沖擊載荷作用下礦柱力學響應特征分析

董川龍，寧掌玄

（山西大同大學 煤炭工程學院，山西 大同 037003）

0 引 言

向深部發展是井工礦的必然發展趨勢，深部開采面臨著巨大挑戰，如典型的“三高一擾動”特征，特別地諸如瓦斯爆炸、沖擊低壓等災害頻繁發生［1－4］，嚴重制約著礦山高效發展。 金屬礦回采是通過分階段進行的，在垂直方向上階段之間通過礦柱隔離，為保證下階段回采的安全，往往要在礦柱上留有一定厚度的碎石墊層，當采空區圍巖發生大面積冒落時，墊層可以起到吸收沖擊能和消波的作用［5－9］。 由于礦體采出后存留采空區高度比較大，因而冒落體從采空區頂部滾落到底部具有很高的動能，對礦柱形成強烈的沖擊，因此有必要分析礦柱在沖擊載荷作用下的力學響應，為防災提供理論指導。

對于采空區冒落體機械沖擊災害，國內外學者鮮有人研究，但有學者研究了山體落石對結構物（例如棚硐、公路、擋土墻、混凝土梁等）的沖擊響應。 何思明等［10］以實際滾石棚洞結構為原型，采用動力有限元對滾石沖擊過程進行了數值仿真，研究滾石在不同沖擊角度下棚洞結構的動力學響應，為滾石防護工程設計提供理論基礎。 劉成清等［11］以鋼筋混凝土棚洞為原型，通過ANSYS／LS－DYNA 有限元分析軟件，考慮不同能量的落石沖擊不同位置的情況下，分析了鋼筋混凝土棚洞的動靜力響應及其沖擊動力系數，得到了彈塑性狀態下棚洞沖擊動力系數的變化規律。 劉土光等［12］采用能量原理和剛塑性材料本構模型對沖擊載荷作用下的矩形加筋板結構的塑性動力響應進行了分析，認為動力響應的變形模態與靜力極限變形模態相同。 許斌等［13］利用落錘試驗機對一組簡支配箍鋼筋混凝土梁進行抗沖擊性能試驗研究，分析了不同沖擊錘重、沖擊速度和沖擊能量及2 次沖擊下鋼筋混凝土梁的抗沖擊行為，采用高速攝像機記錄了各試件在沖擊過程中裂縫的發生、發展直至破壞的全過程。 葉四橋等［14］選擇國內外代表性的5 種沖擊力算法，在設定落石尺寸、自由落高和緩沖土層厚度下進行沖擊力計算結果的系統對比分析，發現國內有關規范推薦的落石沖擊力算法實際計算的是落石沖擊過程平均沖擊力，而并非最大沖擊力，從而導致工程應用中沖擊力計算結果嚴重偏小。 葉四橋、郭紹平等［15－16］通過比對前人研究的落石沖擊力計算方法，并結合試驗研究，基于沖量定理，引入放大系數的概念，對前人導出的平均沖擊力計算公式加以修正。 劉茂［17］以彈塑性修正的Hertz 接觸理論為基礎，考慮落石沖擊緩沖層過程的復雜性和緩沖層厚度的影響，結合路基規范方法的落石沖擊深度公式，得出落石最大沖擊力計算方法。楊其新等［18］針對我國的工程實際，以若干單一化條件為基礎，采用小比尺模擬棚式明洞，通過重錘自由下落到土槽的實驗方法，找出落石對具有不同厚度填土緩沖層的明洞產生沖擊力的變化規律，提出了計算落石沖擊力的實驗式，為工程設計提供基本依據。

筆者以東升廟礦11 號礦體＋850 m 水平以上采空區圍巖冒落沖擊隱患為研究切入點，應用類似的工程方法，建立了圍巖大冒落沖擊模型，視墊層與礦柱為耦合結構，進一步應用理論分析和數值模擬分析，對礦柱和墊層組合的承載體系在受沖載荷作用下力學響應進行了分析，最后從安全有效、經濟合理的角度出發研究了墊層合理的設置厚度。

1 冒落模型和沖擊模型的建立

東升廟銅礦位于巴彥淖爾市境內，目前主采2號和11 號礦體（圖1），11 號礦體相對2 號礦體規模較小，采后極易形成空間狹小密閉采空區（圖2），采空區上部圍巖一旦發生冒落，會引發動力沖擊災害，嚴重威脅礦山的安全生產。

