從北京中考模擬題看幾何綜合題的解題策略

文/劉波

平面幾何作為初中數學的重要組成部分，歷來是培養學生數學思維和基本素養的重點。平面幾何問題往往解法眾多，也是激發學生探究能力的主戰場，自然也是中考的壓軸題型之一。但在學生學習、測試到中考的反饋中，我發現學生對于幾何綜合題仍存敬畏之心，不能在解題上做到游刃有余，導致失分。經過詢問，我發現學生反映的主要問題是：找不到切入點，看不出聯系點。每次聽完老師的講解，學生似乎都能理解，也記錄了一堆的模型和方法，再做相同類型題的時候仍然一臉茫然。究其原因，我認為是學生更多地糾結在掌握了多少種方法上，意圖通過看出題目中的圖形所屬的模型或方法進而解決問題，這與新課程標準強調提高學生對數學的理解和認識之間存在一些偏差。

在幾何學習中，新課程標準更多地提倡通過變換角度去認識幾何圖形、解決幾何問題。所以在幾何綜合題中，要引導學生從平移、旋轉、軸對稱3種全等變換的角度去思考問題，逐步積累解題經驗，增加學生對幾何題型的理解認識，實現從“術”到“道”的提升，真正提升數學素養。下面結合2020年北京市朝陽區一模的幾何綜合題來說明一下這類問題的解題策略（本文主要討論解題思路，不作詳解過程）。

27.四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉2α（0°＜α＜45°）,得到線段CE，連接DE，過點B作BF⊥DE交DE的延長線于F,連接BE。

（1）依題意補全圖1；

（2）直接寫出∠FBE的度數；

（3）連接AF，用等式表示線段AF與DE的數量關系，并證明。（圖1）

圖1

在認真作了圖之后（圖2），其實不難解決第（1）問和第（2）問，容易得出∠FBE=45°。下面我們就直奔主題，看如何尋找切入點和聯系點。

圖2

尋找切入點：

1.標注已知量和未知量。將題目條件中的相等線段（AB=BC=CD=AD）和解決第（2）問得到的相等線段（BF=EF）用短線標出，將需要證明的線段（AF，DE）用“？”標出（圖3）。

圖3

2.確定目標三角形。

觀察標注后的圖形，涵蓋已知量和未知量的三角形即為目標三角形，如△ABF，△ADF，△CDE。

觀察聯系點——構造全等三角形。

從相等的量出發，借助變換的思想，進而可以構造出全等三角形。以△ABF為目標三角形為例。從AB=AD考慮可以發現AB逆時針旋轉90°與AD重合，所以我們可以作AM⊥AF交DF于M，進而構造出△ADM≌△ABF（圖4）。

圖4

為了便于求角，由∠BFE=90°可知，點F與正方形的頂點A、B、C、D5點共圓，從而可以得到∠AFD=45°，所以，△AFM是等腰直角三角形，進而得到FM=AF。（圖5）

圖5

由△ADM≌△ABF可知DM=EF，所以，DE=AF。問題得解。

在觀察聯系點的時候，會發現AB=CD，AB與CD的重合顯然可以通過平移實現，這時自然就出現了第二種方法。

在第（2）問求角時，可以得到∠ABF=α，5點共圓得到∠AFD=45°，所以∠DNC=∠AFB=135°。當平移構造△DCN≌△ABF后，∠DCN=∠ABF=α，CD=CE，CN=CN， 所以，△DCN≌△ENC，之后就可以證明△DEN是等腰直角三角形。所以，DE=DN=AF，問題得解（圖6）。

圖6

如果以△ADF為目標三角形，則可以觀察到AD順時針旋轉90°與AB重合，所以，可以作AS⊥AF交BF的延長線于點S。由5點共圓得到∠AFD=45°，可以得到∠AFB=135°，進而∠AFS=45°，所以，△ASF是等腰直角三角形。繼而可以得到△ABS≌△ADF，BS=DF，又BF=FE，所以DE=SF=AF。問題得解（圖7）。如果我們以△CDE為目標三角形，則可以通過平移構造△ABT≌△CDE（圖8），證明思路則和圖5類似，不再贅述。

圖7

圖8

當然，本題還可以通過構造相似三角形證明。

在北京中考中，幾何綜合題仍然以全等證明為主，文中主要引導學生從變換的角度認識幾何圖形的關系，從切入點和聯系點入手，也就是“標條件”“找目標”“想變換”，進而快速地構造全等三角形。要明確在分析題目條件時對于關鍵詞的挖掘會對解決問題產生積極的推動作用，如線段中點產生的中心對稱圖形（旋轉），角平分線產生的軸對稱圖形（軸對稱）等等。

把幾何變換作為解決幾何問題的指導思想，從繁多模型的機械記憶中跳出來，當這“三板斧”熟練掌握后，相信幾何壓軸題不再是我們的“痛”，而是我們的“樂”。