多重卷積流形上的梯度近Ricci孤立子

沈 東

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言及主要結果

若Riemann流形(Mn,g)上存在兩個實值光滑函數ψ和ρ, 滿足方程

Ric+Hess(ψ)=ρg,

(1)

則稱(Mn,g)為梯度近Ricci孤立子[1], 記為(Mn,g,ψ,ρ), 并稱ψ為勢函數, 其中Hess(ψ)=2ψ表示勢函數ψ的Hesse算子,Ric為Mn的Ricci曲率張量.

梯度近Ricci孤立子是Ricci-Bourguignon流的自相似解[2], 也是Einstein流形的推廣形式(包括梯度Ricci孤立子, 梯度近Ricci孤立子, 梯度Yamabe孤立子), 它與卷積流形[3]有緊密聯系. Kim等[4]給出了卷積形式的Einstein流形. 而多重卷積流形是卷積流形的自然推廣.

(2)

多重卷積流形在微分幾何和理論物理的廣義相對論中均有重要意義.例如當m=2時, 若在M=××S2上賦予如下度量g：

則(M,g)即為Reissner-Nordstr?m時空(Schwarzschild黑洞的特殊情形), 其中m表示質量,q表示電荷; 若在M=×Sk×F上賦予如下度量:

g=-dt2+cosh2tgSk+gF,

則(M,g)即為de Sitter時空, 其中(F,gF)為Riemann流形; 當m=1時, 若在M=×Sk上賦予度量g=-dt2+cosh2tgSk, 則得到的Riemann流形(M,g)即為廣義Robertson-Walker時空[6]. 此外, 通過求解卷積函數的顯式解, 可得相應多重卷積時空是Einstein時空. 例如, 文獻[7]給出了卷積函數的一些特殊形式, 使得對應的廣義Robertson-Walker時空是常數量曲率空間； 文獻[8]得到了卷積函數的特解, 使得廣義Robertson-Walker時空是Einstein流形, 且其纖維也是Einstein流形.

在微分幾何中, 研究多重卷積流形上的Einstein度量及其推廣形式對于構造具有某種曲率性質的Riemann度量具有重要意義, 目前已取得了許多成果. 例如: 文獻[4]得到了卷積流形是Einstein流形的充要條件; 文獻[9-10]將Einstein流形推廣到梯度Ricci孤立子. 其中文獻[9]構造了一個穩定Ricci孤立子, 其形式是卷積流形(0,+∞)×fSm,m>1, 卷積函數f是一條射線; 文獻[10]證明了卷積流形上的梯度收縮Ricci孤立子是緊致Riemann流形的必要條件是其基流形是緊致的, 且纖維流形的維數至少為2, 并得到了卷積流形是梯度Ricci孤立子的充要條件； 文獻[11]將卷積流形推廣到多重卷積流形, 得到了多重卷積流形是梯度Ricci孤立子的充要條件.

基于此, 本文討論多重卷積流形上的梯度近Ricci孤立子, 得到如下結果.

2)λ≤0, 且λ(p)≤λ(q), 其中p,q分別是函數b的最大值點和最小值點.

則Mn是多重Riemann積梯度Ricci孤立子.

2 預備知識

設(Mn=Br×b1F1×b2F2×…×bmFm,g)是n維多重卷積流形.若Mn上具有梯度近Ricci孤立子(Mn,g,ψ,ρ)的結構(即滿足式(1)), 則稱(Mn,g,ψ,ρ)為多重卷積梯度近Ricci孤立子.特別地, 若bi(1≤i≤m)為常數, 則稱(Mn,g,ψ,ρ)為多重Riemann積梯度近Ricci孤立子.

設(Mn,g)是n維多重卷積流形,T是Mn上的(0,2)型張量,ψ是Mn上的光滑函數, 則由散度和梯度的定義可得：

1) div(ψT)=ψdiv(T)+T(ψ,·);

3) div(Hess(ψ))=Ric(ψ,·)+d(Δψ);

5) div(ψg)=div(ψ)=dψ.

二階橢圓算子強最大值原理的定義可參見文獻[13-14].設B是r維Riemann流形,u,φ,c是B上的3個光滑函數, 且c≥0.在B上定義一個二階橢圓算子

ε(·)∶=Δ(·)-φ(·)+c(b(·)).

