中考數學應用題的類型與解題策略探尋

福建古田縣玉田中學（352200） 余 杰

應用題是中考數學的必考題型，主要考查考生的閱讀理解能力、分析問題與解決問題的能力。解答應用題必須先讀懂題意，再建模，進而解決問題。應用題有哪些基本類型呢？我們應該采取何種解題策略呢？

一、方程（組）與不等式（組）模型

方程（組）和不等式（組）是初中數學的核心內容，其不僅是中考核心考點，而且也是解決代數、幾何及實際問題的重要工具。在中考中，這類問題主要涉及工程問題、行程問題、打折促銷問題、增長率問題等。

［例1］振華中學初一（3）班去某一農業生態園參加社會實踐活動，該生態園有塊空地種植蘋果和橘子兩種水果，活動結束后，吳斌編寫了一道數學題：在某一生態園中，經營者是甲、乙兩戶果農，其種植面積與賣水果總收入見下表。（假設不同種植戶種植的同種水果每畝產值相等）

（1）蘋果與橘子的每畝收入分別是多少？

（2）甲、乙兩戶果農計劃合租30 畝農田來種植蘋果與橘子。經過市場調查，要求蘋果的種植面積大于橘子的種植面積（兩種水果的種植面積都是整數畝）。當地政府對種植蘋果的果農給予補貼，種植蘋果的面積不超過15 畝的部分，每畝補貼100元；超過15 畝但不超過20 畝的部分，每畝補貼200元；超過20畝的部分每畝補貼300元。為了讓總收入不低于127 500元，他們應如何確定方案？

分析：（1）設蘋果每畝的平均收入為x元，橘子每畝的平均收入為y元，

（2）設種植蘋果m畝，那么種植橘子(30-m)畝，于是m＞30-m，即m＞15。

當15 ＜m≤20時，他們的總收入為

w=4 000m+4 500×(30-m)+15×100+(m-15)×200 ≥127 500，解得15 ＜m≤20。

當m＞20時，他們的總收入為

w=4 000m+4500 ×(30-m)+15 × 100+5 ×200+(m-20) × 300 ≥127 500。

由此解得m≤20，不合題意。

綜上所述，種植方案如下：

點評：這類問題一般有兩問，第一問只需根據題意列出方程或方程組，然后解方程即可得到答案，而第二問一般與不等式有關，建立不等式后還要注意自變量的取值范圍。這類問題一般出現在方案設計和最優方案選擇型的問題中，難度一般。

二、函數、方程與不等式模型

函數、方程和不等式在數學中是密不可分的。在函數類應用題中，通?？疾楹瘮?、方程和不等式的綜合應用。對于這類應用題，一般可先建立方程或不等式，再建立函數關系，最后確立自變量的取值范圍。建立方程或不等式是解決這類應用題的基礎，而確定自變量的范圍則是解題的關鍵。

［例2］有一種成本價為50 元的商品在一大型商場試銷，規定在試銷期間單價不低于成本價，且利潤不得高于40%。在銷售幾天后有人發現，這種商品的銷售量y與銷售單價x之間存在著一次函數關系（如圖1所示）。

圖1

（1）請求出銷售量y（個）關于銷售單價x（元）的解析式。

（2）如果該商場銷售這種商品的利潤是Q元，那么利潤Q（元）與銷售單價x（元）之間有怎樣的關系？試用函數式表達；當x為何值時，該商場獲利最大？最大利潤是多少？

（3）如果該商場試銷該商品所獲利潤不低于600元，請求出銷售單價x的取值范圍。

故所求函數的解析式是y=-x+120。

（2）由題意知，利潤Q與銷售單價x的函數解析式為Q=(x-50)(-x+120)=-x2+170x-6 000，

Q=-x2+170x-6 000=-(x-85)2+1 225。

因為a=-1 ＜0，故對稱軸左邊的y的值隨著x值的增大而增大，所以x=70 時，這個商店獲利最大，獲得的最大利潤是Q=1 000元。

（3）由題意知，Q=-(x-85)2+1 225 ≥600，解得60 ≤x≤110。

點評：本題雖然考查知識點較多，但解決問題的重點還是在于根據題意列式。

三、函數模型

函數模型主要包括一次函數模型、二次函數模型和分段函數模型。利用函數模型可以解決許多問題，如最值問題、決策問題等。函數類應用題的解題應明確兩點：一是如何建模，二是如何根據自變量的實際意義和函數的性質做出正確決策。

［例3］人民商場為某殘疾人福利廠代銷一種新產品，當該新產品每件售價定為260 元時，每月銷售了45 件。該商場為了獲得更高的利潤，計劃以降價形式搞促銷。商場領導走訪市場并分析發現：月銷售量與售價成一次函數關系，且滿足下表所示的對應關系。綜合考慮各種因素，每售出一件新產品，共需支付廠家及其他費用100 元。設當每件定價為x元時，該商場的月利潤為y元。

