基于相場法的井壁微裂縫擴展規律及坍塌機理研究

趙 寧，尹 飛，韓夢天，賈利春，廖智海，史彪彬

1成都理工大學能源學院 2北京自動化控制設備研究所 3中國石油川慶鉆探工程公司鉆采工程技術研究院

0 引言

隨著非常規及深層油氣資源的勘探開發力度的增加，鉆井過程中井壁失穩帶來的影響日益突出，尤其在裂縫性地層中由于裂縫的存在降低了巖石強度，當井壁應力差較大或鉆井液侵入造成裂縫擴展和連通，引起大面積的井壁坍塌掉塊，阻礙了安全鉆井。例如，在順北油氣田5號斷裂帶深層油氣勘探開發過程中，多口井發生了破碎性碳酸鹽巖井壁坍塌，嚴重阻卡的5口井的鉆井周期共延長了913 d[1]；川西多口油氣井在鉆遇馬鞍塘—雷口坡組碳酸鹽巖地層時也發生了不同程度的井壁坍塌和掉塊，嚴重影響鉆井進度和井下安全[2]。

由于裂縫發育對井壁穩定性的影響非常顯著，諸多學者對此展開了研究。陳卓等[3]在建立硬脆性泥頁巖的損傷本構模型的基礎上，發現泥頁巖裂縫發育程度對井壁穩定影響最大。張艷娜等[4]分析了裂縫發育對碳酸鹽巖孔滲特性、力學強度的影響，發現誘發井壁垮塌的主導因素是裂縫間力學弱面效應突出。劉志遠等[5]對裂縫性井壁失穩的影響因素進行了分析，發現裂縫傾角與巖石的強度直接相關，有裂縫情況下的水化作用將更加明顯。常見關于裂縫擴展的數值模擬方法包括位移不連續法(DDM)[6]、擴展有限元法(XFEM)[7]和離散元法(DEM)[8]等。何雅文[9]通過擴展有限元的方法研究了井壁在受壓應力作用下的裂縫擴展規律，裂縫沒有發生分叉或相交，只在井壁上分別產生了兩條不相交的裂縫，體現了擴展有限元法難以處理復雜裂縫擴展模擬的局限性。王曉陽[10]通過數值模擬的方法，研究了井周應力差作用下井壁剪切破壞區域，但無法體現裂縫擴展形態與破壞程度。位移不連續法(DDM)、擴展有限元法(XFEM)和離散元法(DEM)等數值模擬中只是將裂縫作為突變型界面存在，難以處理復雜的裂縫擴展問題。

現有研究難以刻畫井壁微裂縫擴展過程及形態，不能準確預測裂縫性地層井壁坍塌壓力，本文針對該問題進行了深入研究,提出了基于相場法的井壁微裂縫擴展模型。相場法通過相場變量來描述材料基質與裂縫之間的平滑過度，裂縫可以隨著相場變量的演化自發的擴展，能夠模擬裂縫的相交、分叉和三維擴展等復雜形態[11-12]。然后，利用相場法模擬了井壁微裂縫擴展的動態過程；分析了鉆井液液柱壓力和天然裂縫等因素對微裂縫擴展的影響規律，并對預測的坍塌壓力進行對比分析和驗證。

1 相場法表征裂縫

1.1 相場和裂縫表面函數

相場法認為巖石在受外力作用下產生的彈性能造成了巖石的損傷，當彈性能超過巖石破壞所需的臨界能量時，巖石就會完全破壞形成裂縫[11]。

如圖1所示，假設存在一個截面積為Γ、軸向長度為L的桿，則長桿所占據的區域為B=?！罫，在桿的軸向坐標x=0處有一個物理裂縫。

圖1 裂縫拓撲示意圖

對于一維問題，相場法通常采用式(1)的形式來表示裂縫[13]，式中d(x)∈[0,1]，0表示未破壞，1表示完全破壞形成裂縫。相場法將裂縫看作是一個擴散型的損傷帶，其寬度主要由相場長度尺度l來控制，l越趨近于0，裂縫形態就越接近真實物理裂縫[14]。

(1)