圖1 Surpac 三維礦體模型Fig.1 Surpac three－dimensional orebody model

圖2 11 號礦體采空區Fig.2 Goaf of No.11 orebody

以東升廟礦11 號采空區為例，雖然目前采空區沒有發生整體大冒落的可能性，但隨著采動的影響和采空區范圍的不斷擴大，局部冒落不斷進行，冒落體周邊很可能發生切應力集中，當圍巖切應力大于其抗剪強度時，即會發生大面積垮落。 根據極限自然平衡拱理論，為了能從理論上建立求解公式，將圍巖發生大冒落近似為一圓柱體（圖3）。

圖3 圍巖大冒落模型Fig.3 Large caving model of surrounding rock

根據現場試驗和調查，得到冒落體力學計算參數（表1）。

表1 冒落體沖擊力計算參數Table 1 Calculation parameters of falling impact force

采空區底部結構由2 部分組成：一部分是底柱和頂柱，一部分是覆蓋在底柱上部一定厚度的緩沖墊層，墊層材料一般是圍巖自然冒落或強制崩落圍巖形成的碎石。 由于墊層的緩沖作用，冒落體的沖擊力只有部分通過緩沖層傳遞到底柱和頂柱上。 施加在底柱和頂柱上的沖擊載荷與冒落體質量、沖擊速度、墊層材料的厚度等因數密切相關，大冒落體與墊層的接觸關系如圖4 所示。

圖4 冒落體沖擊墊層Fig.4 Falling rock mass impacting cushion

按照材料力學理論，可將受沖礦柱簡化為梁結構，根據礦柱兩端約束情況不同，礦柱進一步可以簡化為簡支梁和固支梁（圖5）。

圖5 梁結構Fig.5 Beam structure

2 沖擊基礎理論的建立

2.1 沖擊特性

將大冒落體簡化為一圓柱體，將圓柱體進行分段研究，沿圓柱體長軸方向取單位長度，則可建立大冒落體沖擊模型（圖6）。

圖6 冒落體沖擊墊層力學模型Fig.6 Mechanical model of falling rock mass impacting cushion

根據文獻［19］，應用動量定理、彈性力學理論、運動學理論，可得出冒落體對墊層的最大沖擊力以及與此相對應冒落體在墊層中的位移。

式中，Pmax為冒落體對墊層的最大沖擊力，N；v0為冒落體撞擊墊層的初始速度，m／s；R為冒落體橫截面圓半徑，m；E′ 為墊層的變形模量，Pa；L為墊層厚度，m；mc為單位長度冒落體的質量，kg。

式中，u為冒落體對墊層最大沖擊時在墊層中的位移，m。

參考文獻［26］，根據應力擴散理論，可以得出沖擊載荷通過墊層均布載荷分散到礦柱上的長度范圍。

式中，a為施加在礦柱上的沖擊壓力分布長度，m；S1為沖擊力最大時冒落體與墊層的水平接觸部分長度，m；θ為應力擴散角，θ＝45°－（φ／2） ；φ為碎石墊層的內摩擦角，（°）。

作用在礦柱上的分布載荷為

式中，q為作用在礦柱上的分布載荷，Pa。

2.2 礦柱簡化為梁

2.2.1 礦柱簡支梁理論

對礦柱和墊層進行受力分析（圖7）。

圖7 礦柱和墊層受力分析Fig.7 Force analysis of pillar and chshion

根據散體材料應力擴散效應，作用于墊層上的載荷經過墊層應力擴散后，分布于礦柱上載荷范圍大于直接分布于墊層上的載荷范圍，又根據實際分析，在礦柱寬度方向上，冒落體尺寸基本接近于礦柱橫向尺寸，因此可分析沖擊載荷經墊層擴散作用后沿礦柱全寬度方向均勻分布（圖8）。

根據材料力學理論，按圖8 簡支梁受力情況，可求得礦柱內最大剪應力、最大正應力、最大撓度。

圖8 礦柱受力分析Fig.8 Force analysis of pillar

式中，σmax為礦柱內最大正應力，Pa；τmax為礦柱內最大剪應力，Pa；Wmax為礦柱最大撓度；b，h，l為礦柱的寬度、高度和長度，m；E為礦柱的彈性模量，Pa；I為礦柱矩形截面慣性矩，m4。

