張拉整體伸展臂的構建方法研究

羅阿妮,張晨陽,楊建龍,鄒云濤,劉賀平

(1.哈爾濱工程大學 機電學院,哈爾濱 150001;2.濰柴動力股份有限公司,濰坊 261061;3.中車長春軌道客車股份有限公司,長春 130062)

0 前言

空間伸展臂，既可以為航天器提供支撐，也可以為航天器提供展開動力，因此空間伸展臂的研究對未來的航天發展具有重要意義[1-2]。鉸接式伸展臂具有展開剛度大，重復展開精度高等特點，是目前使用最多的可展結構[3]。但是此類伸展臂的鉸鏈結構復雜，設計難度大，且復雜的鉸鏈結構也導致了伸展臂的質量大幅增加，因此鉸鏈的設計一直是此類伸展臂設計的重點，其設計難度也限制了其發展。張拉整體結構是一種由桿構件和索構件組成的結構，索網由桿構件在內部撐出預期形狀，且桿構件相互不接觸[4]。正是由于張拉整體中桿構件都不相互接觸，當把其轉化為可展結構時，就省卻了設計復雜剛性鉸鏈的麻煩，也避免了傳統剛性鉸鏈在運動范圍方面的限制。張拉整體結構的構件都只承受軸向力，所受外載都會由所有構件來承擔，結構整體的材料利用率高，質量小[5]。正是由于張拉整體結構的這些優點，近些年來，許多研究人員都在嘗試把臂狀張拉整體結構轉化為伸展臂[6]。

Gunnar[7]基于臂狀張拉整體結構，構建了一種伸展臂。此伸展臂的桿構件能夠實現彈性彎曲變形，通過拉緊索來保持桿構件的彎曲和整體的折疊。當拉緊的索構件被釋放時，桿構件在彈力作用下伸直，從內部支撐索網結構，形成預期的臂狀張拉整體結構。Veuve等[8-10]研究了二階臂狀張拉整體結構的可折展方法。此可展結構的桿構件都為剛性構件，不可折疊，而部分索構件串聯以驅動機構折展，另一部分索構件用彈簧替代。由于相連的桿構件之間相對運動較為復雜，因此桿構件的連接采用球副或萬向節。Averseng等[11]把多個四桿張拉整體單元側面拼接，形成一個臂狀張拉整體結構。把張拉整體單元的斜索作為驅動索，通過驅動索的縮短，驅動折疊狀態的臂狀結構展成預定狀態。李冰玉等[12]基于張拉整體結構，建立連續型機械臂力學模型，并對其準靜態和動態進行分析，最后通過實驗平臺驗證模型的準確性，并進一步分析機械臂在空間工作時的奇異姿位。Fadeyev等[13]搭建了兩級張拉整體機械臂實驗平臺，該平臺周圍設有8個OptiTrack攝像機，通過光學運動捕捉節點的位移信息。該實驗平臺使張拉整體機械臂樣機的實驗數據與理論分析得到有力的驗證，該實驗平臺也適用于其他張拉整體研究的信息捕捉。

張拉整體結構中，桿構件支撐索網形成預期形狀，桿構件對整體剛度起到決定作用。二階張拉整體結構中存在運動副，增加了設計的難度和結構的復雜程度。側面拼接的張拉整體結構的力學特性較軸向拼接的張拉整體結構差。因此，本文將基于張拉整體單元軸向拼接形成的臂狀張拉整體結構，研究一種新型的張拉整體伸展臂的構建方法。

1 臂狀張拉整體結構的數學模型

張拉整體伸展臂是由臂狀張拉整體結構轉化而成的，因此應首先構建臂狀張拉整體結構。下面將研究基于節點矩陣和連接矩陣的臂狀張拉整體結構的通用構型方法。

1.1 節點矩陣

多個張拉整體單元，沿其軸向進行拼接，就可以形成臂狀張拉整體結構[14]，圖1所示為3桿張拉整體單元軸向拼接形成的臂狀張拉整體結構。拼接所用的張拉整體單元除了單元內扭轉角，其他結構參數都相同，且相鄰單元的單元內扭轉角之和為360°。臂狀張拉整體結構的構件可以分成5類，如圖1所示，桿(1)、斜索(2)、附加索(3)、鞍索(4)、端面水平索(5)。