對于多維問題，n維固體模型所在域為B，B?Rn，n∈[1,2,3]，邊界?B?Rn-1。此時的裂縫表面Γ為三維問題的曲面或二維問題的曲線，見圖2。

圖2 裂縫模型圖

相場d(x)隨時間的變化為d(x,t)，通過裂縫表面函數Γl(d)來描述裂縫[15]：

(2)

式中：γ(d,?d)—裂縫表面密度函數。

由式(2)歐拉變分形式可得域B中服從Dirichlet邊界條件的裂縫相場為：

(3)

1.2 自由能函數

在固體模型所在的域B內，各向同性固體的位移場為r(x,t)，固體在域B內受位移r和相場d影響的彈性能We為[16]：

(4)

其中w(ε,d)為彈性能密度：

w(ε,d)=[g(d)+k]w0(ε)

(5)

衰減函數g(d)=(1-d)2來描述裂縫演化引起的能量衰減，只對拉應變張量作用。g(0)=1時，表示巖石未發生破壞；g(1)=0時，表示巖石完全破壞產生裂縫，而k是一個極小的正值，它的存在是為了保證模型的穩定性。w0(ε)是標準的自由能密度函數。

在裂縫的演化過程中，由于只有在拉伸的時候才會產生裂縫并釋放能量，因此要將應變張量分解為反映拉應力的正應變張量ε+和反映壓應力的負應變張量ε-[15]：

ε=ε++ε-

(6)

在對應變張量分解后，可獲得裂縫擴展的本構自由能函數W(ε,d)[17]：

(7)

1.3 裂縫擴展耗散函數與相場演化方程

單位面積裂縫擴展所需要的能量定義為臨界能量釋放率Gc[18]，表征裂縫擴展過程中受到的阻力。由此可知面積為Γl(d)的裂縫擴展所需能量為[19]：

(8)

結合斷裂變分理論[20]，可得到在彈性應變能驅動下的相場演化方程[12]：

(9)

為了能正確反映加卸載情況下的裂縫擴展規律，使用與應變有關的應變歷史函數H(x,t)來保證相場d不會逆向發展，結合式(9)即可得到裂縫擴展的控制方程[15]：

(10)

1.4 有限元離散

對相場微分方程和位移進行有限元離散，由裂縫擴展的控制方程可得到相應加載步的計算形式[15]和位移場的弱形式[16]，如式(11)所示：

(11)

式中：Hn=H(rn)—上一次載荷增量得到;δd—虛損傷分布函數;δr—虛位移函數;ft—固體受到的體積力;fm—邊界?B上受到的表面力。

本文研究的是二維問題，采用三角形等參數單元對相場函數、相場梯度場以及位移函數和位移變分函數近似表示，然后得到相場d的線性方程組[15]以及位移場r的支配方程[16]如下：

(12)

式中：Kd、K1+K2—總體剛度矩陣;Fd、Fn+1—總體節點載荷矩陣。

在相場法裂縫擴展演化過程中，外力做功形成的總能量一部化為形成新裂縫所需要的裂縫表面能Wc(d);另一部分則會轉化為儲存在巖石內的自由能W(ε,d),即彈性應變能。其中正應變能會隨著裂縫的擴展而耗散，裂縫擴展的方向、長度以及何時擴展等擴展機制與位移場r和相場d等相關。

2 有限元模型

根據彈性力學理論，可把三維井壁力學分析簡化為平面應變問題。井壁力學模型如圖3所示，井壁承受最大水平地應力、最小水平地應力和鉆井液液柱壓力。

圖3 井壁力學模型示意圖

考慮井壁含天然裂縫的情形，在第一象限范圍內以15°為間隔劃分了a～g共7個井壁節點；天然裂縫和井壁節點切線的夾角為θ；天然裂縫端點與井壁的距離為D，當D=0時,表示天然裂縫與井壁連通。

