圓弧連接幾何作圖法探析*

李星瑞，王澤蔭，石廣田

(1.蘭州交通大學，甘肅 蘭州 730070;2.甘肅機電職業技術學院，甘肅 天水 741001;3.蘭州交通大學，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

機械制圖是一門機械類的專業基礎課，它是一門既有理論又有實踐的技術基礎課，也 是理工科類課程的基礎[1-2]。圖紙是機械設計、制造以及加工的“流通語言”，技術員通過圖紙實現設計理念，技術工人根據圖紙加工合格零件，而《機械制圖》這門課程主要培養的就是技術人員的讀圖、畫圖，以及所需要的空間想象能力[3-4]。而在教學過程中發現，許多版本的幾何作圖教材中對“已知兩端圓弧用第三段圓弧進行相切連接”處的條件描述不夠詳細，導致作圖時會產生異議甚至無法按照要求完成作圖。筆者采用數學分析方法，結合幾何作圖，以教材中出現的三種圓弧連接為研究對象，分析并舉例在繪制過程中存在的問題，得到在任意情況下完成繪制圓弧連接時已知兩圓弧的半徑、圓心間距離，所繪圓弧半徑之間的關系限定，從而準確完成所有圓弧連接的繪制工作。

1 圓弧連接形式及作圖方法

用已知半徑的圓弧相切連接已知圓心位置和半徑的兩圓(或兩圓弧)，有三種連接形式：外連接、內連接、內外連接，連接形式如圖1所示，在圖1中，AB段圓弧為已知半徑的圓弧，O1和O2為已知圓心位置和半徑的兩圓。

圖1 圓弧連接的形式

在《機械制圖》教材中，對于上述圓弧連接的幾何作圖方法為：

(1)外連接圓?。悍謩e以O1、O2為圓心，以R+R1、R+R2為半徑畫弧，相交于O點，則O點為連接弧的圓心，連接OO1、OO2，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)，再以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

(2)內連接圓?。悍謩e以O1、O2為圓心，以R-R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點，則O點為連接弧的圓心，連接OO1、OO2并延長，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)，再以O點，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

(3)內外連接圓?。悍謩e以O1、O2為圓心，以R+R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點，則O點為連接弧的圓心，連接OO1,交圓弧與A點，連接OO2并延長，交圓弧與A點(A、B為切點)，再以O點，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。該作圖方法所求圓弧與圓O1外接，與圓O2內接[1-4]。

2 問題分析

在用上述方法進行繪圖時，如果遇到某些特殊情況，將無法完成圓弧連接?，F分別對三種圓弧連接中存在的問題進行舉例分析。

2.1 外連接圓弧

設R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，按照該已知條件繪圖，得到的結果如圖2所示，圖中半徑為R+R1、R+R2的兩圓弧沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

圖2 兩圓弧不存在交點

2.2 內連接圓弧

(1)設R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，則R-R1、R-R2均小于0，無法作圖。

(2)設R1=5，R2=8，R=12，O1O2=20，則得到的圖形如圖3所示，圖中半徑為R-R1、R-R2的兩圓弧沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

2.3 內外連接圓弧

(1)設R1=5，R2=8，R=1，O1O2=20，則R-R2小于0，無法作圖。

(2)設R1=5，R2=8，R=10，O1O2=20，則得到的圖形如圖4所示，圖中半徑為R+R1、R-R2的兩圓弧沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

圖4 兩圓弧不存在交點

經過上述案例分析得知，在有些情況下，無法按照教材中的作圖方法完成圓弧連接，存在上述現象的原因是R1、R2、R和O1O2的取值沒有受到限定。

3 圓弧連接的幾何作圖法研究

3.1 外連接圓弧

假設R1、R2和O1O2的取值不變，只增加R的值，當R的值增大到一定程度的時候，將存在如圖5所示的特殊情形，圖5中的R=(O1O2-R1-R2)/2。

圖5 圓弧外連接的特殊情形

圖5所示的特殊情形可看作是圓O將圓O1和圓O2用外切的方式連接了起來，具體的作圖方法與教材中描述的并不一致。

將圖5中的R值繼續增大，使得R>(O1O2-R1-R2)/2，然后按照《機械制圖》教材中“外連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖6所示的結果，圖6(a)是以O1、O2為圓心，以R+R1、R+R2為半徑畫弧，相交于O點，O點為連接弧的圓心；圖6(b)是連接OO1、OO2，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)；圖6(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的外連接圓弧。

圖6 圓弧外連接幾何作圖方法

3.2 內連接圓弧

將圖3中的R值增大，使得R>(O1O2+R1+R2)/2，然后按照《機械制圖》教材中“內連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖7所示的結果，圖7(a)是以O1、O2為圓心，以R-R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點，O點為連接弧的圓心；圖7(b)是連接OO1、OO2并延長，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)；圖7(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的內連接圓弧。

圖7 圓弧外連接幾何作圖方法

3.3 內外連接圓弧

將圖4中的R值增大，使得R>(O1O2-R1+R2)/2，然后按照《機械制圖》教材中“內外連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖8所示的結果，圖8(a)是以O1、O2為圓心，以R+R1、R-R2為半徑畫弧，相交于O點，O點為連接弧的圓心；圖8(b)是連接OO1,交圓弧于A點，連接OO2并延長，交圓弧于B點(A、B為切點)；圖8(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的內連接圓弧。

圖8 圓弧外連接幾何作圖方法

在該作圖方法中，所求圓弧與圓O1是外連接，與圓O2是內連接，如果要讓所求圓弧與圓O1是內連接，與圓O2是外連接，則可將條件變為：R>(O1O2+R1-R2)/2，以O1、O2為圓心，以R-R1、R+R2為半徑畫弧求得連接弧的圓心O點。

4 結 論

采用數學分析方法，結合幾何作圖，以教材中出現的三種圓弧連接為研究對象進行了分析，要在任意情況下完成圓弧連接的繪制，需對R1、R2、R和O1O2之間的關系進行限定。

(1)外連接圓弧時的條件：R>0，且R≥(O1O2-R1-R2)/2。

(2)內連接圓弧時的條件：R>R2，且R≥(O1O2+R1+R2)/2，R2為兩半徑中較大者。

(3)內外連接圓弧時的條件：R>R2，且R≥(O1O2-R1+R2)/2，R2為兩半徑中較大者，此時所求圓弧與R1外接，與R2內接。