非圓齒輪無級調速特性分析與設計

邢慶坤，林 超，喻永權

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.中國北方車輛研究所，北京 100072)

自齒輪副提出以來，諸多國內外學者對齒輪副的齒形設計、仿真加工和嚙合特性等進行了分析，梁成成等[1]通過分析成型輪的數學模型，分別推導了成形法和展成法的輪齒齒面數學模型,建立了齒輪精確化建模流程。李帥等[2]和陳曦等[3]則從重合度的角度對齒輪副進行參數優化,分析了重合度對齒輪副嚙合特性和系統動態嚙合性能的影響規律。宋朝省等[4]則從彎曲應力的角度分析了安裝誤差對齒根彎曲特性的影響規律。隨著齒輪副的應用越來越廣泛，相關學者又提出了非圓齒輪的傳動形式，以進一步擴大齒輪副的應用范圍。但非圓齒輪的速比特性和輪齒加工等又不同于常規圓柱齒輪[5-7]，對于非圓齒輪的節曲線設計， Bair等[8]和Li等[9]以齒輪嚙合原理為基礎，分別結合Jarvis步進算法和傅里葉級數等相關理論，從不同的角度建立了非圓齒輪節曲線的時變級數數學模型，能夠根據給定的參數進行一定程度的通用化設計，具有一定的精度和通用性。童婷等[10]和Qiu等[11]則探討了非圓齒輪封閉節曲線的設計方法，解決了具有內凹節曲線的非圓齒輪齒廓求解難題。李建剛等[12-14]和Li等[15]則基于齒面離散的思想，提出了一種非圓齒面離散坐標點的數值計算方法，同時對非圓齒輪輪齒根切和齒頂變尖進行了初步探索，建立了輪齒根切的理論判定方程，給出了輪齒根切的評價指標。

由于非圓齒輪的節曲線為任意曲線，因此其運動特性也與常規圓柱齒輪副不同。Penaud等[16]和Talpasanu等[17]分別基于復雜齒輪機構的機構簡圖和關聯矩陣理論，建立了非圓齒輪及其與桿機構的組合機構的運動學分析方法。林超等[18]針對現有的間歇轉動機構傳動性能的缺陷，提出一種新型非圓齒輪型間歇轉動機構，并從運動學角度對機構的傳動性能進行了分析。楊存等[19]通過對非圓齒輪嚙合傳動的運動學及動態特性的分析，不僅可以解決設計上的問題,而且還可以對其進行優化設計，消除或減少構件所產生的慣性力，減輕機械振動，降低噪聲污染，提高整個機械系統的工作性能和使用壽命等，為設計研發非圓齒輪提供一種可靠有效的研究方法。

上述研究主要集中在非圓齒輪的理論設計及參數對運動特性的影響，相關應用研究較少。筆者以非圓齒輪的速比特性為基礎，針對車輛中常用的帶式無級變速機構的承載能力有限、傳動精度不高等不足設計了全齒輪嚙合形式的非圓齒輪無級調速機構，擴大了非圓齒輪和無級變速機構的應用范圍?；诠澢€封閉性，采用多段線構造法，提出了非圓齒輪節曲線的反求設計方法；建立了無級調速機構分支數、非圓齒輪速比范圍和轉角范圍間的匹配關系，并通過ADAMS仿真實驗驗證了非圓齒輪和無級調速機構設計的正確性。