本文采用相場法模擬鉆開井眼后井壁產生的微裂縫(以下簡稱微裂縫)擴展過程，通過顯式有限元對相場法表征的裂縫進行求解，因此需要在有限元軟件中設置相場法表征裂縫擴展的關鍵參數和巖石本體的強度參數，相場法表征裂縫的主要參數包括長度尺度和臨界能量釋放率，長度尺度控制擴散型損傷帶的寬度，臨界能量釋放率體現單位面積裂縫擴展所需的能量。模型中選取長度尺度為0.046 mm，巖石基質與天然裂縫的臨界能量釋放率分別為130 J/m2和65 J/m2。建立井壁微裂縫擴展的有限元模型，如圖4所示。模型中井眼直徑為241.3 mm；為了消除邊界效應，正方形地層的邊長取井眼直徑的10倍；天然裂縫的縫寬取0.02 mm。在地層邊界上施加最大、最小水平地應力，首先使地層達到地應力場平衡；然后模擬鉆穿井眼，并在井壁上施加鉆井液液柱壓力。由于相場長度尺度較小，為提高裂縫擴展的模擬精度，對井壁網格進行局部加密，最大單元尺寸為0.023 mm，最大單元增長率為1.2。

圖4 井壁微裂縫擴展的有限元模型

設碳酸鹽巖地層的基質為各向同性的線彈性介質，天然裂縫為填充縫，忽略滲流和裂縫內流體壓力變化的影響。在把相場微分方程及位移場進行有限元離散后，通過顯式有限元軟件進行求解，設置材料參數、邊界條件；然后加載應力場，逐步計算位移場和相場；分析不同壓力或天然裂縫情況下井壁微裂縫演化。相場法認為當損傷d=1時，巖石完全破壞而后形成裂縫；如果在一定鉆井液液柱壓力下井壁經過一段時間后損傷保持初始值不變，則井壁上不產生微裂縫，認為井壁保持穩定狀態，這個臨界鉆井液液柱壓力作為井壁坍塌壓力。模型的主要參數[21]詳見表1。

表1 模型的主要參數

3 井壁失穩規律分析

以四川盆地某區塊碳酸鹽巖地層某井為例[21]，在鉆至井深6 239 m后按設計調鉆井液密度到1.30 g/cm3，嘗試鉆進2 m發生了卡鉆。分析原因是該層位地層完整性較差、天然裂縫發育，實際井壁坍塌壓力比預測值高，使用的鉆井液液柱壓力不足以支撐井壁穩定。采用井壁微裂縫擴展模型，揭示微裂縫擴展過程及井壁坍塌機理。

3.1 鉆井液液柱壓力對井壁穩定性的影響

鉆開井眼后，井壁由巖石支撐轉變為鉆井液支撐，鉆井液液柱壓力大小會影響井壁微裂縫的擴展。鉆井液液柱壓力依次選取73.5 MPa、75.5 MPa、77.2 MPa、79.2 MPa、80 MPa，分析鉆井液液柱壓力對井壁微裂縫擴展的影響規律。不同鉆井液液柱壓力下井壁微裂縫擴展形態如圖5所示，影響規律如表2所示。

圖5 井壁微裂縫擴展的演化過程圖

表2 鉆井液液柱壓力對微裂縫擴展的影響規律表

可知，隨著鉆井液液柱壓力增大(趨近于坍塌壓力)，井壁上產生的微裂縫數量減少、縫長變短、微裂縫擴展速度降低；當鉆井液液柱壓力達到80 MPa時，42.6 μs時井壁上最大損傷仍然維持在初始損傷0.27，井壁不會萌生微裂縫，說明井壁能夠保持穩定，此時的鉆井液液柱壓力即為不含天然裂縫的井壁坍塌壓力。

3.2 井壁微裂縫擴展模擬

首先，分析在地層不含天然裂縫且鉆井液支撐不足情況下井壁微裂縫擴展的演化過程。經模擬，在鉆井液液柱壓力為73.5 MPa的條件下，井壁微裂縫擴展的演化過程如圖6所示?？芍?，4.7 μs時井壁上開始萌生微裂縫，相場損傷d增大到0.92；6.0 μs時井壁上產生了7條微裂縫，相場損傷d增大到1.0，并維持在1.0；6.0～6.6 μs時微裂縫呈現交錯生長，且微裂縫走向發生偏轉；8.2 μs時主裂縫上又生成了新的分支裂縫，微裂縫的數量大量增加，更多的微裂縫出現連通。井壁上微裂縫的擴展及連通可能引起井壁坍塌或掉塊。

