基于Kalman濾波技術的超高頻變換器穩態特性分析

江心怡，陳艷峰

(華南理工大學 電力學院，廣東 廣州 510641)

2021年3月，全球能源互聯網發展合作組織對外發布了中國碳達峰、碳中和系列研究報告。其中，據《中國2030年能源電力發展規劃研究及2060年展望》預測， 2025—2030年新增電力需求將全部由清潔能源滿足，清潔能源裝機占比將大幅增加，光伏發電作為新能源發電中的重要組成，勢必會得到大力發展[1]。

目前，光伏發電多需要采用電力電子器件進行升降壓變換，而電力電子器件正沿著高頻化、小型化的趨勢發展。頻率的升高將導致變換器的損耗增加，進而影響變換器的工作效率[2-3]。超高頻(very high frequency, VHF)變換器工作頻率高，其開關元件均利用軟開關技術以減小功率損耗，且可以選用更小的電感、電容作為主電路元件，有效減小變換器的體積，提高功率密度[4]；同時，VHF變換器在周期時間內傳輸與儲存的能量減小，使瞬態響應速度得到提升[5-7]。目前已將VHF變換器應用到LED驅動系統、VRM(電壓調節模塊)、無線電力傳輸等領域[8]，若將其應用于光伏發電，必將有利于提升光伏發電的效率。

雖然VHF變換器優點眾多，但電路中存在較多的未知雜散參數，使系統對諧振點變化的敏感度較高，同時也會影響系統的工作效率，為此需要在存在未知偏差的情況下，對VHF變換器建立合理的數學模型，使其在受到干擾參數變化的情況下仍能保持較好的穩態特性。目前常見的建模方法有狀態空間平均法[9-11]、擴展描述函數法[12]、離散映射建模法[13-14]，其中：狀態空間平均法無法適應超高的工作頻率，無法描述VHF變換器中各狀態變量的諧振變化規律，僅能描繪變換器的宏觀變化趨勢；擴展描述函數法雖然能夠描述各狀態變量的變化，但較為復雜且計算量極大，不利于擴展至各類型的變換器中；離散映射建模法需要明確狀態變量在每個模態的初始狀態，而工作在軟開關模式的VHF變換器工作模態較多，且每個模態的初始條件難以確定。因此，亟待解決VHF變換器的數學建模問題。Kalman濾波技術采用最優估算理論，能夠使采集的信息與其相應真實值的誤差的方差最小[15-16]，常被用于跟蹤含有干擾的信號。將Kalman濾波器用于VHF變換器的數值建模[17]，不僅能實現信號的有效預測，且具有計算量小的優點。

本文對VHF Boost諧振變換器進行模態分析，并結合電路要求合理設計電路元件參數；隨后采用Kalman濾波技術進行數值建模；最后進行穩態特性分析，驗證Kalman濾波技術在VHF變換器中的適用性，為后續研究變換器動力學特性提供思路。

1 VHF Boost諧振變換器電路拓撲

典型的VHF Boost諧振變換器原理電路如圖1所示，由前級Φ2類逆變器和后級E類電壓型整流器級聯而成。前級電路包含電感LF、LM，開關管ST，電容CF、CM、CF；r1和r2分別為LF和LM的寄生電阻，CF的值包括ST的寄生電容，若寄生電容的大小能夠滿足電路設計要求，可無需外加并聯電容。后級電路包含電感Lr，電容Cr、Co，二極管SD和負載R；Lr的寄生電阻為r3，輸出電容Co足夠大，可將輸出電壓視為恒定值Uo。為了簡化分析過程，忽略其他儲能元件的寄生參數。

1.1 變換器的模態分析

根據ST和SD的開關狀態，系統在一個開關周期內可分為以下4種工作模態。4種工作模態對應的等效電路如圖2所示，其中：D1、D2分別為開關管ST、二極管SD的占空比，而D3和D4應滿足D1+D2+D3-D4=1的條件，為相關工作模態的占空比，fs為工作頻率。

a) 模態1 (0≤t

(1)