1 無級調速原理

如圖1所示，在非圓齒輪無級調速機構中主要包含兩部分：非圓齒輪時變速比產生部分和行星速比整合部分。在圖1(a)中，鎖緊機構在改變非圓齒輪副1和2的相位角的同時還實現輸入轉速的分流，將輸入轉速分別傳遞到非圓齒輪副1和2；由于非圓齒輪副1和2處于不同的相位角，根據圖1(b)得到非圓齒輪的速比與相位角具有對應關系，此時圖1(a)中兩非圓齒輪副輸出轉速不同，由此可以在速比整合部分通過差動輪系進行速度整合，最終由選擇輸出機構中的選擇部分對整合后的速度分支進行輸出，得到需要的連續調速輸出。圖1(b)中，a為非圓齒輪長軸半徑參數，e為非圓齒輪偏心率，n為非圓齒輪階數，從圖1(b)中可知，非圓齒輪的速比具有隨參數變化的時變性，半徑參數a主要影響速比的最大最小值：具體表現為隨著半徑參數a的增大，速比最大值增大、最小值減??；偏心率e主要影響最大最小值間的差值，偏心率越大，最大值越大、最小值越??；階數n主要影響非圓齒輪副速比周期數，階數越大，速比周期越大，變化越快。由于非圓齒輪始終具有時變的速比，因此其不能直接作為無級變速機構進行使用。結合圖1(a)，輸入轉速通過鎖緊機構一分為二分別輸入到非圓齒輪副①和②，對非圓齒輪副①和②設置不同的相位角即可得到具有相位差的時變輸出轉速；兩組非圓齒輪副的輸出轉速分別作為速比整合部分的③和④的輸入轉速，通過差動輪系將兩個輸入轉速合成為一個確定的輸出轉速，而不同相位角下兩組非圓齒輪副①和②的輸出速比也具有不同的相位差，最終通過選擇齒輪副⑤進行輸出選擇，在輸入轉速不變的前提下實現輸出轉速的無級變速。

圖1 非圓齒輪無級調速機構傳動原理Fig.1 Continuously variable transmission mechanism with non-circular gear pair

1.1 非圓齒輪副節曲線設計

根據圖1中所示非圓齒輪無級調速機構的結構關系可知，作為時變速比發生部分，無級調速機構中非圓齒輪副的工作段速比函數需為一次函數形式；根據高階函數對低階函數的包含性，非圓齒輪副對應的過渡段速比函數可以采用傅里葉級數或多項式進行構造[20],以偏心非圓齒輪為研究對象，采用多項式構造非圓齒輪副過渡段速比函數，得到非圓齒輪副周期性速比函數如式(1)所示。

(1)

式中：X為非圓齒輪工作段轉角，文中設計參數X=4π/3；T=2π。

根據非圓齒輪的速比特性、節曲線的封閉性和函數的包絡性，可知非圓齒輪過渡段速比函數需要通過6個邊界條件和1個封閉條件進行確定，如式(2)所示。

(2)

最終得到非圓齒輪副周期性速比函數為

(3)

1.2 分支匹配設計

由無級調速機構的應用特性可知，非圓齒輪無級調速機構需要在0°～360°范圍內實現連續整周期的穩定輸出速比，而根據圖1(b)和式(3)有，單對非圓齒輪副必定會出現不能滿足傳動和速比整合要求的過渡段。因此必須采用多組非圓齒輪組合的形式，通過輸出分支的交替選擇實現恒定速比變換。

根據圖1(a)建立時變整合部分簡化模型如圖2所示。

圖2 速比整合機構簡化模型Fig. 2 Simplified model of integration mechanism

結合圖2所示差速齒輪系的速比等效簡化模型，可以得到非圓齒輪無級調速機構最終輸出速比與非圓齒輪副1和2的輸出速比之間的關系為

(4)

式中：i1(θ1)和i2(θ2)分別是非圓齒輪副1和2的輸出速比；i1和i2是整合差速齒輪副的兩級速比；a是整合差速齒輪副太陽輪與外圈輪的齒數比。從式中可以看出非圓齒輪調速機構的最終輸出速比函數與各級齒輪副間的速比函數有關。預設非圓齒輪的工作段函數特性如表1所示。

