換個角度研究也精彩

鄔江

筆者近期讀文[1]時，聯想到文[1]中研究的問題與2020年上海市閔行區高三調研試卷中第15題十分相似，筆者在教學時是借助圖形和空間想象使問題得以解決的，受文[1]啟示，筆者重新探究了這個問題，本文擬分享探究所得.

1 問題的呈現

題目在正四面體A - BCD中，點P為ABCD所在平面上的動點，若AP與AB所成角為定值θ，θ∈（0，π/4），則動點P的軌跡是（

）.

A.圓B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

2 題源的分析

本題的背景是圓錐與不過頂點的平面相交的得到的截線的軌跡問題，古希臘數學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線：

（1）用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的截線的軌跡是圓;

（2）把平面漸漸傾斜，當平面與軸線的夾角大于半頂角時，得到的截線的軌跡是橢圓;

（3）當平面“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，即平面與軸線的夾角等于半頂角時，得到的截線的軌跡是拋物線;

（4）當平面與軸線的夾角小于半頂角時，得到的截線的軌跡是雙曲線的一支（把圓錐面換成相應的二次錐面時，則可得到雙曲線）.

3 問題的解答

由分析知：如圖1，本題中動點P的軌跡就是以AB為軸，母線與軸的夾角為θ的圓錐與平面BCD相交的截交線，過點4作平面的垂線A0，垂足為O，聯結BO，設軸AB與平面BCD所成角為φ，易得φ=arccos√3/3，由于90°>φ>θ，所以動點P的軌跡是橢圓，從“形”的角度本題可以得到完美的解決，那么從“數”的角度入手，又該如何解決呢？

不妨設AB=2√3，以ABCD的重心O為坐標原點，如圖2，建立空間直角坐標系，

4 問題再研究

至此，這個問題似乎得到圓滿的解決，如果到此結束，則可能“入寶山而空手返”，錯過了一個研究性學習的大好機會，動點P的軌跡有沒有可能是雙曲線、拋物線和圓？如果可能，那么AP與AB所成角θ的范圍又是什么？帶著這個疑問，筆者開始了新的探究獲得如下的結論：

我們研究平面與圓錐的截線問題，常規思路是圓錐不動，通過旋轉平面來研究截線的變化，本題換個角度來研究平面與圓錐的截線問題，平面不動，通過變化圓錐的頂角來研究截線，題目來源于課本但又不拘泥于課本，有創新性，是一個值得研究的好問題.

我們一直提倡“用教材教，而不是教教材”的教學理念，這就要求我們教師要認真鉆研教材，理解教材意圖，對于教材中的例題、習題和拓展內容，充分挖掘其教學價值，引導學生進行分析、思考、歸納、類比乃至推廣，發揮每一個例題、習題的最大功效，實現教學效益的最大化，

參考文獻

[1]舒適.和學生一起進行數學研究性學習[J].數學教學，2017 （12）：14-15