圖1 臂狀張拉整體結構Fig.1 Tensegrity arm

組成臂狀張拉整體結構的張拉整體單元由下至上排序，奇數層單元的節點坐標可表示為

(1)

(2)

式中，j為組成臂狀張拉整體結構單元序號且為奇數，Ndij為第j層單元下端面第i個節點，Nuij為第j層單元上端面第i個節點，r為單元端面外接圓半徑，h為單元高度，η為相鄰單元的重合高度hη和h的比值，ɑ為單元內轉角，β為相鄰單元間轉角。

偶數層單元的節點坐標可表示為

(3)

(4)

由下至上對單元進行排序，將各單元的節點坐標按順序放入一個矩陣，就形成了節點矩陣

N=[Nd11…Nu11…Nd1q…Nu3q]

式中，q為此臂狀張拉整體結構的層數。

1.2 桿矩陣

此臂狀張拉整體結構的桿矩陣可以表示為

B=[B1B2…Bj…B3q]=N·CB

(5)

式中，Bj(j=1,2,…,3q)為第j根桿對應的桿向量，此向量為列向量，CB為桿連接矩陣，且

I3∈R3×3是單位陣，O∈R3×3是零矩陣[15]。

1.3 索矩陣

此臂狀張拉整體結構的索矩陣可以表示為

S=[S1S2S3S4]

(6)

式中，S1，S2，S3，S4分別為鞍索矩陣、斜索矩陣、附加索矩陣和水平索矩陣。

1) 鞍索矩陣

鞍索位于相鄰單元結構的交叉部位，其兩端連接的桿構件屬于不同的單元，所有鞍索列向量組成的鞍索矩陣可表示為

S1=N·CS1

(7)

其中，CS1為鞍索連接矩陣，

CS1=[E1E2]∈R6q×6(q-1)

(8)

2) 斜索矩陣

結構中所有斜索列向量組成的斜索連接矩陣可寫作

斜索矩陣可以表示為

S2=N·CS2

(9)

3) 附加索矩陣

表示所有附加索與節點連接關系的附加索連接矩陣為

CS3=[E3E4]

(10)

式中，

附加索矩陣可寫成

S3=N·CS3

(11)

4)水平索矩陣

反應所有水平索和節點連接關系的水平索連接矩陣可表示為

(12)

式中，矩陣O1∈R3×3和O2∈R3×6(q-1)都是零矩陣，

水平索矩陣可寫作

S4=N·CS4

(13)

這樣，給定q、r、h、η、ɑ、β，就可以獲得任意層數的3桿臂狀張拉整體結構的節點矩陣和構件連接矩陣，進一步計算可以獲得構件向量和結構數學模型，這樣就形成了3桿臂狀張拉整體結構的自動構型方法。令r為145 mm，h為200 mm，η為1/3，α=120°，β=60°，q=4，所形成的4層3桿臂狀張拉整體結構簡圖如圖1所示。此結構中，同類構件的長度相同，桿長為312.1 mm，水平索長為200 mm，附加索長為197 mm，斜索長為251.1 mm，鞍索長為159.6 mm，結構整體的對稱性好。

2 臂狀張拉整體結構受力變形分析

2.1 受力變形理論分析

圖1所示的狀態為臂狀張拉整體結構的展開狀態。當把臂狀張拉整體結構轉化為伸展臂結構時，其預期的折疊狀態為結構沿軸向折疊，其高度大幅度減小，從而使得伸展臂折疊狀態體積減小。而且，折疊與展開的過程基本是可逆的，因此可以通過臂狀張拉整體結構折疊來確定其轉化為伸展臂的方案。

在臂狀張拉整體結構兩端施加軸向壓力，可以促使此結構軸向長度減小，達到其軸向折疊的效果。因此，下面將對結構整體施加軸向壓力，分析其構件的變形和受力，從而確定驅動構件和隨動構件的選擇方案，為臂狀結構轉化為伸展臂提供依據。

分析臂狀張拉整體結構的受力變形時，結構端面受力如圖1所示，即在上下端面節點處添加方向相反的軸向壓力，從而實現對結構整體的壓縮。受力變形分析，最為直接的就是利用表示受力與變形間關系的剛度矩陣，求取給定外載下的節點位移，從而獲得構件的長度變化。