圖1 VHF Boost 諧振變換器的電路拓撲圖[18]Fig.1 Circuit topology of VHF Boost resonant converter [18]

圖2 VHF Boost諧振變換器的工作模態Fig.2 Working mode of VHF Boost resonant converter

b) 模態2 (D4Ts≤t

(2)

c) 模態3 (D1Ts≤t<(D1+D3)Ts)，等效電路如圖2(c)所示。此時：ST與SD均關斷；CF、CM、Cr、LF、LM和Lr之間發生多級諧振，因此電流iLF、iLM、iLr和電壓uCF、uCM、uCr均按準正弦規律變化，直到t=(D1+D3)Ts時刻，uCr增大至輸出電壓Uo，二極管SD由于受正向偏置電壓而導通，該模態結束。此階段的系統狀態方程為：

(3)

d) 模態4 ((D1+D3)Ts≤t

(4)

1.2 變換器的參數設定

若VHF Boost諧振變換器的工作頻率為fs，根據變換器的工作原理[18-19]，由Cr和Lr組成的諧振回路的頻率為fs，由CM和LM構成的諧振回路的頻率為2fs。因此，各諧振單元的工作角頻率ωs應滿足：

(5)

式中ωs=2πfs。因此，在確定工作頻率的情況下，Lr的取值可以由Cr唯一確定。Φ2類逆變器的阻抗網絡如圖3所示，Zds為其等效阻抗。根據Φ2類放大器的工作原理，Zds的2個極點分別為ωs和3ωs[19]，因此LF、LM和CM的值可以根據確定的CF和fs求解，如式(6)所示。

圖3 Φ2類逆變器的等效電路Fig.3 Equivalent circuit of class Φ2 inverter

(6)

開關管ST的占空比可以由驅動電壓uGS控制，可設占空比D1=0.5。根據變換器的模態分析，電容Cr兩端電壓uCr在D1Ts時刻諧振至零點，且在D4Ts時刻滿足電容電壓不突變，因此可得uCr應滿足以下條件：

(7)

輸出電壓紋波可近似計算為：

(8)

紋波分量小，且輸出電容Co?Cr，因此可以近似計算出D2=0.5。各占空比之間存在D1+D2+D3-D4=1的代數關系，結合D1、D2的值帶入式(7)，可以最終確定D3=D4=0.25。

利用電感Lr的能量傳遞過程計算輸出電壓Uo。即在模態1時Lr向輸出端放電，iLr線性減??；當開關管ST關斷時，電路發生頻率為fs和3fs的多級諧振，因此Lr在反向充電完畢后，經時間t=(1-D1)Ts/3將能量傳輸給輸出端，故輸出電壓

(9)

根據上述理論設計，得到變換器的各個參數，見表1。

表1 VHF Boost變換器各參數設定值Tab.1 Setting values of VHF Boost converter parameters

2 基于Kalman濾波技術的建模分析

根據電路的工作過程，可以用理想的開關函數δ(q)(t) (q=1,2)來描述ST和SD的占空比。定義開關函數：

(10)

(11)

利用開關函數，可將分段微分方程式(1)—(4)整理為統一的狀態微分方程：

(12)

矩陣A、B表達式如下:

Kalman濾波技術通過加入觀測擾動，求得采集的信息與其真實值的誤差，利用最優估算理論，求得誤差的最小方差來實現信號的有效預測，以提高建模的精確度。因此在建立等效數學模型時，還需要分析觀測值與真實值之間的關系：

Y=HX+V.

