應用微分思想突破電磁感應圖像問題

鄒范勇

(廣東省中山市中山紀念中學)

電磁感應中的圖像問題能夠很好地考查學生物理建模、推理運算、數形結合等綜合處理物理問題的能力,集中反映學生的物理觀念、科學思維等物理學科核心素養,已經成為近些年高考考查的熱門內容.本文以電磁感應問題中經常出現的三種模型為例,詳細討論微分思想在處理圖像問題中的應用.

1 基本模型

例1如圖1所示,兩電阻不計的足夠長平行光滑導軌傾斜放置,上端連接一電阻R,空間有一垂直導軌平面向上的勻強磁場,其磁感應強度為B,一質量為m的導體棒與導軌接觸良好,從某處自由釋放,下面四幅圖像分別表示導體棒運動過程中速度v與時間t的關系、加速度a與時間t的關系、機械能E與位移x的關系,以及通過導體棒的電荷量q與位移x的關系,其中可能正確的是().

圖1

命題立意題設屬于典型的導體棒切割模型,涉及法拉第電磁感應定律、歐姆定律以及牛頓第二定律的考查.分析問題時既要判斷物理量本身的變化趨勢,又要判斷相應物理量變化率的變化情況,綜合性強.

分析如圖2所示,對導體棒受力分析,根據牛頓第二定律和歐姆定律知(設導軌寬度為L)mgsinθ－BIL＝ma,I＝.聯立得

圖2

在導體棒運動過程中,取一段無窮短的時間Δt,該段時間內導體棒位置變化Δx,速度變化Δv,加速度變化Δa,機械能變化ΔE,流過導體棒的電荷量為Δq.根據微分思想,v-t圖像、a-t圖像、E-x圖像、q-x圖像中曲線切線的斜率分別表示

2 含源模型

例2如圖3所示,間距為l的足夠長光滑平行導軌豎直放置,上端連接電動勢為E的電源.一光滑金屬棒橫跨在兩側導軌上,且與導軌始終良好接觸,足夠大的勻強磁場垂直于軌道平面,磁感應強度為B,回路的總電阻R保持恒定.由靜止釋放金屬棒,之后某時刻閉合開關S,則下圖中金屬棒速度v、回路中電流i隨時間t變化的關系圖像可能正確的是().

圖3

命題立意題設綜合考查了與閉合電路歐姆定律以及牛頓第二定律相關的動態變化問題,能夠很好地反映學生應用微分觀念處理問題的物理思想,考查學生結合數學圖像處理物理問題的能力.

分析根據閉合電路歐姆定律及牛頓第二定律知E＋Blv＝iR,mg－Bil＝ma.聯立得

3 含容模型

例3如圖4 所示,勻強磁場中水平放置兩足夠長的光滑平行金屬導軌,導軌的左側接有不帶電的電容器C.金屬棒ab在導軌上向右運動,運動過程中棒始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸,不計導軌電阻.在t0時刻閉合開關S,則下圖中金屬棒速度v、加速度a、電容器所帶電荷量q、回路中電流i隨時間t變化的關系圖像可能正確的是().

圖4

命題立意題設屬于含有電容器的導體棒切割模型,涉及電容的定義、感應電動勢的計算、電路結構的分析以及牛頓第二定律等內容,綜合性強,能很好地反映學生結合物理圖像綜合解決實際問題的能力.

分析設勻強磁場磁感應強度為B,導軌間距為l,電路中的總電阻為R,電容器兩板間電壓為U,根據閉合電路歐姆定律和牛頓第二定律有Blv＝iR＋U,Bil＝ma,q＝CU.聯立得

在導體棒運動過程中,取一段無窮短時間Δt,該段時間內金屬棒的速度變化Δv,加速度變化Δa,通過金屬棒的電荷量Δq,電流變化Δi.根據微分思想,v-t圖像、a-t圖像、q-t圖像、i-t圖像中曲線切線的斜率分別為

根據式⑤,隨著金屬棒加速度a逐漸減小為零,電流i也逐漸減小直至為零,所以選項D 錯誤.

因為i逐漸減小直至為零,故電荷量q逐漸增大的同時,逐漸減小為零,所以選項C正確.

正確答案為C.

小結在電磁感應圖像問題中,速度、加速度、電壓、電流等物理量互相制約、瞬態變化,其變化圖像一般為曲線.為了準確判斷物理量的變化圖像,必須分清變量與不變量,既要判斷物理量變化的單調性,又要關注圖線的切線斜率所代表的物理意義.只有列出具體問題所滿足的規律方程,結合微分思想進行討論,才能對物理量的變化趨勢作出正確判斷.

此類問題綜合性強,對數學能力要求高,尤其要結合微分思想處理問題,不僅能夠考查學生解決物理問題的綜合能力,還可以反映出學生的物理思想和物理方法,體現物理學科核心素養水平.

(完)