圖6 不同鉆井液液柱壓力下井壁微裂縫形態圖

3.3 天然裂縫對井壁穩定性的影響

考慮地層發育天然裂縫的情形，有必要分析天然裂縫對井壁穩定的影響。設置天然裂縫位于圖3中井壁a點、與井壁切線夾角45°、與井壁距離2 mm，縫長為3 mm。在鉆井液液柱壓力為85 MPa的條件下，含天然裂縫井壁的微裂縫擴展演化過程如圖7所示。由圖7可知，微裂縫沿著天然裂縫向兩側擴展，且優先向井壁方向延伸；1.8 μs時裂縫與井壁連通，形成了一條約9 mm長的微裂縫，微裂縫擴展速度為5 mm/μs，擴展速度更大。

圖7 含天然裂縫井壁微裂縫擴展演化圖

在天然裂縫與井壁相交且鉆井液液柱壓力為90 MPa條件下，天然裂縫的位置和角度對微裂縫初始損傷的影響如圖8所示。位于最小水平地應力方位(a點)的天然裂縫初始相場損傷比其他位置大，在e點、f點、g點趨近于0；隨著天然裂縫與井壁切線的夾角增大，微裂縫初始損傷先增大后減小，并在夾角45°時達到極大值。進一步分析天然裂縫與井壁的距離對裂縫初始損傷的影響規律，如圖9所示，隨著天然裂縫與井壁的距離減小，裂縫初始損傷逐漸增大;隨著井壁節點逐漸遠離a點，初始損傷逐漸減小，e點后趨近于0。綜上可知，當天然裂縫位于最小水平地應力方位、夾角45°且與井壁連通(以下稱為最危險天然裂縫產狀)時，微裂縫容易起裂和擴展，此處井壁坍塌失穩風險最大。

圖8 天然裂縫位置及角度對裂縫初始相場損傷的影響

圖9 天然裂縫與井壁的距離對裂縫初始相場損傷的影響

在最危險天然裂縫產狀下，分析鉆井液液柱壓力對天然裂縫起裂時間的影響，如圖10所示?？芍?，隨著鉆井液液柱壓力增加，天然裂縫起裂時間增大，當鉆井液液柱壓力達到93.7 MPa時，天然裂縫的起裂時間趨近于無窮大，說明此時井壁維持穩定。綜上，在最危險天然裂縫產狀下井壁的坍塌壓力為93.7 MPa，上文指出不含天然裂縫井壁的坍塌壓力為80 MPa，天然裂縫使井壁坍塌壓力增大了17.1%。因為天然裂縫起裂較巖石基質破壞所需能量更低、微裂縫擴展速度更大，需要更高的鉆井液液柱壓力維持其力學平衡和阻止微裂縫起裂。

圖10 不同鉆井液液柱壓力下天然裂縫起裂時間

3.4 模擬效果分析

在上述案例中，針對地層不含天然裂縫的井段，模型預測的坍塌壓力當量密度為1.30 g/cm3;地層含天然裂縫的井段，模型模擬得到在最危險天然裂縫產狀下井壁坍塌壓力當量密度為1.52 g/cm3;隨機裂縫下井壁坍塌壓力當量密度范圍應為1.30～1.52 g/cm3，平均值為1.41 g/cm3，現場使用密度為1.30 g/cm3的鉆井液鉆進時發生卡鉆，說明此處具有天然裂縫，在此產狀下需要采用更高密度的鉆井液方能抑制井壁坍塌。

4 結論

(1)基于相場法的井壁微裂縫擴展模型能夠模擬井壁微裂縫萌生、擴展、分支縫產生和交叉貫通的擴展過程，可直觀反映裂縫性地層鉆井井壁失穩的機理，指導修正坍塌壓力設計。

(2)數值模擬表明，隨著鉆井液液柱壓力逐漸趨近坍塌壓力，井壁上產生的微裂縫數量減少、縫長變短、擴展速度降低；當天然裂縫位于最小水平地應力方位、夾角45°且與井壁連通時，微裂縫最容易起裂和擴展，此處井壁坍塌失穩風險最大。

(3)因為天然裂縫處的起裂較巖石基質破壞所需能量更低、微裂縫擴展速度更大，所以需要更高的鉆井液液柱壓力維持其力學平衡和阻止微裂縫起裂。案例中天然裂縫使井壁坍塌壓力增大了17.1%，當井壁不起裂時臨界鉆井液液柱壓力可作為裂縫性地層坍塌壓力的修正值。