表1 非圓齒輪工作段參數

根據式(3)的整周期速比函數和表1所示非圓齒輪副工作段基本參數可以得到不同配對分支單對非圓齒輪副的整周期速比曲線如圖3所示。

圖3 單對非圓齒輪副速比Fig. 3 Transmission ratio of non-circular gear pair with different groups

圖3顯示了不同配對分支數下的非圓齒輪速比曲線?？梢钥吹絾螌Ψ菆A齒輪整周期速比由兩部分組成：工作段速比和過渡段速比。由于必須要滿足給定工作段的速比特性，所以過渡段速比函數的上下超調量就不可避免，但其會隨著配對組數和工作段速比函數進行變化。

1.3 非圓齒輪參數匹配設計

由于不同參數非圓齒輪具有不同的速比特性，同時對非圓齒輪的設計加工也會造成不同的影響。所以需要對非圓齒輪工作段節曲線函數可行性進行理論分析，根據非圓齒輪工作段和過渡段間的速比函數包含特性，可以得到如圖4所示的非圓齒輪配對分支數、工作段轉角范圍和工作段速比函數的相互關系。

圖4 非圓齒輪分支數、轉角范圍與工作速比函數的匹配關系Fig. 4 Matching relationship between the non-circular gear groups, rotation angles and working ratio function

在圖4所示的有序平面上，每一平面代表同一速比函數。當所需工作速比不變時，非圓齒輪工作段轉角范圍的理論分布角隨著配對非圓齒輪分支數的增加而減小。虛線將該平面分為3個部分：1)左下角，節曲線重合度小于1，這表示該分支數與轉角范圍配對情況下得到的非圓齒輪節曲線不完整，對應的整合輸出速比函數有波動，如圖5所示。2)虛線上，節曲線重合度等于1，這表示此種組數與轉角范圍配對情況下得到的非圓齒輪節曲線剛好完整，滿足設計要求；但在實際使用過程中需要瞬時切換，不然也會導致輸出速比函數有波動，在此種切換模式下，齒輪副之間、輪齒之間的負載變化劇烈，容易引起壽命減少、振動沖擊過大等不利情況。3)右上角，節曲線重合度大于1，這表示此種組數與轉角范圍配對情況下得到的非圓齒輪節曲線有重合或者輸出速比函數有重合，在此種配對模式下，首選節曲線完整設計，則輸出速比的重疊部分可以給予相位切換機構足夠的作動時間。相較于情況1和2，情況3不僅滿足了單個齒輪副的節曲線完整性，同時也滿足了無級調速機構的需求，其工作轉角具有一定的重合度，為相位切換提供了緩沖空間和時間，減少了快速切換帶來的沖擊。

圖5 非圓齒輪節曲線與參數關系Fig. 5 Relationship between non-circular gear pitch curves and parameters

表2為圖4～5中各種情況對應的節曲線、輸出時變特性的相互關系。

表2 非圓齒輪節曲線與輸出速比關系

2 仿真驗證

2.1 非圓齒輪無級調速機構建模

筆者主要對非圓齒輪無級調速機構主體部分輸出速比規律進行仿真，仿真模型主要包含用于動力輸入的輸入軸，用于時變速比生產的非圓齒輪副，用于速比整合的差動輪系和作為輸出選擇部分的平行軸齒輪副，如圖6所示。

將圖6所示模型導入ADAMS(automatic dynamic analysis)中，添加相應的運動副，以輸入軸為動力輸入，經過非圓齒輪的速比產生和差動輪系的速比整合之后得到所需的時變函數，最后通過平行軸輪系選擇對應的工作段分支進行時變輸出(見圖7)。

圖6 非圓齒輪無級調速機構實體模型Fig. 6 Model of continuously variable transmission mechanism with non-circular gear pair

圖7 運動副添加Fig. 7 Motion joints

2.2 仿真分析

圖8 相位差為0°時的非圓齒輪無級調速機構輸出速比特性Fig. 8 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 0°

圖9 相位差為60°時的非圓齒輪無級調速機構輸出速比特性Fig. 9 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 60°

