土壓作用下面層彎矩和撓度計算方法研究

汪學清汪壯壯王建華

1.中國礦業大學(北京)力學與建筑工程學院,北京 100083;2.深海礦產資源開發利用國家重點實驗室,湖南長沙 410012

噴射混凝土施工是將混凝土在高壓空氣作用下高速噴向土層表面形成面層,對基坑邊坡土體起臨時保護和加固作用的一項基坑支護技術,具有工藝簡單、施工靈活、快速高效等優點[1-3]。 隨著經濟的發展,該項技術在大量的地下工程中得到了廣泛的應用。 雖然國內外對其已進行一些研究,但對面層的工作機理和受力分析的研究還比較少,沒有形成一套較完整的理論體系。

面層的主要作用有承受水土壓力、土釘、錨桿端部拉力、地面超載引起的荷載以及限制土體坍塌等,所以對面層的受力分析和設計非常重要。 現行規范中面層的施工和設計方法多采取經驗方法,將面層設計按構造處理[4-6]。 德國有的工程按85%主動土壓力設計永久支護面層,法國提出按土釘拉力30% ～40% 設計面層[7]。 王立峰等[8-9]把土釘墻面層簡化為文克爾地基上的有限長梁,通過結構力學方法推導了土釘墻面層位移和內力的解析解,發現面層的位移和彎矩隨基坑開挖深度的增加呈現出中間大兩頭小的分布特征。 楊茜等[10-11]針對止水帷幕與土釘聯合支護技術,提出了可用無限長彈性地基梁模型分別對面層水平和豎直兩個方向的橫截面內力進行計算,并通過機動位移確定外力矩的分析方法推導了面層內力的計算公式。 季玉海[12]根據彈性梁理論推導出支護面層的計算公式,并通過實例對面層進行了強度驗算和設計。 成峰等[13]在提出有效下滑力概念的前提下,結合增量法對滑楔平衡法進行改進,通過增量法+滑楔平衡法這種復合型算法計算得出土釘面層受力的結論,并與實測值進行了對比驗證。 何江飛[14]基于彈性地基梁的理論將面層簡化成鋼筋混凝土板模型,通過混凝土結構設計原理計算鋼筋混凝土板彎曲破壞和沖切破壞的極限承載力,推演出面層的受力情況,并利用有限元軟件ADINA 建立面層、土體和土釘相互作用的模型,探討了面層的作用機理,驗證了所提出面層計算方法的正確性和合理性。趙勇[15]結合某微型樁復合土釘墻基坑支護工程,將面層簡化為兩對邊簡支的矩形板彎曲模型,計算了面層在土釘集中力和土體側向壓力共同作用下的彎矩和剪力。

上述文獻中,有的將面層轉化成彈性地基上的有限或無限長梁來考慮,這忽略了面層的整體性且推導的公式計算過于復雜,不宜工程使用;有的雖考慮了面層的整體性,將其簡化成混凝土板,卻僅僅提及了面層受力計算方法的理論依據,沒給出實際工程面層設計所需的一般公式。 本文針對噴射混凝土這種基坑支護形式,研究支護面層在后方土壓作用下的內力和變形的計算方法。 基于薄板小撓度彎曲理論和一定的假設條件及邊界條件,推導了適合實際工程計算面層撓度的簡單公式,以及面層的橫向彎矩和縱向彎矩一般公式。 運用推導的公式計算某基坑工程中面層的撓度值和彎矩值,并將理論計算值與FLAC3D數值模擬值進行比較,驗證了該公式的有效性,為類似基坑工程面層的設計提供借鑒。

1 薄板彎曲理論

板厚與板面內最小特征尺寸之比在1/80 ～1/5之間的板稱為薄板[16]。 對于薄板,當全部外荷載作用于中面而不發生失穩現象,可以將其作為平面應力問題考慮;當全部外荷載都垂直于中面時,板主要產生彎曲變形。 由于薄板的厚度遠小于薄板的平面尺寸,所以與梁彎曲的初等理論相似,完全可以略去某些非重要因素而引用一些能夠簡化理論的假設[17]:

(1) 變形前垂直于薄板中面的法線在薄板變形后仍保持垂直。

(2) 垂直于薄板中面方向的正應力σz在計算應變時忽略不計。

(3) 薄板發生彎曲變形時,中面內各點只有垂直于薄板z方向位移,即撓度w,而無x和y方向的位移u和v。

滿足上述3 條基本假設,根據薄板小撓度彎曲理論,四邊簡支的矩形薄板邊長分別設為a和b,受到荷載q(x,y)的作用,如圖1 所示,其彈性力學邊界條件的聯立微分方程組為式(1)。 根據萊維重三角級數解,薄板撓度w表達式可以寫成式(2),不難驗證,式(2)滿足了上述所有的邊界條件。

