC的中點，連接線段DE. 則線段DE和線段BC有怎樣的數量關系與位置關系？

學生活動：學生思考并口述思路.

（3）教學反思.

完備的知識學習、能力的建構需要有一個過程，需要找出知識的生長點. 利用特殊問題帶動一般問題的生成，從特殊問題入手，是一種方法，也是研究問題的一種途徑.

3. 一般圖形探究定理的論證過程

（1）設計思考3.

一般證明問題：如圖9，探究一般的三角形的中位線與第三邊的關系.

（2）教學活動.

教師引導：我們已經驗證了在特殊的三角形中，中位線和三角形的第三邊之間存在一定的關系，若將中位線放到一般的三角形當中，剛才的結論是否仍然成立呢？

歸納結論：如圖10，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點. 求證：DE∥BC，且DE =[12]BC.

學生活動：思考后作答，然后以小組為單位討論交流.

教師活動：巡察并適時點撥，鼓勵學生用多種方法加以證明. 讓學生在黑板上展示，并講解.

總結結論：三角形中位線定理.

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

在△ABC中，因為點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，所以DE∥BC，且DE =[12]BC.

（3）教學反思.

依據教材內容，以定理的形成脈絡為思路（如圖11），從特殊的等腰直角三角形、等邊三角形到一般的三角形，從簡單的線段到復雜的三角形，再從具體問題的解決到形成抽象的定理，讓學生經歷知識的發生、發展過程，由知識的發展規律自然演變出定義、定理，充分認識知識的價值，體會研究問題的方式、方法（如圖12）. 平行只是一個“副產品”，從論證數量關系上自然地引出中位線平行于第三邊的位置關系. 從特殊圖形歸結出它們的關系時，可利用幾何畫板軟件的動態演示使學生更清晰、更直觀地發現線段之間的數量和位置關系，體會猜想，引發深入討論.

二、教學后記

1. 實踐探究，豐富學生的知識內涵

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行. 弗蘭克林在雷雨天中放飛風箏發現了雷電的性質，愛迪生經數千次的實驗發明了白熾燈，李時珍嘗遍百草寫下流傳百世的《本草綱目》……“三角形中位線定理”的探究從解決“線段上任意一點分得的兩條線段中點間的距離與這條線段長度的關系”這個舊問題入手，拓展到平面上“連接三角形兩邊中點的線段與第三條邊的數量關系”，再到研究特殊三角形的中位線與第三邊的數量關系，從解決這些具體問題的實踐中，不斷生成新的問題、新的猜想，構想新的論證. 實踐證明，知識的形成來自實踐，讓學生經歷知識的形成過程，充分運用已有知識去解決新的問題，讓新、舊知識結合起來，靈活運用知識，知識才會靈動起來，才會豐富知識的內涵. 經歷知識的生成過程是《標準》“四基”中的一基，是學生完善知識結構的重要環節.

2. 經歷體驗，發展學生的思維品質

1936年，愛因斯坦在美國高等教育三百年紀念會上的演講中指出：有時，人們把學校簡單地看作把盡量多的知識傳授給成長中的一代的一種工具，但這種看法是不正確的……學校的目標應當是培養能獨立工作和獨立思考、把為社會服務作為人生最高追求的人.“探究—發現—論證”定理的過程中，充分發揮學生的主體作用，自主思考中探求“線段的數量關系與位置關系”，合作碰撞中形成自我觀點和認知，充分調動了學生的思維. 例如，在討論猜想時，可以設計一個開放的問題：你認為一個結論是否正確，應該先從哪里著手思考解決？把問題解決的方案交給學生，給學生較大的思維空間，使不同學生的思維能力獲得不同的提升. 數學的“立德樹人”應滲透在思維教學活動中. 數學的簡、真、美可以陶冶學生的情操;在探求知識的過程、方法中發展學生的數學學科核心素養;在自主合作中使學生體驗學習的樂趣，豐富經驗，增長見識，開闊視野;在探索研究中培養學生思維的深刻性、廣闊性、創造性、敏捷性和批判性;在教學中關注學生的成長，引導學生梳理知識形成脈絡，內化遷移所學知識，推動深度學習，發展學生良好的思維品質.

