地球磁層中合聲波的掃頻機制研究

滕尚純，陶 鑫

1 同濟大學海洋與地球科學學院，上海 200092

2 中國科學技術大學地球和空間科學學院，合肥 230026

0 引言

合聲波是行星磁層中一種常見的哨聲模式電磁波動.如果將該波動的電磁信號轉換為聲音信號，聽起來如清晨群鳥的叫聲，因而得名“合聲波（chorus）”（Tsurutani and Smith,1974; Burtis and Helliwell,1976）.在地球磁層中,合聲波對于能量電子的動力學行為扮演著諸多關鍵角色（Horne and Thorne,1998; Horne et al.,2005; Chen et al.,2007）.例如，合聲波與幾百 keV 的電子發生共振，可將這些電子加速至 MeV 量級（Bortnik and Thorne,2007; Reeves et al.,2013; Thorne et al.,2013）.這一過程被認為是磁層活動期間，輻射帶電子通量增加的關鍵機制.合聲波也可以與幾百 eV至幾 keV 電子共振，改變電子的投擲角，引起這些電子沉降入大氣層，形成彌散極光（Thorne et al.,2010; Ni et al.,2016）.如果合聲波的振幅受到準周期調制，則對應的極光形式為脈動極光（Nishimura et al.,2010）.正是因為合聲波在能量電子動力學過程中扮演的關鍵角色，故研究者對合聲波的科學興趣持續了半個多世紀.

除了合聲波對粒子的重要作用，合聲波本身也具有兩個典型的特征.其一，合聲波的頻譜通常具有雙帶結構，由頻率約0.5fce的間斷分割開來，頻率在（0.1～0.5）fce的被稱為下帶波動，（0.5～0.8）fce的被稱為上帶波動，間斷結構的成因至今仍充滿爭議（Maeda et al.,1976; Omura et al.,2009; Liu et al.,2011; Teng et al.,2019b）.其二，合聲波的頻譜展現出準周期性相干的掃頻結構，每一個離散結構顯示頻率快速的上升或者下降，相對應的合聲波被稱為上升調或者下降調合聲波（Tsurutani and Smith 1974; Li et al.,2012; Teng et al.,2019a）.

合聲波被認為在磁赤道附近，約磁緯度3°以內產生（Santolik et al.,2004a,2004b; Agapitov et al.,2017; Teng et al.2018），其產生機制不同于閃電激發的哨聲波.后者的頻率變化是由傳播過程中的波動色散所導致的.合聲波掃頻結構的激發機制是一個非線性過程.類似的掃頻結構不僅出現在合聲波中，磁層中的其他波動模式，如電磁離子回旋波（Pickett et al.,2010; Shoji et al.,2013）、磁聲波（Fu et al.,2014）、聚變等離子體中的阿爾芬波均可以觀測到掃頻結構（Wang et al.,2018）.鑒于掃頻結構的普遍存在性，理解合聲波掃頻機制的激發對于空間和聚變等離子體中廣泛存在的現象具有重要的意義，本文將結合過去的相關觀測以及模擬結果，重點回顧合聲波掃頻結構的激發模型.

1 合聲波掃頻結構的觀測研究

合聲波是內磁層中比較強烈的電磁波動，是相干的、有結構的哨聲模波動.哨聲模波動在內磁層等離子體條件下的色散關系近似為：

式中，n為 折射率，θ為波動的傳播角度，Ωe為不加符號的電子回旋頻率.當折射率趨向于無窮大時，波動會發生共振，此時對應的傳播角稱為共振錐角，是給定頻率的波動所能達到的最大傳播角度，形式為：

線性理論表明，在地球內磁層的等離子體環境下（β‖≥0.025），波動的最大線性增長率對應波動的傳播角度為0°（Gary et al.,2012），即波動平行于背景磁力線傳播.磁層觀測統計發現，上升調合聲波傾向于準平行傳播，傳播角度一般小于30°，上升調合聲波的強度范圍從幾十pT 到幾nT 不等；而下降調合聲波是高度傾斜傳播的，其傳播角往往比較大（大于60°），甚至可能接近共振錐角，波動振幅相較于上升調要弱很多，主要集中在幾十pT（Li et al.,2016; Zhang et al.,2018）.觀測統計和射線追蹤的結果均顯示，合聲波的傳播角度會隨著磁緯度的增加而增加（Bortnik et al.,2011; Agapitov et al.,2012）.