圖1 四邊簡支的矩形薄板Fig.1 Rectangular sheet simply supported on four sides

式中,m和n均為正整數;Amn為系數項。

式(2)除了滿足邊界條件外,還需滿足薄板彎曲的基本方程,又稱彈性曲面微分方程[式(3)],故將式(2)代入微分方程式(3)得到級數方程式(4),此時,系數Amn為求出具體撓度表達式的關鍵未知量。

式中,D為薄板的彎曲剛度;▽為拉普拉斯算子。

將式(4)等號左邊的級數項看成q(x,y)的展開式,將其等號兩邊同乘,然后分別對x和y從0 到a和從0 到b積分,并利用式(5)、式(6)三角函數的正交性即可得到系數Amn的表達式(7)。

將式(7)代入式(2),即可得出撓度w的具體表達式,繼而根據式(8)和式(9)可以求出薄板的橫向彎矩Mx和縱向彎矩My。

式中,μ為薄板的泊松比[17]。

2 一般公式的推導

為滿足彎曲變形的要求,本文研究的基坑面層需滿足以下的假設條件:

(1) 面層為均質線彈性材料。

(2) 面層滿足薄板的基本特征,即面層厚度與面層的短邊的比值在1/80 ～1/5 之間。

(3) 面層與基坑邊坡土體為四邊簡支的聯結方式。

(4) 面層垂直于基坑底面,且只考慮垂直于面層的側向土壓力作用。

基坑由于每次開挖均會造成開挖面的變化,而土壓力的大小和分布范圍也隨開挖面變化,在此僅討論基坑開挖噴射混凝土施工完畢后面層的受力狀態。為給出計算面層撓度和彎矩的一般公式,同樣設面層長為a,寬(沿基坑深度方向)為b,計算所采用的坐標系與圖1 一致。 根據庫倫土壓力理論,沿基坑水平向同深度處的土壓力均相等,此時面層所受的荷載q(x,y)可以看成只與y有關的線性函數。 在土的黏聚力c可忽略的情況下,荷載可以寫成式(10)。

式中,γ為土的重度;φ為土的內摩擦角;y為土層深度。

將土壓力荷載q(x,y)代入式(7)可得到系數Amn的一般顯示表達式(11),再將得到的系數Amn代入撓度表達式(2),即可求得面層在土壓力作用下的撓度一般公式(12)。 由于式中含有級數項求和,不方便工程計算使用,因此需進行合理的簡化。

式中,m=1,3,5,…;n=1,3,5,…;D0為面層的彎曲剛度。

在實際工程中,面層的設計往往更關注其最大撓度值。 根據面層撓度計算式(12)不難看出,最大撓度發生在面層的中點,即x=a/2,y=b/2 處。 由于式(12)中級數項收斂很快,計算可知第二項值為第一項的1/729,第三項值為第一項的1/15 625,往后每項依次減小,故只保留第一項作為撓度的計算值。因此,面層在土壓力下任意一點的撓度計算可以簡化為

面層最大撓度的計算公式為

式中,E0為面層的彈性模量;δ為面層的厚度;μ0為面層材料的泊松比。

同理,將式(12)代入彎矩表達式(8)和式(9),同樣級數項只取第一項,即得到面層任意點處x和y方向的彎矩計算式(16)和式(17)。

3 數值模擬

3.1 工程概況

某6 m×6 m×6 m 的小型基坑工程采用噴射混凝土支護形式。 基坑每開挖1.5 m 對基坑邊坡土體進行一次噴射混凝土層施工,施工完成后基坑的支護面層與基坑底面幾乎垂直。 采用的噴射混凝土強度等級為C30,支護面層厚度約為0.2 m。 基坑土層主要為砂土,土層及相關材料的物理力學參數見表1。