空間結構的受力變形關系可表示為

W=Kδ

(14)

式中，W為結構節點所受的外載向量，K為結構的剛度矩陣，δ為結構的節點位移向量。因此

δ=K-1W

(15)

張拉整體的結構剛度矩陣K由兩部分組成，即

K=Ke+Kg

(16)

其中，Ke為彈性剛度矩陣，Kg為幾何剛度矩陣[16]。

變形后的節點坐標可表示為

NV1=NV+δ

(17)

式中，NV為N轉化成的列向量。

幾何剛度矩陣Kg是利用構件的預緊力構建的，因此，需要求取結構在初始狀態的預緊力。求解構件預緊力的方法很多，最為常用的是利用平衡方程進行求解。初始狀態下，結構不受外力，其處于自平衡狀態，此時結構的平衡方程可表示為

AT=0

(18)

其中，A為結構的平衡矩陣，T為構件內力向量。

利用SVD法對平衡矩陣A進行分析[17]，可得

A=UλV

(19)

其中，矩陣λ的對角線元素為矩陣A的特征值，其非零值個數與平衡矩陣的秩相等，U和V的列組成了平衡矩陣正交的基向量，分別為張拉整體結構的位移模態向量和自應力模態向量。

當此結構的自應力模態數為c(即矩陣A的列數與其秩的差值)時，矩陣V的右側c列向量組成了此平衡方程的零空間正交基VNull，即：

VNull={v1v2…vs}

(20)

根據式(20)，那么構件的初始預緊力T0可以表示為

T0=VNull·C

(21)

C=[c1c2…cs]T

(22)

式中，C為零空間正交基底的組合系數向量，其元素可以為任意實數。

2.2 驅動構件的確定

根據2.1節的理論，下面進行4層3桿臂狀張拉整體結構的受力變形分析。這里，桿構件和索構件的材料都為鋼，桿構件截面直徑為10 mm，索構件的截面直徑為1 mm，其他結構尺寸的設置與1.3節相同。此結構的重力為24.2 N，通過SVD法分解平衡矩陣，獲得構件預緊力之間的比例關系。令桿構件的預緊力為50 N，此時斜索預緊力為34.1 N，附加索預緊力為44.7 N，鞍索預緊力為52.9 N，水平索預緊力為16.9 N，這樣，構件預緊力與結構重力為相同量級，重力引起的結構變形較小。

結構上下端面節點施加的軸向力由0 N變化到45 N，圖2顯示了臂狀張拉整體結構受力變形前后的狀態圖。由2圖可知，結構受壓后，其高度和半徑都會有所變化。圖3為外力與結構整體高度和端面直徑的關系曲線。圖3中，當外載為0時，端面直徑近似不變，而整體高度降低了約2 mm，即結構自身重力引起的自身結構變形較小，這說明預緊力的設置是合理的。隨著外力的增加，結構整體高度減小，端面直徑增加，而且，端面直徑的變化量比整體高度的變化量要小一個數量級，也就是結構整體外包絡體積的變化主要受結構高度的影響，這也證明了此臂狀張拉整體結構非常適合于將其轉化為空間可展結構。

圖2 臂狀張拉整體結構的變形Fig.2 Deformation of tensegrity arm

圖3 高度和端面直徑的增量曲線Fig.3 Incremental curves for height and end face diameter

圖4為各類構件的長度與外載的關系曲線。由圖4可知，隨著外力的增加，附加索和斜索的長度減小，鞍索的長度增加，水平索的長度基本不變。與附加索和斜索的長度減少量相比，鞍索長度的增加幅度要小得多。附加索在長度變化上大于斜索，這說明附加索在結構高度減少的過程中，反應更加敏感，即利用附加索驅動伸展臂更為適宜。

