一類帶白噪聲和Lévy跳躍的營養-浮游植物模型的分析

譚 楊， 郭子君， 楊 林， 王海揚

(1. 銅仁職業技術學院， 貴州 銅仁 554300；2. 華南農業大學 理學院應用數學研究所， 廣東 廣州 510275)

0 引 言

浮游生物生長在湖泊、 河流及海洋中， 其中的浮游植物是指在水中以浮游方式生活的微小植物， 通常浮游植物就是指浮游藻類. 浮游植物直接或間接地是魚類等水生動物的食物來源， 在人類的水產經濟活動中起著重要的作用[1]. 隨著世界經濟的發展， 人類活動產生的大量廢棄物流入水體， 導致水體的富營養化， 這樣的結果導致了藻華現象的出現， 即浮游植物在短時間內爆發式的增長. 浮游植物自身巨大的耗氧量和有機物以及天氣的變化都可能導致大量藻類死亡， 從而導致水質迅速惡化到變黑甚至發臭， 影響了魚類資源的自然循環， 也會造成巨大的經濟損失[2-3].

近些年來， 利用數學模型的方法研究浮游生物群落的發展規律成為生物數學的一個重要課題， 已經建立了一些浮游生物系統的數學模型[4-6]. 例如， 文獻[4] 研究了幾類營養-浮游植物模型， 分析了產毒浮游植物(Toxin-Producing Phytoplankton, TPP)釋放的有毒化學物質季節性反復出現的水華現象的動力學性質； 文獻[5] 研究了一類具有非線性互抑制項和反饋控制的非自治化感作用浮游植物模型， 得到了系統持續存在及滅絕的一些充分條件； 在文獻[6]中， 作者提出了一類具有年齡結構和非局部效應的水柱中浮游植物成熟、 生長和空間分布的反應擴散模型， 其結果表明浮游植物的死亡率和成熟時間都會影響模型的動力學特性. 本文研究的模型是基于文獻[4]中的一個確定性模型(1).

(1)

該模型假設該項浮游植物本身不產生毒素， 而環境中的毒素(其他浮游植物產生)對系統中的浮游植物有影響. 其中，x(t)和y(t)分別為營養物質和浮游植物在t時刻的數量或密度.其他常數的意義如下：a為外部營養物質流入的速率；b為營養物質的吸收速率；β為接觸率；c(c

在現實環境中， 種群的發展不可避免地會受到隨機因素的干擾， 環境隨機性影響著種群發展的波動(如持續存在或滅絕). 因此， 許多研究者在確定性模型中引入隨機白噪聲來描述隨機噪聲的影響[7-10]. 文獻[7]研究了隨機干擾下的具有間接影響的浮游生物群落捕食模型的長期動態， 證明了在給定任何非負的正初始條件下， 模型的解是非負有界的， 并利用經典隨機動力系統理論， 證明了文中的隨機系統具有唯一的隨機吸引子； 文獻[8]利用隨機模型研究了產毒浮游植物對種群持續性的影響， 證明了在隨機模型中， 無論是輸入營養物濃度較大或較小， 產毒浮游植物都可以終止有害藻華的發生； 在文獻[9]中， 作者研究了一類基于模型(1)的隨機營養-浮游植物模型， 得到了依平均的滅絕和持續存在的充分條件， 并研究了遍歷平穩分布及周期解的存在性； 文獻[10] 也基于確定性模型(1)提出了具有白噪聲及電報噪聲的隨機模型， 得到了滅絕性及遍歷平穩分布的充分條件. 本文的研究不同于文獻[9-10]， 考慮了模型(1)的接觸率β受到的白噪聲干擾：β→β+σB(t)， 其中，σ為白噪聲的干擾強度，B(t)為標準布朗運動， 模型為

(2)

眾所周知， 模型(2)的解是連續的， 但該模型無法解釋遇到突然或其他嚴重擾動時的現象， 如熱沖擊、 壓力沖擊和催化劑等因素的突然加入[11]. 為了描述這類環境噪聲， 目前使用的比較多的方法就是用帶跳躍的隨機微分方程來研究種群模型的動力學行為[12]. 一般來說， 跳躍時間總是隨機的， 跳躍的等待時間與Lévy跳躍相似， Lévy過程本質上是具有平穩和獨立增量的隨機過程. 目前， 這類的研究也較多， 例如： 文獻[13]研究了一類具有Lévy跳躍的Beddington-DeAngelis型功能反應的捕食-被捕食模型， 得到了滅絕、 依平均不持久及弱持續存在的充分條件， 并證明了Lévy跳躍的變化能夠影響系統的漸近性質； 在文獻[14]中， 作者分析了具有Allee效應的隨機種群模型的漸近行為， 并給出了該擾動模型漸近行為的判定條件； 文獻[15]研究了一類具有Lévy跳躍和白噪聲干擾的飽和發病率和雙重傳染病的隨機SIS流行病模型， 得到了兩種傳染病平均滅絕和持續的充分條件； 文獻[16]研究了一類基于白噪聲及Lévy跳躍的隨機SIRS模型， 得到了基本滅絕及持久的充分條件， 并證明了大的噪聲強度能夠抑制疾病爆發的結果. 本文將Lévy跳躍引入隨機模型(2)， 假設接觸率系數β又受到Lévy跳躍的擾動， 得到模型

(3)

下面給出本文的一個必要假設：

本文證明了對于任意給定的整初始值， 模型(3) 存在唯一的全局正解； 給出了兩個浮游植物滅絕的充分條件； 研究了浮游植物依平均持續存在的充分條件； 給出了所得結果的數值模擬.