2.2.2 礦柱固支梁理論

對礦柱和墊層進行受力分析（圖9 中M為力矩，FA、FB為支座反力）。 類似簡支梁，同理對礦柱單獨受力分析（圖10）。

圖9 礦柱和墊層受力分析Fig.9 Force analysis of pillar and chshion

圖10 礦柱受力分析Fig.10 Force analysis of pillar

根據材料力學理論，按圖10 固支梁受力情況，可求得礦柱內最大剪應力、最大正應力、最大撓度。

2.3 墊層厚度與礦柱力學響應量的關系

按靜力等效原理，取單位長度圓柱體做研究，根據上述理論，可導出礦柱內最大正應力、最大剪應力、最大撓度與墊層厚度間的關系。

1）簡支梁情況。

2）固支梁情況。

3 工程算例分析

3.1 礦柱和墊層力學響應分析

將已知條件：v0＝31 m／s，R＝6.4 m，E′ ＝60 MPa，mc＝378 126.336 kg 代入式（1）、式（2），可得冒落體對墊層最大沖擊力以及此時冒落體在墊層中的位移隨墊層厚度變化規律（圖11）。

圖11 冒落體最大沖擊力、位移隨墊層厚度變化規律Fig.11 Variation of maximum impacting force and displacement with thickness of cushion

由圖11 可以看出，最大沖擊力隨墊層厚度增加逐漸減小，墊層厚度從最小6 m 變化到最大30 m，最大沖擊力從164.363 05 MN 降低到86.340 824 MN，總降幅約78.022 226 MN，墊層厚度在6 ～15 m變化時，沖擊力隨墊層厚度增大降幅比較大，墊層厚度每增加0.5 m，沖擊力降低約為1.5～5.0 MN，墊層厚度在15～30 m 變化時，沖擊力隨墊層厚度增大降幅比較小，墊層厚度每增加0.5 m，沖擊力降低為0.5～1.5 MN。

由圖11 可以看出，對應于最大沖擊力時冒落體在墊層中的位移隨墊層厚度增大逐漸增大，墊層厚度從最小6 m 變化到最大30 m，冒落體在墊層中的位移從2.763 542 m 增大到5.260 828 m，總增幅約為2.497 286 m，墊層厚度在6～20 m 變化時，冒落體在墊層中的位移隨墊層厚度增大增幅較大，墊層厚度每增加0.5 m，位移增加0.05 ～0.09 m，墊層厚度在20～30 m 變化時，冒落體在墊層中的位移隨墊層厚度增大增幅較小，墊層厚度每增加0.5 m，位移增加0.03～0.05 m，冒落體對應于各厚度墊層的位移均小于冒落體半徑6.4 m。

將已知條件：v0＝31 m／s，R＝6.4 m，E′ ＝60 MPa，mc＝37 8 126.336 kg，l＝16.87 m，h＝14 m，θ＝35°，E＝28 GPa，I＝228.666 666 7 m4代入式（7）、式（8），可得簡支梁和固支梁情況下礦柱在沖擊載荷作用下內部最大正應力、最大剪應力、最大撓度隨墊層厚度變化規律（圖12、圖13）。

圖12 簡支礦柱力學響應規律Fig.12 Mechanical response of simply supported beam

圖13 固支礦柱力學響應規律Fig.13 Mechanical response of clamped beam

由圖12 可以看出，礦柱內最大正應力隨墊層厚度增大而逐漸減小，墊層厚度從最小6 m 增大到30 m，正應力從13.657 22 MPa 減小到1.860 804 MPa，總降幅約為11.796 416 MPa。 墊層厚度在6 ～18 m 變化時，正應力隨墊層厚度增加降幅較明顯，墊層厚度每增加0. 5 m， 正應力降低0. 13 ～1.23 MPa；墊層厚度在18 ～30 m 變化時，正應力隨墊層厚度增加降幅較小，墊層厚度每增加0.5 m，正應力降低0.04～0.13 MPa。

由圖12 可以看出，礦柱內最大剪應力隨墊層厚度增大而逐漸減小，墊層厚度從最小6 m 增大到30 m，剪應力從11.333 79 MPa 減小到1.544 235 MPa，總降幅約為9.789 555 MPa。 墊層厚度在6 ～20 m 變化時，剪應力隨墊層厚度增加降幅較明顯，墊層厚度每增加0.5 m，剪應力降低0.08 ～1.02 MPa；墊層厚度在20 ～30 m 變化時，剪應力隨墊層厚度增加降幅較小，墊層厚度每增加0.5 m，剪應力降低0.03～0.08 MPa。

