數學閱讀素養在教學中的培養與實施*
——以“圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積”教學設計為例

謝新華

(福建省莆田第二中學,351131)

空間幾何體的表面積及體積問題是生產、生活中的實際問題.學生對于從生活實例中抽象概括出數學知識的能力相對欠缺,空間問題平面化的意識相對比較薄弱,學習上可能會有一定的困難.

根據上述情況,并綜合考慮本節課的教學目標、教學重點和難點,教學過程設計如下:

一、閱讀回顧,觸及思考

1.已學過的平面圖形的面積公式

矩形面積公式:S=ab;圓面積公式:S=πr2;圓周長公式:C=2πr;扇形面積公式:S=12lr.

2.棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

體積:幾何體所占空間的大小;棱柱的體積V=Sh；棱錐的體積V=13Sh；棱臺的體積V=13h(S+SS′+S′).

表面積:幾何體表面面積的大小.一般地,多面體的表面積就是各個面的面積之和,即表面積=側面積+底面積.

設計意圖閱讀回顧學生已學過的知識,構建本節知識與已有知識的聯系,有助于學生建立知識儲備,觸及學生思考,自然引入本節課程內容.

二、閱讀思考,探究表達

問題1與多面體一樣,圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它們的各個面的面積和.不同之處在于,圍成圓柱、圓錐、圓臺的面中有曲面,如何計算這些曲面的面積呢?

表達1把空間曲面展開成平面圖形,轉化為求平面圖形的面積

問題2圓柱的側面展開圖是什么?怎么求它的表面積?

表達2圓柱的側面展開圖是一個矩形(圖1),其中圓柱的底面半徑為r,母線長為l,因為圓柱的底面面積為πr2,側面面積S圓柱側=2πrl,所以圓柱的表面積為S圓柱=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

問題3圓錐的側面展開圖是什么?怎么求它的表面積?

表達3圓錐的側面展開圖是一個扇形(圖2),其中圓錐的底面半徑為r,母線長為l,因為扇形的半徑R扇=l，扇形的弧長l扇=2πr,所以圓錐的側面積S圓錐側=S扇=12l扇R扇=πrl，又圓錐的底面面積為πr2,所以圓錐的表面積S圓錐=πr2+πrl=πr(r+l).

問題4圓臺的側面展開圖是什么,它的表面積是什么?

表達4圓臺的側面展開圖是一個扇環(圖3),其中圓臺的上底面半徑為r′,下底面半徑為r,母線長為l,扇環面積等于大扇形與小扇形面積的差,設小扇形的半徑為x,則扇環面積為S扇環=πr(x+l)-πr′x.因為?PO′A∽?POB,所以xx+l=r′r,可得x=r′lr-r′,所以圓臺的側面積為S圓臺側=S扇環=πl(r+r′).而圓臺的上底面面積為πr′2,下底面面積為πr2,所以圓臺的表面積為S圓臺=π(r′2+r2+r′l+rl).

問題5觀察圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式,它們之間有什么關系?你能用圓柱、圓錐、圓臺的結構特征來解釋這種關系嗎?

表達5對比圓柱、圓錐、圓臺的動畫圖(圖4),可以發現圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體?圓柱可以看作是上下底面相同的圓臺,圓錐可看作是上底面退化成一點的圓臺.

觀察它們的表面積公式(圖5),可以發現圓柱、圓錐的表面積公式都可以看作由圓臺表面積公式演變而來.

設計意圖引導學生閱讀思考上述5個問題,自主探究圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題,通過類比棱柱、棱錐、棱臺的相關方法與結論,把空間問題轉化為平面問題,通過求側面展開圖面積得到側面積,從而得到表面積,師生共同構建圓柱、圓錐、圓臺的表面積思維導圖(圖6).

問題6以前已經學習過圓柱、圓錐的體積公式V圓柱=πr2h,V圓錐=13πr2h,其中r是底面半徑,h是高.其等價表述形式是V圓柱=Sh,V圓錐=13Sh,其中S是底面圓面積,h是高.可以發現,圓柱與棱柱的體積公式均為V柱體=Sh,圓錐與棱錐的體積公式均為V錐體=13Sh,你能類比棱臺,寫出圓臺的體積公式嗎?