(13)

式中：H為觀測矩陣，此次需要對全部狀態變量進行觀測，因此H為6階單位矩陣；Y為狀態變量X的觀測值，由狀態變量X與觀測誤差V組成，V一般設定為均值為0，方差為R，設R=diag[0.1 0.1 0.1 1 1 1]。

因此，式(12)、(13)共同構成了基于Kalman濾波技術的等效微分方程組[20]。對式(12)、( 13)進行離散化處理，得到[21]：

(14)

式中：h為步長；k表示第k個采樣點。設步長h=16.7 ps，Kalman濾波器的迭代過程如下[22-23]。

(15)

(16)

(17)

反復迭代上述計算過程，可以得到各狀態變量的數值解，利用描點法得到相應波形圖。同時利用PSIM軟件進行電路仿真，得到相應波形圖。利用Kalman濾波技術得到的波形與仿真波形的比較如圖4所示。

利用MATLAB的擬合工具包，得到各狀態變量的表達式，如下(τ=ws(t))：

iLF=0.504 8cosτ-0.112 8sinτ-0.056 4cos 2τ+

0.009 3sin 2τ+0.091 4cos 3τ+0.038 0sin 3τ+

0.028 6cos 4τ-0.049 6sin 4τ-0.008 6cos 5τ-

0.009 3sin 5τ+0.246 5,

(18)

iLM=-0.203 5cosτ-0.025 4sinτ+0.035 2cos 2τ+

0.332 2sin 2τ+0.206 7cos 3τ+0.079 0sin 3τ+

0.052 3cos 4τ-0.097 4sin 4τ-0.014 7cos 5τ-

0.012 9sin 5τ-0.002 2,

(19)

iLr=0.504 8cosτ-0.112 8sinτ-0.056 4cos 2τ+

0.009 3sin 2τ+0.091 4cos 3τ+0.038sin 3τ+

0.028 6cos 4τ-0.049 6sin 4τ-0.008 6cos 5τ-

0.009 3sin 5τ+0.246 5,

(20)

uCF=1.173cosτ-7.758sinτ+0.041 8cos 2τ+

0.019sin 2τ+1.846cos 3τ-4.794sin 3τ-

4.142cos 4τ-2.218sin 4τ-0.757 6cos 5τ+

1.033sin 5τ+6.798,

(21)

圖4 狀態變量的波形比較Fig.4 Waveform comparisons of state variables

uCM=1.427cosτ-11.27sinτ-9.323cos 2τ+

0.986 6sin 2τ-1.434cos 3τ+3.82sin 3τ+

1.369cos 4τ+0.688 1sin 4τ+0.142 8cos 5τ-

0.173 9sin 5τ+6.248,

(22)

uCr=3.446cosτ+2.434sinτ-0.445 1cos 2τ-

2.596sin 2τ-0.595 8cos 3τ+0.673 8sin 3τ+

0.160 5cos 4τ+0.211sin 4τ+0.144 9cos 5τ-

0.062 9sin 5τ+6.404.

(23)

搭建仿真平臺如圖5所示，其中開關管與二極管的型號分別為Si7454 與 SS3H10。驅動方式采用諧振驅動電路，利用晶振LTC6905發出30 MHz頻率的方波，通過電感電容諧振電路進行電流放大。實驗波形如圖6所示。

圖5 實驗平臺Fig.5 Experimental platform

圖6(a)給出了開關管兩端的電壓uCF與驅動電壓uGS的波形圖，電壓波形趨勢與理論分析及仿真結果相似，uCF的峰值電壓約為19.1 V，為輸入電壓的3.18倍，接近Kalman濾波得到的結果21.3 V，該值比仿真結果略低，主要原因可能是開關管寄生電容的數值與器件廠家提供的數據表有一定偏差，且難以在實驗過程中測量，同時，電路中存在

圖6 實驗波形Fig.6 Experiment waveforms

寄生電阻承擔了部分電壓，使開關管兩端的電壓低于理論值；由于開關管閾值電壓和密勒電容的影響，驅動電壓波形為具有直流偏壓的類正弦波，占空比約為50%，符合理論分析的要求。同時測量的驅動電壓波形為開關管門極寄生電阻前的電壓，與實際的驅動電壓存在一定的相位偏差，在示波器中具體表現為驅動電壓uGS存在一定的相位滯后。