由圖12 可以看出，礦柱內最大撓度隨墊層厚度增加而逐漸減小，墊層厚度從最小6 m 增大到30 m，撓度從4.229 857 mm 減小到1.097 114 mm，總降幅約為3.132 743 mm，墊層厚度在6～17 m 變化時，撓度隨墊層厚度增加降幅較明顯，墊層厚度每增加0.5 m，撓度減小0.05 ～0.26 mm，墊層厚度在17 ～30 m變化時，撓度隨墊層厚度增加降幅較小，墊層厚度每增加0.5 m，撓度減小0.02～0.05 mm。

由圖13 可以看出，礦柱內最大正應力隨墊層厚度增大而逐漸減小，墊層厚度從最小6 m 增大到30 m，正應力從9.104 814 MPa 減小到1.240 536 MPa，總降幅約為7.864 278 MPa。 墊層厚度在6 ～18 m變化時，正應力隨墊層厚度增加降幅較明顯，墊層厚度每增加0.5 m，正應力降低0.09 ～0.82 MPa；墊層厚度在18～30 m 變化時，正應力隨墊層厚度增加降幅較小，墊層厚度每增加0.5 m，正應力降低0.03 ～0.09 MPa。 由于固支梁與簡支梁最大剪應力相同，此處不再贅述。

由圖13 可以看出，礦柱內最大撓度隨墊層厚度增加而逐漸減小，墊層厚度從最小6 m 增大到30 m，撓度從0.845 971 mm 減小到0.219 423 mm，總降幅約為0.626 548 mm。 墊層厚度在6 ～17 m 變化時，撓度隨墊層厚度增加降幅較明顯，墊層厚度每增加0.5 m，撓度減小0.009 ～0.051 mm；墊層厚度在17～30 m 變化時，撓度隨墊層厚度增加降幅較小，墊層厚度每增加0.5 m，撓度減小0.003～0.009 mm。

比較圖12 和圖13 發現，墊層厚度相同時，礦柱簡化為固支梁最大正應力比簡化為簡支梁最大正應力要小，2.228 976 ～0.620 268 MPa；墊層厚度相同時，礦柱簡化為固支與簡支梁最大剪應力相同；墊層厚度相同時，礦柱簡化為固支梁最大撓度比簡支梁最大撓度要小3.383 886～0.877 691 mm。

3.2 合理厚度墊層分析

從經濟節約的角度出發，分析圖11—圖13 發現，并不是墊層設置得越厚越好，應有一個經濟合理的設置厚度。 墊層厚度為20 ～30 m 時，最大沖擊力、最大拉應力、最大剪應力隨墊層厚度增加減小幅度很小，因此墊層厚度不宜超過20 m。 根據式（3）和（4），墊層越厚冒落體對礦柱形成的沖擊載荷q越小，對礦柱穩定性越有利，但是由圖11 中可以看出，墊層厚度為20 ～30 m 時，冒落體在墊層中的位移隨墊層厚度增加增幅很小，因此墊層設置厚度不宜超過20 m。

從安全有效的角度出發，為保證礦柱有足夠的穩定性，墊層的設置厚度必須保證礦柱受沖擊載荷作用下其最大正應力、最大剪應力不超過礦柱巖體的抗拉強度和抗剪強度，保證礦柱受沖擊載荷作用下最大撓度不超過一定限值。 礦柱簡化為簡支梁的情況下：由圖12 可以看出，當墊層厚度取18 m 時，礦柱最大拉應力為3.568 983 MPa，此時該拉應力小于礦柱巖體的抗拉強度3.6 MPa，即可取墊層厚度為18 m；當墊層厚度取12.5 m 時，礦柱內最大剪應力為4.668 731 MPa，此時該剪應力小于礦柱巖體抗剪強度4.7 MPa，即可取墊層厚度為12.5 m。 礦柱簡化為固支梁的情況下：由圖13 可以看出，當墊層厚度取13 m 時，礦柱最大拉應力為3.572 917 MPa，此時該拉應力小于礦柱巖體的抗拉強度3.6 MPa，即可取墊層厚度為13 m；礦柱簡化為簡支梁和固支梁兩種情況時，最大剪應力隨墊層厚度變化規律一致，即礦柱簡化為固支梁可取墊層厚度為12.5 m。

