讀懂“圖”，悟透“數”，精準分析

■趙慶偉

近幾年高考非常重視考查同學們對圖形的正確理解能力,以及善于從圖形中捕捉數據信息的能力。下面就統計問題中的“圖”與“數”進行舉例剖析,供同學們學習與參考。

一、頻率分布直方圖

例1 為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A、B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液,每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同。經過一段時間后,用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比。根據試驗數據,得到甲、乙兩種離子殘留百分比的頻率分布直方圖,分別如圖1,圖2所示。

圖1

圖2

記事件C為“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”,根據頻率分布直方圖得到P(C)的估計值為0.7。

(1)求乙離子殘留百分比的頻率分布直方圖中a,b的值。

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)。

解:(1)由題意得0.7=a+0.2+0.15,所以a=0.35。由0.05+b+0.15=1-0.7,可得b=0.1。

(2)估計甲離子殘留百分比的平均值為2×0.15+3×0.2+4×0.3+5×0.2+6×0.1+7×0.05=4.05。

估計乙離子殘留百分比的平均值為3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15=6。

二、莖葉圖

例2 某工廠為提高生產效率,開展技術創新活動,提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式。為比較兩種生產方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產方式,第二組工人用第二種生產方式。根據工人完成生產任務的工作時間(單位:min)繪制了莖葉圖,如圖3所示。

圖3

(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高。請說明理由。

(2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m。

解:(1)第二種生產方式的效率更高。理由如下。

①由莖葉圖可知,用第一種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至少80min,用第二種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至多79min。因此第二種生產方式的效率更高。

②由莖葉圖可知,用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80min;用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80min,因此第二種生產方式的效率更高。