圖4 構件長度變化曲線Fig.4 Curves for members length

3 索構件彈性化方案

3.1 方案制定

通過結構受力變形分析可知，在臂狀張拉整體結構壓縮過程中，附加索、斜索和鞍索都出現了明顯的長度變化，而水平索的長度變化量較其他索構件小得多，因此這里水平索依然選用彈性小的索構件。在折疊過程中，附加索和斜索的長度都是減小的，兩者都可以作為驅動結構折疊的驅動構件。由于此結構的附加索處于豎直狀態，且都分布于幾條豎直線上，易于串連，且長度變化量較大，因此這里選擇附加索為驅動構件。在此基礎上，一部分索構件長度也需要隨著結構的折展有明顯的變化，這里將采用彈簧替代這些需要長度變化的索構件。根據2.2節的分析，這里提出了3種索構件用彈簧替代的方案：

1)除水平索件，其他索構件皆用彈簧來代替，即18根斜索和18根鞍形索用彈簧替代。

2)只有18根鞍索用彈簧替代。

3)只有12根鞍索用彈簧替代。

3.2 方案分析

1)方案1

根據圖1所示構件的幾何關系分析，采用彈性化方案1的臂狀張拉整體結構的中間一層的折疊過程大體如圖5所示。由圖5可知，此結構能在附加索的驅動下實現整體沿其軸線的折疊，在忽略構件直徑的情況下，此結構最終將折疊到一平面。此結構在完成折疊后，其鞍索構件在底面上的投影圍成了一個正六邊形，桿構件的投影在內部圍成正三角形。設lb為桿長，此正六邊形的外接圓半徑為：

圖5 方案1的折疊過程Fig.5 Deployment for scheme 1

正六邊形邊長

鞍索原長為120.19 mm，桿長為264.575 mm。折疊后，鞍索長度為152.80 mm，鞍索伸長量為Δla=32.61 mm。

2)方案2

采用彈性化方案2的結構折疊過程與折疊后的形狀和方案1類似，折疊后的結構依然呈一正六邊形，構件長度的變化也和方案1相同。

3)方案3

采用彈性化方案3的臂狀張拉整體結構在附加索驅動下的折疊過程和方案1也相同，折疊完成后，整體結構也將折疊到一個平面，其折疊后的構件在底面上的投影如圖6所示。方案3的鞍型索柔性化數量減少了一半，每個中間層的鞍索有6根，這里只把其中3根彈性化。因為未彈性化的鞍索在折疊時長度不變，彈性化的鞍索將被伸長，當此臂狀結構被壓縮到底面時，其同一層的鞍索圍成一個六邊形，此六邊形不是正多邊形，其桿構件依舊圍成正三角形。圖6所示的六邊形行中，短邊長為120.19 mm，長邊長為183.14 mm，彈性化的鞍索伸長量為Δla=62.95 mm。

圖6 方案3單元折疊俯視圖Fig.6 Top view of unit deployment for scheme 3

3.3 方案確定

用彈簧替代索的數量越多，結構的剛度越低，影響伸展臂的承載能力。且彈簧的伸長量越大，需要其剛度越低，這也將影響整個結構剛度。綜合對比3個方案，方案1中，彈簧的伸長量小，但數量過多；采用方案3的結構中，彈性化的構件數量少但彈簧的伸長量大；相比于前兩種方案，方案2在彈性化構件數量和彈簧伸長量方面具有絕對優勢。

根據這3個方案，分別在動力學軟件中建立張拉整體伸展臂的仿真模型(圖7)，進行折疊可行性的分析。仿真模型的結構尺寸與受力變形分析時的設置相同。這里，所有索構件都用彈簧來表示，彈性化的索構件的彈性系數設置為2 N/mm，未彈性化的索構件的彈性系數設置為200 N/mm。通過仿真分析發現，只有采用彈性化方案1的張拉整體伸展臂能夠在附加索驅動下折疊到高度最小，而采用其余兩個彈性化方案的伸展臂都會出現在折疊過程中機構卡死導致其無法折疊到高度最小的現象。因此，這里選擇方案1作為索構件彈性化方案。

圖7 張拉整體伸展臂仿真模型Fig.7 Simulation model of tensegrity extension arm

4 折展過程的仿真分析

圖8為根據彈性化方案1設置的張拉整體伸展臂在附加索驅動下的折疊過程，此折疊過程用10 s完成。折疊完成后，機構將保持折疊狀態5 s，再由彈簧和附加索配合驅動此伸展臂展開，展開過程用時10 s。