（1）當每件定價為220 元時，試計算此時的月銷售量；

（2）請求出y與x之間的函數表達式；

（3）人民商場要獲取最大月利潤，新產品的單價應定為多少？

（4）王灣說：“如果月商場利潤最大，那么月銷售額也最大?！边@種說法正確嗎？請說出你的觀點。

分析：（1）月銷售量與售價成一次函數關系，設銷售量為p=kx+b，將（250，52.5）和（240，60）代入，就可算得k=-0.75，b=240，所以p=-0.75x+240。于是當x=220 時，p=-0.75 × 220+240=75，所以當每件售價是220元時，此時的月銷售量為75件。

（2）由題 意得y=(x-100)(-0.75x+240)，即+315x-24 000。

（3）y=-+315x-24 000=(x-210)2+9 075。

因為x＞100，所以該店要獲得的月利潤最大，該新產品的單價應定價為210元。

（4）王灣說得不正確。原因是當月利潤最大時，x等于210 元，而對于月銷售額W=x[45+（260-x)÷10×7.5]=-(x-160)2+19 200 來說，因為x＞100，所以當x等于160元時，月銷售額W最大。因為當x等于210元時，月銷售額W不是最大，所以王灣的說法不正確。

點評：本題考查一次函數與二次函數的實際應用。確立函數關系式一般有兩種方法，一種是待定系數法，如第（1）問；另一種是直接根據題意寫出函數關系式，如第（2）問。對于最值問題，建立二次函數模型后，可利用配方法和二次函數的性質結合自變量的取值范圍來求。

四、直角三角形模型

對于生活中的一些測量問題，一般可通過建立直角三角形模型來求解，在求解過程中經常會用到幾何知識，如三角形全等、三角形相似等。

（一）仰角俯角問題

仰角俯角主要在測量大型建筑物的高度時應用，因為大型建筑物的頂部一般不易到達，但是在地面某個位置可以看到它，利用測角儀測出此時的仰角，以及它與建筑物的水平距離，就可以求得它的高度，這里一般應用正切函數。無論是仰角還是俯角，都是指視線與水平線的夾角。

［例4］如圖2，一旗桿EF位于樓AB與樓CD之間，從AB頂部A點處經過旗桿頂部E點恰好看到樓CD的底部D點，且俯角為45°，從樓CD頂部C點處經過旗桿頂部E點恰好看到樓AB的G點，BG=1米，且俯角為30°，若樓AB高為20米，請求出旗桿EF的高度。（≈1.73，計算結果精確到1米）

圖2

分析：過點G作GP⊥CD于點P，與EF相交于點H。設EF=x米，則依據題意可知，FH=GB=1 米，EH=EF-FH=（x-1)米。又因為∠BAD=∠ADB=45°，所以FD=EF=x米，AB=BD=20 米，在Rt△GEH中，∠EGH=30°，于是tan ∠EGH=即解得x=≈8 米。故旗桿EF的高度大約是8米。

點評：在這類問題中，往往圖中沒有出現直角三角形，這時應先考慮添加輔助線，作有關線段的垂線，將斜三角形問題轉化為直角三角形問題。解答這類問題一般用到勾股定理、三角函數的定義以及平面幾何的相關知識。

（二）坡度坡角問題

斜坡有一定的傾斜度，這個傾斜度就叫作坡度。如何從數值區分兩個坡面的傾斜度呢？我們用坡面的鉛直高度與水平寬度的比，作為坡面的坡度，同時把坡面與水平面的夾角，叫作坡角。斜坡的坡面距離是可以測量的，但是求小山的鉛直高度需要用到坡角，或者當已知斜坡的坡度時，也可以算出坡角，從而算出其他相關的量。

［例5］2020年5月27日，2020珠峰高程測量登山隊成功登頂珠穆朗瑪峰完成峰頂測量任務。受此消息鼓舞，某數學小組開展了一次測量小山高度的活動。如圖3，該數學小組從地面A處出發，沿坡角為53°的山坡AB直線上行350 米到達B處，再沿著坡角為22°的山坡BC直線上行600 米到達C處，求小山的高度CD及該數學小組行進的水平距離AD（結果精確到1 米）。（參考數據：sin22° ≈0.37，cos22° ≈0.93，sin53° ≈0.8，cos53° ≈0.6）

圖3

分析：如圖4 所示，過點B作CD的垂線BE，作AD的垂線BH，垂足分別是點E、H，根據三個角是直角的四邊形是矩形，得四邊形BEDH是矩形，所以DE=BH，BE=DH，在直角△BCE中，BC=600米，∠CBE=22°，根據正弦定義，得CE=BC·sin22° ≈600 × 0.37=222（米），根據余弦定義得BE=BC·cos22° ≈600 × 0.93=558（米），所 以DH=BE=558（米）。

圖4

因為AB=350米，所以在Rt△ABH中，∠BAH=53°，由正弦定義得BH=AB·sin53°≈350×0.8=280（米），由余弦定義，得AH=AB·cos53°≈350×0.6=210（米），所以CD=CE+DE=CE+BH=222+280=502（米），AD=AH+DH=210+558=768（米）。

點評：本題相當于把四邊形ABCD切分為一個矩形和兩個直角三角形，然后分別解兩個直角三角形。在每個直角三角形中，利用正弦或余弦定義，求得對應線段的長，從而求得總長度。

從以上的實例分析可以看出，解應用題，首先應找準數學模型，建立數學模型，解出有關數據，再將其還原成實際問題，最后得出結論，回答問題。