1 模型解的存在及其唯一性

為了研究模型(3)的動力學性質， 首先要考慮模型的解是否全局存在， 是否為正. 下面證明模型(3)的解是全局正解.

證明模型(3)的系數滿足局部利普希茨條件， 則在區間[0,τe)上存在唯一的局部解(x(t),y(t))， 其中τe為爆炸時刻[14-15].若能證明τ∞=∞ a.s.， 則該局部解是全局存在的. 定義停時

P{τk≤T}≥ε，k≥k1.

(4)

對任意k， 當t≥τk時，

d(cx+by)=

[ca-ξ(cx+by)]dt，

其中,ξ=min{u，ε-m}， 因為b>c，ε>m， 則

dV(x,y)=LV(x,y)dt-bσydB(t)+cσxdB(t)-

(5)

其中，

LV(x,y)=

又cx(t)+by(t)≤K， 于是

(6)

由假設A可知1-bγ(v)y>0， 再由泰勒公式可得

-cln(1-bγ(v)y)-bcγ(v)y=

同理可得

-bln(1+cγ(v)x)+bcγ(v)x=

因此

(7)

對式(5)兩邊從0到ζk∧T積分可得

(8)

對式(8)兩邊取期望可得

EV(x(τk∧T),y(τk∧T))≤EV(x(0),y(0))+

K0E(τk∧T)≤EV(x(0)，y(0))+K0T.

(9)

對任意k≥k1， 令Ωk={τk≤T}， 則由式(4)可知P(Ωk)≥ε， 于是對所有的ω∈Ωk， 使得x(τk，ω)或y(τk，ω)等于k或1/k， 再由ε>0的任意性有

V(x(0)，y(0))+K0T≥

E[IΩk(ω)V(x(τk∧T)，y(τk∧T)]≥

其中，IΩk是Ωk的示性函數.令k→∞， 則有

∞>V(x(0)，y(0))+K0T=∞，

所以， 必然有τ∞=∞ a.s.， 證畢.

2 滅絕性

在研究生物數學模型的動力學性質時， 主要關心的是如何調節有害種群的發展動態， 使有害種群長期消失. 本節研究浮游植物滅絕的充分條件.

證明由It公式有

dlny(t)=

(10)

對式(10)兩邊從0到t積分并除以t可得

(11)

由泰勒公式有

因此,

(12)

其中

(13)

因此， 對式(13)兩邊求極限可得

(14)

則

于是

證畢.

注情形1說明只要隨機干擾的強度足夠大， 必定造成浮游植物種群將依指數趨于滅絕.

3 持久性

在生物系統模型的研究中， 持久性是最重要的性質之一. 本節研究浮游植物依平均持續存在的充分條件. 為此， 首先引用如下定義：

定義1[20]系統(3)被稱為依平均持續存在， 若

定理3若假設A和如下條件

成立， 則系統(3)將依平均持續存在.

證明由式(11)可知

則由泰勒公式有

-ln(1+cγ(v)x)+cγ(v)x=

因此,

(15)

其中，

又因

則

(16)

式(16)結合式(15)可得

(17)

則有

(18)

式(18)兩邊取極限可得

(19)

證畢.

4 數值模擬

采用類似文獻[19]的方法模擬上述得到的結果.

1) 令a=3，β=0.3，b=1，c=0.9，ε=2，u=1.2，m=0.1，μ=0.6，θ=0.01，σ=0.3，γ(v)=0.15，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8， 則

即定理2的情形1滿足， 則浮游植物種群趨于滅絕 (見圖 1).

圖 1 浮游植物種群趨于滅絕的情形1

2) 令a=3，β=0.5，b=1，c=0.9，ε=2，u=1.2，m=0.1，μ=0.6，θ=0.01，σ=0.15，γ(v)=0.15，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8， 則

即定理2的情形2滿足， 則浮游植物種群趨于滅絕 (見圖 2).

3) 令a=2，β=0.5，b=1，c=0.9，ε=0.4，u=0.6，m=0.1，μ=6，θ=0.1，σ=0.1，γ(v)=0.05，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8. 則

圖 2 浮游植物種群趨于滅絕的情形2

即定理3的條件滿足， 則浮游植物種群依平均持續存在(見圖 3).

圖 3 浮游植物種群依平均持續存在

4) 令a=1，b=1，β=0.8，c=0.6，ε=0.4，u=0.1，m=0.2，μ=0.6，θ=0.02，σ=0.6，γ(v)=0.5，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8. 如圖 4 所示， 確定模型中浮游植物持續存在而隨機模型中是滅絕的.

圖 4 浮游植物種群在確定性模型中持續存在而在隨機模型中趨于滅絕的情形

5) 令前一種模擬4)中的白噪聲強度為σ=0.3 而其他值不變， 如圖 5 所示， 確定模型和隨機模型中的浮游植物種群均持續存在.

圖 5 確定模型和隨機模型中的浮游植物種群均持續存在

5 結 論

本文研究了隨機因素干擾下具有Lévy跳躍的營養物質-浮游植物模型， 使用了Lévy跳躍過程來模擬突然的環境擾動對營養物質與浮游植物的接觸率的影響. 定理1保證了模型理論解的存在唯一性； 定理2表明， 在一些簡單的假設下， 大強度的白噪聲及Lévy噪聲有可能造成浮游植物的滅絕. 另外， 定理3得出了營養物質與浮游植物種群依平均持續存在的充分條件.