3. 問題導向，遷移內化思想方法

綱舉目張，執本末從. 學生的年齡特點決定了學生喜歡具體化的數學問題，通過不斷分析問題、解決問題，讓學生學會發現問題、提出問題. 好的問題就是給學生搭建引發思考的平臺，課堂上從解決系列問題串的過程中，抽絲剝繭地揭示問題的本質特征，抽象形成定理. 在經歷問題解決過程中完善學生的知識結構，構建形成知識體系，以此為支架促使學生的思維正向遷移. 從解決一個個問題這條顯形線形成“背景探究—定理產生—定理論證—定理應用”這條方法隱形線，滲透數學思想方法第三條線. 在定理探究過程中，讓學生經歷“獨立思考—歸納概括—猜想驗證”，培育學生的創造性思維意識.

4. 研究定理，創新定理教學方法

定理教學，教師大都按照教材設置、從命題本身出發學習定理，依照“閱讀理解—翻譯畫圖—論證形成—解析應用”這一環節、步驟，教學按圖索驥、就事論事，導致學生對定理的認識膚淺，教學功能單一，不能充分發揮定理教學培養學生思維品質、培育數學素養的作用. 重新創設定理教學，教師需要認真挖掘教材，充分研究定理，理解定理內涵，認識定理本質去構思定理教學，讓學生經歷定理“生成—發現—論證—應用”的過程.

定理的產生有其內在的規律.

案例1：如圖13，在等邊三角形的學習中，對半切等邊三角形可以生成“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”.

應用上述定理的研究方法同樣可以研究“三角形的中位線定理”. 如圖14，對半切平行四邊形可生成“三角形的中位線定理”.

問題1：如圖14（1），在[?ABCD]中，點E為AB的中點，連接EO并延長交DC于點F，點F是否為DC的中點？EF與BC的大小關系與位置關系是_______.

問題2：如圖14（2），把圖14（1）中的平行四邊形的右上部分及OB隱去，則OE與BC的大小關系與位置關系是________.

從三個問題的演變規律自然生成“三角形的中位線定理”.

案例2：學習“三角形的內角和定理”可以從三條線段在一條直線上出發生成“三角形內角和等于180°”的猜想.

問題1：圖15（2）中，點C是AB外一點，若把∠CAB，∠CBA分別看作線段AC與AB，BC與BA的夾角，那么∠CAB + ∠ACB + ∠CBA的度數為________.

問題2：圖15中，拉動點C離開AB，逐漸變化到圖15（3），觀察∠CAB，∠CBA，∠ACB三個角的大小變化，猜測∠CAB + ∠ACB + ∠CBA的大小是多少.

圖15中的結論明顯是180°. 圖形從圖15（1）到15（3）的變化過程中，學生會觀察到∠CAB，∠CBA在變大，∠ACB在變小，三個角的和是180°會自然猜想生成.

定理教學可以結合深度教學，以大單元教學為抓手，教學中要舍得花時間，讓學生經歷定理生成探索的過程，給教學活動賦予更多的功能，把數學思想方法、數學核心價值、數學的“立德樹人”滲透到定理教學的過程中去，定理教學才顯得更有意義和價值.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]李海東. 基于發展學生核心素養的初中數學教學[J]. 中國數學教育（初中版），2019（4）：3-8，13.

[3]曹建軍. 讓學生經歷概念抽象的深度思考過程：銳角三角函數概念“真探索”的教學設計改進與思考[J]. 中國數學教育（初中版），2021（7 / 8）：7-12.

[4]吳增生，紀憲禹. 以教學實踐問題為導向，進行復習教學策略的系統創新[J]. 中國數學教育（初中版），2021（6）：61-64.