為方便, 本文約定D,,Ric,Δ分別表示Mn上的Levi-Civita聯絡、 梯度、 Ricci張量、 Laplace算子;BD,FiD,B,Fi,ΔB,ΔFi,RicB,RicFi分別表示Br,上的Levi-Civita聯絡、 梯度、 Laplace算子、 Ricci張量;分別表示Ricci張量和Hesse算子的Br,上提升；Hess(ψ),Hess(φ)分別表示Mn和Br上光滑函數ψ∈C∞(M),φ∈C∞(B)的Hesse算子, 1≤i≤m.

引理1[15]設(Mn,g)是多重卷積流形, 若X,Y∈L(B)且V∈L(Fi),W∈L(Fj), 則:

1)DXY是BDXY的B上提升;

引理2[15]設(Mn,g)是多重卷積流形, 且φ:B→(0,+∞)是B上的光滑函數, 則:

引理3[15]設(Mn,g)是多重卷積流形.若X,Y∈L(B)且V∈L(Fi),W∈L(Fj), 則:

2)Ric(X,V)=0;

3) 當i≠j時,Ric(V,W)=0;

4) 當i=j時,

3 多重卷積流形上梯度近Ricci孤立子的性質

其中c為常數.

(3)

由引理4, 式(3)可轉化為

(4)

其中c為常數.再由引理2, 式(4)可轉化為

證畢.

性質1中若bi=b(1≤i≤m), 其中bi是B上的光滑函數, 則可得下列推論.

其中c為常數.

性質2設(Br,gB)是r維Riemann流形,b>0,φ,λ是B上的光滑函數, 且滿足

(5)

(6)

其中si≠0為實數.則

(7)

其中μ∈為常數.

證明: 對式(5)求跡, 有

這里R是B上的數量曲率.因此

(8)

另一方面, 對式(5)求散度, 并利用div(Hess(ψ))=Ric(ψ,·)+d(Δψ), 得

又因為

所以式(9)可轉化為

利用第二Bianich恒等式的縮并, 即

(11)

將式(8)和式(10)代入式(11), 得

對式(6)求微分, 得

(13)

即

證畢.

(14)

(15)

所以在基流形B上可得

從而式(14)得證.下面用類似的方法證明式(15).

由引理3中結論4)和式(1), 對任意的V,W∈L(Fi), 1≤i≤m, 有

將式(17)代入式(16)得

由性質2, 并令式(7)中b=bi(1≤i≤m), 可得

其中μ為常數, 滿足

證畢.

性質3中若bi=b(1≤i≤m), 其中bi是B上的光滑函數, 則可得下列推論.

4 主要結果的證明

4.1 定理1的證明

由推論2, 必要性得證.故只需證明充分性.

首先, 設(Mn=Br×bF1×bF2×…×bFm,g)是多重卷積流形.由引理3中結論1)和式(5)知, 對任意的X,Y∈L(B),Mn滿足式(1).

(18)

由引理3中結論2)和式(18)知,Mn滿足式(1).此外, 對于任意的V∈L(Fi),W∈L(Fj)且i≠j, 有

(19)

所以由引理3中結論3)和式(19)知,Mn滿足式(1).

由式(17)知,

4.2 定理2的證明

在基流形B上定義一個二階橢圓算子:

則式(7)等價于

對于條件2), 因為p,q分別是B上函數b的最大值點和最小值點,λ≤0且λ(p)≤λ(q), 所以Bb(p)=0=Bb(q)且ΔBb(p)≤0≤ΔBb(q).又因為b>0且λ(p)≤λ(q), 所以-λ(p)b2(p)≥-λ(q)b2(q), 再結合式(7)得

0≥b(p)ΔBb(p)=μ-λ(p)b2(p)≥μ-λ(q)b2(q)=b(q)ΔBb(q)≥0.

因此

μ-λ(p)b2(p)=μ-λ(q)b2(q)=0.

下面對λ(p)分兩種情形討論.當λ(p)≠0時, 由λ(p)≤λ(q)<0得

因此b(p)=b(q), 即b是常數; 當λ(p)=0時, 由λ(p)=0得μ=0, 又由式(7)可得

最后由強最大值原理知b是常數, 且由式(7)得λ=0.

因此,Mn是一般的多重Riemann積流形上的梯度Ricci孤立子.定理2證畢.