基于量子Fisher 信息的耗散相互作用光-物質耦合常數的估計*

牛明麗 王月明 李志堅

(山西大學理論物理研究所,物理電子工程學院,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,極端光學協同創新中心,太原 030006)

量子參數估計在量子度量學中有著重要的應用,量子Cramer-Rao 下界表明量子參數估計精度極限與量子Fisher 信息是直接相關的.本文利用量子參數估計理論對光場與原子失諧很大(大失諧)的Jaynes-Cummings模型耦合常數進行估計.制備探測初態為Qubit 系統與光場的直積態,光場分別為Fock 態、熱態和相干態,分別計算了這三種探測態經大失諧Jaynes-Cummings 模型哈密頓量演化后復合系統以及Qubit 和光場系統的量子Fisher 信息.通過分析發現,復合系統的量子Fisher 信息隨平均光子數單調遞增,Qubit 基態與激發態的等權疊加態為最優探測態,此時量子Fisher 信息達到最大值;當探測態的光場為Fock 態和熱態時,關于被估計參數的信息都包含于Qubit 系統;對于大失諧Jaynes-Cummings 模型耦合常數的估計,光場為熱態或相干態時耦合常數的估計精度高于光場為Fock 態時的精度.

1 引言

量子度量學是統計推斷和量子力學相結合后在精密測量領域的最新研究前沿.量子度量學領域一個最重要的應用就是量子參數估計[1,2].在量子力學中,需要通過描述一些不可直接觀測的感興趣的物理量來研究量子系統的物理性質.如量子信息協議的設計需要知道量子態的糾纏內容[3,4],電磁場強度以及微弱慣性力可被映射到相位上進行估計[5?7],處于不同相的混合系統可用來對耦合強度進行估計[8,9].人們需要借助間接測量,從一個或多個適當的可觀測的量的測量來推斷不可直接觀測的物理量的值[10,11],因此存在估計參數的問題,這需要運用量子估計理論[12?16].在估計參數值時,需要定義表示概率分布之間無窮小距離的Fisher 信息,并通過Cramer-Rao 定理給出估計子可達到的最終精度[17?21].通常一個量子參數估計的過程包括:探測態的制備,探測態與待測系統相互作用(即參數化過程),對演化后的輸出探測態的測量,以及基于測量結果對待測系統參數值估計[2,10,22,23].相位的估計過程包括:N粒子探測態制備、相位累積、可測物理量的測量以及相位估計[24].

作為量子參數估計的基本理論,量子Cramer-Rao 下界(QCRB)表明量子參數估計精度極限與量子Fisher 信息[25](QFI)有著直接關系,在估計多個參數的情況中,QFI 對應為量子Fisher 信息矩陣(QFIM)[11,26,27].在所有可能的量子測量中,最大的Fisher 信息稱為QFI[24],QFI 給定了量子力學所允許的量子估計的精度極限.QFI 越大,精度越高[28].因此本文將對量子參數估計問題的研究轉換為對QFI 的研究.為了盡可能提高測量和估計的精度,必須尋找那些使得QFI 最大的態.基于QFI 進行量子參數估計的相關應用有很多:基于噪音貓態對表征噪音貓態的參數以及位移參數進行估計[29]、存在相位擴散情況下的相位估計問題,以及相移高斯態的最終量子極限精度[7,30,31]、量子信道中噪音參數的估計以及建立估計熱損耗通道中殘余噪聲的最終精度[32]、通過估計兩個有損耗玻色子通道的損耗參數解決兩個點狀源之間間隔的估計問題[33]、利用一維量子Ising 模型的臨界性推導出隨溫度變化的耦合常數的最佳量子估計量[34]、非線性系統中量子光力學的最優估計[35]、基于Fisher 信息的光機械耦合強度的估計[36]、Jaynes-Cummings (J-C)模型耦合常數的最優量子估計[37]等.

當J-C 模型在光場與原子失諧很大(大失諧)的情況下,原子不會發生直接躍遷,只存在原子與光場的“耗散”相互作用.大失諧情況下的J-C 模型在量子力學的許多應用中都有著很重要的作用,如產生薛定諤貓態[38].本文利用量子估計理論研究大失諧J-C 模型耦合常數的估計問題,將對此估計問題的分析轉換為對不同的探測態經大失諧J-C模型哈密頓量演化后對應系統的QFI 的分析.制備探測初態為Qubit 系統與光場的直積態,光場分別為Fock 態、熱態、相干態,分別計算了這三種探測態經大失諧J-C 模型哈密頓量演化后復合系統以及Qubit 和光場系統的QFI.

2 大失諧J-C 模型

J-C 模型描述一單模輻射場與一個自旋為–1/2 的二能級系統的相互作用,哈密頓量描述為

在相互作用繪景中,單模玻色場頻率ωf與原子躍遷頻率ωq之間失諧很大的J-C 模型,有效哈密頓量形式為

式中χ=λ2/Δω,其中λ為耦合強度,失諧量Δω=ωq?ωf;原子躍遷算符;泡利算符=|e〉〈e|?|g〉〈g|;分別為輻射場的產生湮滅算符.當相互作用時間為t,相對應的時間演化幺正算符為

式中,Ω=χt,參數Ω為本文將要估計的物理量.