表達6類比棱臺,可以得出圓臺的體積公式為V圓臺=13h(S+SS′+S′),其中S′,S分別為上、下底面面積,h為圓臺的高,所以可得V圓臺=13πh(r2+rr′+r′2),其中r′,r分別是上、下底面半徑,h是圓臺高(圖7),圓臺的體積等于大圓錐與小圓錐體積的差,設小圓錐的高為PO′=x,因為?PO′A∽?POB,所以xx+h=r′r,可得x=r′hr-r′,故小圓錐的體積為V小圓錐=13πr′2x=13·πhr′3r-r′,而大圓錐的高為x+h=rhr-r′,所以大圓錐的體積為V大圓錐=13πr′2(x+h)=13πhr3r-r′,故圓臺的體積為V圓臺=V大圓錐-V小圓錐=13πh(r2+rr′+r′2).

問題7觀察柱體、錐體、臺體的體積公式,它們之間有什么關系?你能用柱體、錐體、臺體的結構特征來解釋這種關系嗎?

表達7柱體可以看作是上下底面相同的臺體,錐體可看作是上底面退化成一點的臺體.觀察它們的體積公式(圖8),可以發現柱體、椎體的體積公式都可以看作由臺體的體積公式演變而來.

設計意圖教師引導學生閱讀思考問題6與問題7,合作探究圓柱、圓錐、圓臺的體積問題,培養學生“觀察—猜想—證明”的數學思維,類比棱臺的結構特征,利用圓錐體積公式、結合相似關系證明圓臺的體積公式,得出求解柱體、錐體、臺體體積可以轉化為求其底面面積和高,培養學生了解知識的形成過程,師生共同構建體積問題的思維導圖(圖9),加深學生對公式的理解提高數學運算、直觀想象等核心素養.

三、應用閱讀,精準表達

問題8設圓柱和圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形,則圓柱和圓錐的表面積之比是多少?其體積之比是多少?

表達8作出圓柱和圓錐的軸截面(圖10),由題意可得圓柱的底面半徑r1=12a,母線長l1=a,所以圓柱的表面積S1=2πr21+2πr1l1=32a2π,V圓柱=π×(a2)2×a=π4a3;圓錐的底面半徑r2=12a,母線長l2=a,高為h2=a2-(12a)2=32a,所以圓錐的表面積S2=πr22+πr2l2=34a2π,V圓柱=13π×(a2)2×32a=3π24a3,而S1∶S2=2:1,V圓柱∶V圓錐=π4a3:3π24a3=23∶1.

問題9如圖11,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.則以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體的表面積是多少?體積是多少?

表達9以AB所在直線為軸旋轉一周所得幾何體是圓臺,其上底面半徑是4,下底面半徑是16,高是5,母線DC=52+(16-4)2=13，所以該幾何體的表面積為π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π.該幾何體的體積為13π×5×(162+4×16+42)=560π.

設計意圖求旋轉體表面積的關鍵是處理好軸截面中邊與角的關系,因為軸截面聯系著母線、底面半徑、高等基本要素;求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關鍵是求其底面面積和高.通過問題8與問題9的應用閱讀,幫助學生鞏固圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積公式,提高數學運算、邏輯推理等核心素養.

閱讀:課本第121頁“祖暅原理”(圖12)

應用(多選題) 我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.已知兩個平行平面間有三個幾何體,分別是三棱錐、四棱錐、圓錐(高都是h),其中:三棱錐的體積為V,四棱錐的底面是邊長為a的正方形,圓錐的底面半徑為r,現用平行于這兩個平面的平面去截三個幾何體,如果得到的三個截面面積總相等,那么,下列關系式正確的是( )

(A)a2=3Vh(B)r2=3Vπh

(C)ar=π (D)ar=π

解析由祖暅原理可知:三個幾何體的體積相等,則V=13·a2·h,解得a2=3Vh.由V=13·πr2·h,解得r2=3Vπh,所以ar=π.故選ABD.

設計意圖教師提出數學問題,引導學生自主閱讀背景材料“祖暅原理”,學生通過思考分析背景材料的內涵,體驗表達其要點闡明試題的數學史背景,有利于提升學生的文化素養和創新意識.

四、閱讀反思,整合通達

問題10你收獲了哪些數學知識?你收獲了哪些數學思想方法?

表達10:

設計意圖教師引導學生反思梳理本節課的數學知識與數學思想方法,讓學生進一步體會知識的形成、發展、完善過程,從而整合構建完整的思維導圖,優化知識結構,提高邏輯推理素養.

五、閱讀探索,拓展豁達(書面作業、研究性作業略)