表1 材料物理、力學參數Table 1 Physical and mechanical parameters of the materials

3.2 數值分析

采用有限差分數值軟件FLAC3D對該基坑工程進行模擬。 土層采用的是實體(Zone)單元,底邊固定,約束前后左右面的法向位移,頂邊為自由面。 由于實體單元在軟件后處理中無法提取彎曲應力,故噴射混凝土面層選用殼(Shell)單元來代替。 用約束面層四周邊緣的法向位移及四個角點處y、z方向的位移,來近似模擬面層四邊簡支的邊界條件,計算準則采用Mohr-Coulomb。 模型計算前在面層上布置監測點,各點的坐標分別為面層中心點O(0,3 m,3 m)、1(0,3 m,4.5 m)、 2(0,4.5 m,3 m)、3(0,3 m,1.5 m)、4(0,1.5 m,3 m)、5(0,4.5 m,4.5 m)、6(0,4.5 m,1.5 m)、7(0,1.5 m,1.5 m)、8(0,1.5 m,4.5 m),如圖2 所示。 計算后通過Fish 命令查看面層各個監測點的撓度值和彎矩值,將其與推導的理論公式計算值進行比較。

圖2 監測點布置Fig.2 Layout of monitoring points

圖3 為面層上各點的撓度云圖。 根據任意點撓度計算式(13)的結構形式可知,撓度值的大小取決于分子的三角函數項。 因此,當兩三角函數均取1 時,撓度值最大,當任意一個三角函數取0 時,撓度值即為0。 從幾何角度看,凡過面層中心點O的水平線、豎直線及45°斜直線上關于點O對稱坐標位置處的撓度值應相等,且中心點O處撓度值最大,圍繞著中心點O向面層邊界撓度逐漸減小到零。 這與數值模擬得到的面層撓度分布規律基本一致。

圖3 面層撓度云圖Fig.3 Deflection cloud diagram of surface layer

由于該基坑工程面層的長度a與寬度b相等,所以Mx、My表達式相同,計算出的彎矩值相等。 經數值模擬發現,面層彎矩Mx和My云圖也基本相同(圖4),進一步證明了理論計算公式的正確性。 從彎矩計算公式的形式上看,彎矩的分布主要取決于式中正弦函數乘積項的取值,而彎矩云圖也基本符合公式的計算規律。 面層各監測點撓度和彎矩隨時間步的監測曲線如圖5、圖6所示。 可以看出,撓度值和彎矩值均隨著時間步先增大后減小,并最終穩定在某一數值保持平衡。 提取模型計算平衡后的撓度值和彎矩值,并將其與推導的公式計算值對比分析。 各監測點的撓度及彎矩的計算值和模擬值以及兩者之間的相對誤差見表2 和表3。 對比發現,撓度理論計算值與數值模擬值基本接近,最大差值為1.07 mm,其余監測點誤差均在1 mm 以內,彎矩的理論計算值和數值模擬值誤差均在20% 以內。 而在工程實際中,關注的是面層的最大撓度和最大彎矩值,通過理論計算和數值模擬結果對比發現,最大撓度和最大彎矩的誤差分別為6% 和13% ,滿足規范中誤差不超過15% 的要求。

表2 面層各點撓度的計算值和模擬值Table 2 Calculation and simulation values of the surface layer deflection

表3 面層各點彎矩的計算值和模擬值Table 3 Calculation and simulation values of the surface layer bending moment

圖4 面層彎矩云圖Fig.4 Bending moment cloud diagram of surface layer

圖5 撓度監測曲線Fig.5 Deflection monitoring curves

從數值模擬結果可以看出:

(1) 面層的撓度、彎矩均是從中點向邊緣逐漸變小的,中點附近處撓度和彎矩最大,面層四周邊緣處撓度和彎矩基本為零,這與推導的公式計算結果規律一致。

(2) 數值模擬值與理論計算值得到的撓度和彎矩基本相近。 撓度誤差最大值為1.07 mm,最小只有0.02 mm,平均誤差為0.5 mm,而最大撓度值兩者之間相差0.5 mm,這完全滿足工程上的精度要求;彎矩誤差在0 ～20% 之間,最大彎矩值兩者誤差為13% ,平均誤差為12% 。 誤差可能與模型網格劃分、運算過程中數值迭代產生的誤差及計算公式忽略的級數項等因素有關。

4 結 論

(1) 利用薄板小撓度彎曲模型對噴射混凝土支護面層的內力和變形進行分析計算是可行的。

(2) 通過理論推導,得到了主動土壓力下面層任意位置處撓度及x與y方向彎矩值的一般表達式,并用FLAC3D驗證了公式的有效性,最大撓度和彎矩的計算值與模擬值之間誤差分別為6% 、13% 。

(3) 推導的式(15) ～式(17)可用于類似基坑支護工程面層的內力和變形計算,為面層的設計提供參考。