綜合考慮影響礦柱穩定性的臨界失穩狀態指標，為保證礦柱在冒落體沖擊載荷作用下有足夠的強度，結合設置墊層厚度經濟節約的原則，可以考慮設置厚度18 m 左右的墊層。

3.3 墊層設置厚度數值模擬分析

根據現場工程地質條件，將問題簡化為平面應變問題，為保證開挖區域不受邊界約束條件的影響，可取礦體厚度3 ～5 倍的區域進行建模，因此，所建模型長度取90 m，階段高度50 m，礦柱高度和跨度分別為14、17 m，模型高度視墊層厚度情況而定，左右邊界和底邊界為固定邊界，上邊界為自由邊界，為跟理論計算結果相對應比較，選取監測點1 和2 對礦柱最大拉應力和剪應力進行監測，簡化模型如圖14 所示，所賦物理力學參數見表2。

圖14 簡化模型Fig.14 Simplied model

表2 礦巖物理力學參數Table 2 Physical and mechanical parameters of ore and rock

根據式（1）、（2）計算出各墊層厚度下對應沖擊均布載荷，取1 m 墊層厚度增幅，將沖擊載荷逐級加載到墊層上部，可得出礦柱受冒落體沖擊載荷作用下內部應力隨墊層厚度變化規律以及礦柱塑性區分布狀況（圖15 和圖16）。

圖15 礦柱內應力隨墊層厚度變化規律Fig.15 Variation of stress in pillar with cushion thickness

由圖15 可以看出，礦柱內剪應力總體上隨墊層厚度增加逐漸減小，且其降低幅度隨墊層厚度增加也呈現逐漸減小的趨勢，當墊層厚度增大到15 m，礦柱內最大剪應力為4.474 MPa，開始小于抗剪強度4.7 MPa。 由于數值模型采用莫爾－庫侖模型，即礦柱內應力一旦達到抗拉強度，便產生屈服，應力保持在3.6 MPa 左右，當墊層厚度達到21 m，礦柱內最大拉應力為3.586 MPa，開始小于抗拉強度3.6 MPa，因此，墊層厚度小于21 m，拉應力水平基本維持在3.6 MPa，墊層厚度大于21 m，拉應力隨墊層厚度增加逐漸減小。

限于篇幅，圖16 僅列出部分典型墊層厚度情況下礦柱內塑性區分布狀況，其中藍色代表沒有塑性區，其他顏色為塑性破壞區。 由圖16 可以看出，隨墊層厚度增大礦柱兩端和底部塑性區連通性和面積不斷減小，逐漸過渡到穩定狀態。 墊層厚度達到18 m，礦柱兩端貫通塑性區消失，底部塑性區表現出面積較小的成拱穩定狀態，墊層厚度達到22 m，礦柱底部塑性區完全消失，僅礦柱上端與圍巖連接處表現出較小范圍塑性區。

圖16 礦柱內塑性區分布狀況Fig.16 Distribution of plastic zone in pillar

綜合上述分析，從礦柱內最危險點應力狀態確定墊層厚度為21 m，比理論計算結果18 m 稍大，在工程誤差范圍內允許，且說明數值模擬結果偏于安全；從礦柱塑性區分布形態來看，墊層厚度達到18 m，礦柱兩端和底部沒有形成大范圍貫通塑性區，僅上端與圍巖連接處以及底端產生小范圍塑性區，這在工程上是允許的。 從實際分析出發，保證礦柱內每一點都不發生屈服的條件比較苛刻，因此，可以礦柱塑性區分布形態的穩定性作為設置墊層厚度的判別標準，最終確定設置厚度18 m 墊層可確保礦柱在沖擊載荷下不發生失穩。

4 結 論

1）冒落體對墊層的最大沖擊力、礦柱內部應力以及撓度均隨墊層厚度增加而減小，且減小幅度隨墊層厚度增加逐漸減小，墊層厚度較小的情況下衰減幅度較大；礦柱分別簡化為簡支梁和固支梁情況下，確定墊層厚度分別為18 m 和13 m，數值模擬結果更接近于簡支梁情況，綜合數值模擬和理論分析，最終確定墊層的合理設置厚度為18 m 左右。

2）基于材料力學理論和靜力等效原理，采用梁結構作為簡化的力學模型，對礦柱受沖擊載荷作用下力學響應進行了分析，其中沒有考慮礦柱實際三維尺寸以及礦柱受震動沖擊的影響。 為了能使力學模型更加接近工程實際，未來有必要基于彈性力學理論尋求更加合理的受沖板力學模型來對礦柱受沖擊載荷作用下力學響應進行分析。