假設在時刻t=0,制備探測態為一個純態,且Qubit 與光場之間沒有關聯,即探測態為

且|Ψ0〉=|ψq〉?|ψf〉.t=0 時,Qubit 系統處在一個基態|g〉和激發態|e〉疊加的純態,形式為

光場系統分別處于Fock 態ρf=|n〉〈n|、熱態ρf=和相干態ρf=|α〉〈α|.系統隨時間的演化表示為

分別對Qubit 或光場自由度進行部分求跡,得到演化后Qubit 系統和光場的約化密度算符即

3 量子估計理論

量子度量學是結合量子資源和量子特性提高測量精度的科學,一個重要的應用就是量子參數估計.量子參數估計理論中,Cramer-Rao 下界(CRB)表明Fisher 信息直接關系著參數估計的精度[17?20],CRB 的形式為

式中,V(Ω) 為無偏估計參數的方差,F(Ω)為Fisher信息,N為對系統的測量次數.Fisher 信息用來描述一個可觀測隨機變量X攜帶關于未知參數Ω的信息量的多少,定義式為

式中p(x|Ω)為當被估計參數值為Ω時,測量結果為x的條件概率.

在量子力學中,根據玻恩定則p(x|Ω)=tr[ΠxρΩ],

其中{Πx}為正定算符值測量(POVM) 算符,ρΩ為與被估計參數Ω有關的待測系統.引入由Lyapunov 方程定義的對稱對數導數LΩ,

Fisher 信息可以重新表示為

在所有可能的量子測量中,將F(Ω)最大化,可以得到

H(Ω)稱為QFI,H(Ω)滿足的CRB 稱為QCRB:

式中H(Ω)給出了估計未知參數Ω精度的最終極限.

假設待測系統的密度算符的譜分解形式為

式中cn和|ψn〉分別為密度算符的本征值和本征矢,則Lyapunov 方程的解LΩ可寫為

其中cn+cm≠0.根據?ΩρΩ=+cn|?Ωψn〉〈ψn|+cn|ψn〉〈?Ωψn|),得出QFI 可寫為

當初態ρ0經過一個與未知參數Ω有關的幺正操作,即

其中|Ψ0〉是探測態,G可看作未知參數Ω的厄米生成元.在這種情況中QFI 與未知參數Ω無關,是厄米算符G在初態中漲落的4 倍[30],即

相應的量子Cramer-Rao 不等式寫為

當系統的量子態ρ與參數{λ1,λ2,λ3,···,}有關時,QCRB 由量子Fisher 信息矩陣(QFIM)給出:

其中C為估計子的協方差矩陣,H?1為QFIM 的逆矩陣.協方差矩陣元和QFIM 矩陣元分別定義為

(24)式中,Lμ為第μ個參數對應的對稱對數導數.

4 應用

在這一部分,制備探測初態為Qubit 系統與光場的直積態,光場分別為Fock 態、熱態和相干態,分別計算了這三種探測態經大失諧J-C 模型哈密頓量演化后復合系統以及Qubit 和光場系統的QFI.

4.1 Fock 態光場

當光場處于Fock 態|ψf〉=|n〉,相應的探測態為

根據(6)式,ρ0經(3)式演化時間t后,系統的密度矩陣變為

根據(20)式計算出Fock 態時未知參數Ω對應的QFI 為

再計算Qubit 和光場兩個子系統對應的QFI,

根據(17)式得到Hq1(Ω) 為

通過計算,得出ρf1(Ω)=|n〉〈n|=ρf以及Hf1(Ω)=0.綜上,當光場為Fock 態情況時的QCRB 為

從(27)式、(30)式和圖1 可以看出,光場為Fock 態時H1(Ω)隨平均光子數單調增加.當θ=π/2,原子初態處于基態與激發態的等權疊加態,H1(Ω)總是取最大值,即H1(Ω)=(1+2n)2,且被估計參數的方差最小為V(Ω)=1/(1+2n)2,因此使QFI 最大的Qubit 態的最佳制備對應于基態與激發態的等權疊加態;當θ=0或π,H1(Ω)最小,即H1(Ω)=0,被估計參數的方差趨于無窮大,此時原子初態處于激發態或基態,并不是最優探測態,因此不在我們關注范圍之內.Hq1(Ω) 和Hf1(Ω)直接表明關于未知參數Ω的所有信息都包含在Qubit 系統中,而光場不包含任何關于未知參數Ω的信息.

圖1 光場為Fock 態時QFI 隨不同變量的變化(Hq1(Ω)=H1(Ω))(a)平均光子數 ;(b) θFig.1.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a Fock state (Hq1(Ω)=H1(Ω)):(a) The average photon number,;(b) θ.