圖8 仿真模型的折疊過程Fig.8 Deployment of the simulation model

圖9為折展過程中機構外包絡圓柱的高度和端面直徑的變化。由圖9可知，機構折疊狀態的高度為83 mm，端面直徑為331 mm，展開和折疊狀態的外包絡圓柱體積比為5.55，高度比為7.23，端面直徑比為0.88。由仿真可知，張拉整體伸展臂能夠在附加索的驅動下完成折疊和展開，分析獲得的驅動方案和彈性化方案是可行的。而且，與高度變化相比，端面直徑的變化要小得多，整體結構的外包絡體積也是主要受結構高度的影響，這與2.2節的結論相同，進一步證明了此臂狀張拉整體結構適合于轉化為伸展臂結構。

圖9 折展過程中機構外包絡圓柱的高度和端面直徑的變化Fig.9 Changes of the height and end face diameter of the outside enveloping cylinder of the mechanism during deployment

圖10顯示了此伸展臂運動過程中構件長度的變化。鞍索的長度最大變化量為48.5 mm，約占其初始長度的1/3；斜索長度最大變化量為11.4 mm，約占初始長度的5%；水平索的長度變化量很小，可忽略；附加索長度變化量最大值為100 mm，超過其初始長度的50%。與附加索相比，彈性化的鞍索和斜索長度變化量小，選擇相應的替代彈簧較容易，而水平索的長度變化量也證明了未將其彈性化的正確性。

圖10 折展過程中構件長度的變化Fig.10 Change of members length during deployment

5 實驗研究

根據前面的分析，獲得了臂狀張拉整體結構轉化為張拉整體伸展臂的具體方案，并通過仿真分析，對方案的可行性進行了驗證。根據這一方案，搭建張拉整體伸展臂模型(如圖11(a)所示)。圖11(a)～11(d)顯示了此張拉整體伸展臂在附加索的驅動下，折疊狀態運動到展開狀態運動的過程。這一過程主要是在彈簧驅動下完成的，而附加索隨動釋放，起到控制整個伸展臂展開速度的作用。此時，附加索串聯形成3根從頂部連到底部的驅動索，只需要3個電機來分別控制其長度變化。當附加索協同縮短，此機構會由展開狀態(圖11(d))折疊到圖11(a)所示狀態，其過程與展開過程正好相反。這說明此張拉整體伸展臂能夠在附加索的驅動下實現展開和折疊，此伸展臂方案是可行的。

圖11 張拉整體伸展臂的折疊過程Fig.11 Deployment of the tensegrity extension arm

在實驗過程中也發現，當附加索的縮短或伸長速度有所偏差時，此張拉整體伸展臂在運動過程的形狀會有所偏差，但是當運動結束，所有附加索的伸長或縮短量都達到設定值時，此伸展臂的最終狀態是相同的。這也說明了此機構運動對控制精度要求不高，易于控制。在構件尺寸發生改變或者受到外力作用時，張拉整體結構能夠通過形狀改變來達到新的平衡狀態，正是由于其這種特點，在張拉整體機構運動過程中，即使驅動有所偏差，機構也能夠在構件內力共同作用下，達到新的平衡狀態，這正是運動過程中機構形態有所偏差的原因。

6 結論

本文從臂狀張拉整體結構數學模型的建立、臂狀張拉整體結構的受力分析、驅動方案和索構件彈性化方案分析、仿真分析和實驗研究幾個方面，分析了臂狀張拉整體結構轉化為張拉整體伸展臂的方法，并對獲得的機構方案的可行性進行了仿真和實驗驗證。通過本文的分析，獲得如下結論：

1)張拉整體伸展臂能夠在附加索和彈性化的斜索與鞍索驅動下實現折展；

2)附加索可以串聯，從而減少驅動構件個數，降低控制難度；

3)張拉整體伸展臂折展狀態的高度變化量，要比其截面直徑變化量大很多，即結構的外包絡體積主要受其結構高度影響；

4)張拉整體伸展臂折展狀態的高度和外包絡體積的變化都很大，說明了臂狀張拉整體結構適宜于轉化為伸展臂結構；

5)本文通過臂狀張拉整體結構的折疊分析，獲得了驅動此結構展開的設計方案，分析方法的可行性也通過仿真和模型實驗得到證實。