圖10 相位差為120°時的非圓齒輪無級調速機構輸出速比特性Fig. 10 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 120°

對比圖8～10所示不同相位角下的非圓齒輪無級調速機構仿真結果可知，當非圓齒輪副1和2的相位差不變時，非圓齒輪副1和2均能實現預設的一階速比函數，同時通過速比整合部分得到工作段轉角對應的穩定輸出速比；進一步對比圖10(b)～(d)可知，不同非圓齒輪分支的穩定輸出速比函數間具有不同的相位差，經過輸出選擇部分即可實現連續、穩定的時變輸出。

3 實 驗

3.1 實驗臺搭建

為了驗證非圓齒輪設計的正確性，結合式(3)對非圓齒輪的節曲線微分方程設定足夠的離散精度進行近似求解，通過計算每一個離散步長下節曲線對應的弧長，得到非圓齒輪節曲線每一次積分改變的(x,y)坐標值，基于VB(visual basic 語言程序設計)和Solidworks的二次開發，再通過布爾運算最終得到仿真加工的非圓齒輪，并對非圓齒輪副進行安裝，搭建相應的試驗臺如圖11所示。

圖11 非圓齒輪臺架實驗平臺Fig. 11 Experimental platform of non-circular gear pair

輸入電機將扭矩通過梅花聯軸器傳遞給輸入軸，驅動電機和輸入軸之間安裝輸入轉速傳感器，用來測定輸入轉速。輸入軸帶動主動非圓齒輪轉動，通過非圓齒輪的時變速比特性產生時變轉速并輸出到輸出轉速傳感器進行測量，輸出轉速傳感器連接磁粉加載器以保證正確傳動所必需的負載。驅動電機的轉速、扭矩等參數通過操作控制臺進行調節。

3.2 實驗結果分析

因為非圓齒輪是無級變速機構的理論及設計基礎，所以本次試驗主要驗證非圓齒輪副分析和設計的正確性。給定非圓齒輪副輸入轉速262 rad/s,輸出端負載扭矩200 Nmm，待非圓齒輪副轉動平穩之后提取輸入輸出轉速測量結構并結合轉速與速比的關系式i21=ω1/ω2=n1/n2對輸入輸出轉速進行二次處理，得到速比實驗結果，并與MATLAB 的理論結果相比較，如圖12所示。

圖12 非圓齒輪速比對比Fig. 12 Comparison of transmission ratios between theoretical and experimental values

從圖12所示實驗結果可知，該非圓齒輪副的實驗傳動比范圍為0.8～1.2，與理論傳動比基本相等；輸出轉速的誤差最大為6.8%，考慮到非圓齒輪設計加工離散精度、安裝誤差和測量的靈敏度等誤差，該最大誤差在可接受的范圍內，驗證了理論分析的正確性。

4 結 論

筆者以非圓齒輪的時變速比特性結合工業實際，設計了具有全齒輪嚙合形式的非圓齒輪無級調速機構，擴大了非圓齒輪的應用范圍，改善了無級傳動機構的承載能力。結合高階函數對低階函數的包含性，采用多段線構造法建立了非圓齒輪對給定速比特性函數的再現反求設計方法，并得到了非圓齒輪分支數、工作段速比函數和轉角范圍等參數對節曲線的影響規律，從理論上分析了不同參數非圓齒輪設計的可行性，確定了非圓齒輪各參數的匹配范圍。采用SolidWorks結合VB建立了非圓齒輪無級調速機構的實體模型，并導入ADAMS中進行運動仿真，得到了不同相位角下不同非圓齒輪分支的時變速比特性；完成了非圓齒輪的加工與實驗，并與MATLAB的理論結構進行對比，得到非圓齒輪副的時變最大誤差為6.8%，驗證了結構設計及分析的正確性，為非圓齒輪的實際應用提供理論基礎。