4.2 熱態光場

考慮在溫度T時與腔壁處于熱平衡狀態的單模熱光場,即光場遵從熱平衡輻射規律:

經(3)式演化時間t后的系統可表示為

根據(17)式,計算出光場為熱態時未知參數Ω對應的QFI 為

當玻色場為熱平衡態時的平均光子數為

此時QFI 重新表示為

計算子系統對應的QFI 為

由(36)式、(40)式和圖2 可知,當光場處于熱態時,QFI 的情況與Fock 態的情況相類似.當θ=π/2,即原子初態處于基態與激發態的等權疊加態,H2(Ω)總是取最大值,即H2(Ω)=1+,參數Ω的最小方差V(Ω)=,因此Qubit 態對應于基態與激發態的等權疊加態的初態為最優探測態;當θ=0或π,H2(Ω) 最小,即H2(Ω)=0,被估計參數的方差趨于無窮大,此時原子初態處于激發態或基態,并不是最優探測態,因此不予討論.Hq2(Ω)和Hf2(Ω) 直接表明關于未知參數Ω的所有信息都包含在Qubit 系統中,而光場不包含任何關于未知參數Ω的信息.

圖2 光場為熱態時QFI 隨不同變量的變化(Hq2(Ω)=H2(Ω))(a)平均光子數 ;(b) θFig.2.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a thermal state (Hq2(Ω)=H2(Ω)):(a) The average photon number,;(b) θ.

4.3 相干態光場

當光場初態處于相干態,則相應的探測態為

密度矩陣演化為

根據(20)式計算出復合系統對應的QFI 為

則H3(Ω) 對應的QCRB 為

光場子系統對應的QFI

則Hf3(Ω) 對應的QCRB 為

由(43)式、(44)式和圖3 可看到,當光場為相干態時,QFI 的情況與Fock 態和熱態的情況類似,當θ=π/2,即Qubit 系統初態為基態與激發態的等權疊加時,H3(Ω)取最大值H3(Ω)=+1,參數Ω的最小方差為V(Ω)=,此時的初態為最優探測態,因此使QFI 最大的Qubit 態的最佳制備對應于基態與激發態的等權疊加態;而當θ=0 或π,即Qubit 系統初態為基態或激發態時,H3(Ω)取最小值H3(Ω)=,此時被估計參數的方差最大為V(Ω)=,此時參數估計的精度受到限制,所能達到的最大估計精度極限為散粒噪聲極限.

圖3 腔場為相干態時QFI 隨不同變量的變化 (a)平均光子數 ;(b) θFig.3.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a coherent state:(a) The average photon number,;(b) the θ.

4.4 結果

圖4 比較了光場分別為Fock 態、熱態和相干態時QFI 隨平均光子數和θ的變化.從圖4(a)可直觀地看出,H(Ω) 隨平均光子數單調遞增,且熱態情況(H2(Ω))優于相干態情況(H3(Ω)),相干態情況優于Fock 態(H1(Ω)).從圖4(b)可看出,H(Ω)隨θ也在單調增加,且光場處于熱態和相干態時的QFI 均優于Fock 態情況的QFI.當θ=0 時,QFI 最小,Fock 態和熱態情況H1(Ω)=H2(Ω)=0,即參數Ω的最大方差趨于無窮大,但相干態情況H3(Ω)=,參數Ω的最大方差為.當θ< π/4.6,相干態情況的QFI 比熱態情況的大,當θ> π/4.6,相干態情況的QFI 比熱態情況的小.綜合分析,隨和θ同時增長,三種情況的H(Ω)均在單調增加,θ=π/2 取最大,且熱態情況和相干態情況的QFI 均優于Fock 態情況.但當θ< π/4.6,相干態情況的QFI 優于熱態情況,當θ> π/4.6,情況相反.再具體分析每一種情況中復合系統的QFI 與子系統的QFI.發現Fock 態情況和熱態情況類似,Qubit 子系統的QFI 等于復合系統的QFI,光場子系統的QFI 為零,換句話說,光場子系統不包含任何關于待估計參數的信息.但相干態情況中,情況并非如此,光場子系統的QFI 與平均光子數成四倍關系.綜上所述,在三種不同的探測態情況中,量子Qubit 態處于基態與激發態的等權疊加態時,此時的探測態為最優探測態;當θ取某一值,光場對應于熱態時的初態為最優探測態.

5 結論

綜上,大失諧J-C 模型哈密頓量的耦合常數不是可觀測量,估計耦合常數時需要利用QCRB 和QFI 計算的精度界限.這具有根本意義,因為它對應于尋找量子力學對物質處于不同態的可區分性施加的最終極限.本文通過制備探測初態為Qubit系統與光場的直積態,光場分別為Fock 態、熱態、相干態,基于QFI 對大失諧J-C 模型的耦合常數進行估計.分別得出光場為Fock 態、熱態、相干態時復合系統的QFI 以及子系統的QFI,并進行分析比較,發現三種不同光場的復合系統的QFI 取決于平均光子數和Qubit 內態.在大失諧J-C 模型耦合常數的估計問題中,Qubit 基態與激發態的等權疊加態為最優探測態,此時QFI 取最大值,利用熱態或相干態情況中的探測態進行估計得到的精度要比Fock 態情況的高.本文的研究結果為大失諧J-C 模型耦合常數的估計提供了方法和依據.