圖6(b) 給出了諧振電容電壓uCr與輸出電壓Uo的電壓波形，該波形與理論和仿真得到的結果基本相似，諧振電容電壓uCr為9.8 V，與Kalman濾波得到的9.58 V結果相近，兩者存在偏差的主要原因為電路中存在寄生電阻。且受限于實驗室儀器的精度與元件生產過程中產生的誤差，uCr波形與仿真存在一定的波形畸變。輸出電壓Uo為8.5 V，由于輸出整流二極管存在約0.7 V的導通電壓降落，因此該結果與理論和仿真得到的結果在誤差范圍內相符合。

值得注意的是，由于工作頻率高，目前無法觀察到各支路的電流波形，且實驗結果與所提出的方法和仿真結果之間不可避免地存在誤差。這是因為一方面由于寄生參數的影響，樣機很難在最佳諧振點運行；另一方面，寄生參數延遲了開關器件的開通和關斷動作，因此實驗電路實際上并沒有實現零電壓開關。

3 穩態特性分析

利用PSIM仿真軟件可以對各狀態變量進行傅里葉變換，確定狀態變量中各諧波分量的比例，如圖7所示，各狀態變量主要由直流分量、基波分量以及5倍頻內的高次諧波分量構成。

圖7 各狀態變量的頻譜分析Fig.7 Spectral analysis of state variables

利用式(18)—(23)計算建模得到的狀態變量主分量的大小，與PSIM傅里葉變換結果進行對比，見表2與表3?？梢钥闯?，利用Kalman濾波獲得的電流電壓分量均與PSIM模擬的結果吻合得很好，這意味著利用Kalman濾波得到的近似解足夠精確。由于Kalman濾波通過迭代更新得到解，這一過程勢必導致一定時延，在圖4中表示為一定的相移，但由于數值精確度較高，且相移角度小，在未來閉環設計中考慮相移因素便可以進一步縮小這一缺陷帶來的影響。

表2 電流變量的諧波比較Tab.2 Harmonic comparisons of current variables

表3 電壓變量的諧波比較Tab.3 Harmonic comparisons of voltage variables

為觀測該電路的穩壓效果，將一個幅值為1 V、頻率為500 kHz的擾動分量引入輸入電源中，觀測輸出電壓與開關管兩端電壓的波形變化。圖8(a)所示為輸出電壓Uo與開關管電壓uCF隨輸入電壓變化的波形。在不加入閉環控制時，即使在擾動幅度占輸入電壓的16%，且電路不存在大容量的濾波電容的情況下，輸出電壓的電壓波動Δv<0.05 V，擾動幅度為輸入電壓的8‰，開關管電壓uCF峰值為25 V，電壓波動Δv<3.5 V，說明該電路具有良好的穩壓效果，利用本文提出Kalman濾波方法能夠實現有效跟蹤電壓的變化情況。

圖8 輸入、輸出電壓波形對比Fig.8 Input and output voltage waveform comparisons

4 結束語

本文首先對含有寄生參數的VHF Boost諧振變換器進行模態分析，并利用近似關系確定各個開關的導通時間，同時選定主電路各儲能元件的參數值；其次利用Kalman濾波技術在變換器含有變化干擾參數的情況下保持較好跟蹤特性，將濾波計算應用于VHF Boost諧振變換器的建模中，不僅能夠實現良好的跟蹤特性，而且具有計算量小、操作簡單的優點；最后對VHF Boost電路進行穩定性分析，證明該電路具有較好的電壓穩定的特點，且利用Kalman濾波進行建?？尚行则炞C。本方法可以推廣到其他類型的VHF變換器的建模中，為VHF變換器數學建模與動力學特性研究提供思路。