一般認為激發合聲波的自由能主要來自于～10 keV 的具有溫度各向異性的高能電子.尤其在亞暴期間，等離子體片中的電子從夜側注入，自西向東漂移至日側，各向異性的電子分布會逐漸形成，進而為合聲波的激發提供了自由能，大量觀測證實合聲波的主要分布區域和能量電子的漂移軌跡是相吻合的（Li et al.,2009,2011）.圖1 給出了由THEMIS 和Van Allen Probes 衛星共同觀測到的合聲波在L-MLT 平面內的全球分布情況（Meredith et al.,2020）.從中可以看出合聲波的振幅會受地磁活動的影響，振幅通常為10～100 pT，在強地磁擾動期間，合聲波的強度偶爾會達到1 nT.波動的分布具有明顯的日夜不對稱性，主要分布區域從夜側至晨側再至正午側.在夜側區域，合聲波主要集中在磁赤道附近L<7 區域，而日側發生率可以延伸到高緯度和L值比較大的區域.此外，下帶波動的振幅明顯高于上帶合聲波.

圖1 上帶和下帶合聲波在赤道區域（|λm|<6°）的波動強度分布圖，不同列表示不同地磁活動強度.平均的波動強度隨著磁殼數—磁地方時的變化在大圖顯示，小圖表示相應的采樣分布（修改自Meredith et al.,2020）Fig.1 The average wave intensity distribution of the upper and lower band chorus waves in the equatorial region (|λm|<6°).Different columns represent different geomagnetic activity conditions.The average wave intensity as a function of L-MLT is shown in large panels,the corresponding sampling distribution is shown in small panels (modified from Meredith et al.,2020)

分析合聲波和粒子的非線性作用以及上升調掃頻結構的激發機制，需要對波動的精細結構特征有充分的認識.合聲波的精細結構特征主要包括振幅、掃頻率、持續時長和重復周期等.這些特征在過去的統計研究中主要有：Macusova 等（2010）和Tao 等（2012）分別用Cluster 和THEMIS 衛星數據分析了合聲波掃頻率和背景等離子體參數的關系，研究發現合聲波掃頻率隨著磁殼數的增加而降低，且日側合聲波的掃頻率低于夜側，具有明顯的日夜不對稱性；Shue 等（2015）用THEMIS 數據統計了上升調合聲波的重復周期分布，研究表明夜側和晨側的重復周期小于日側和昏側，背景總磁場和溫度是影響重復周期變化的主要因素；Santolik 等（2014）分析了波包的周期以及波包和波動振幅的關系；Santolik 等（2014）用范艾倫探測器分析了合聲波精細結構中的波包和瞬時傳播角.Teng 等（2017）應用Van Allen Probes 衛星分析了下帶上升調合聲波精細結構的持續時長，發現夜側和晨側的合聲波精細結構普遍比日側和昏側持續時間短2～4 倍.模擬結果表明背景磁場的不均勻度是控制合聲波持續時長與MLT 關系的一個重要因素.

2 合聲波與電子相互作用的動力學過程

合聲波的激發包含了線性和非線性增長兩個過程.在合聲波激發的初始階段，線性增長起到了主要作用.Kennel 等（1966）提出對于平行傳播的哨聲模波動，波動增長的來源主要是具有足夠溫度各向異性的共振粒子，且增長率的大小由各向異性和共振粒子的多少決定.如果電子分布函數是具有溫度各向異性的雙麥克斯韋分布，當溫度各向異性足夠大且電子通量超過穩定捕獲閾值時，回旋共振不穩定性便會發生.Kennel 等（1966）提出的簡化線性增長率的計算為：

式中 ω是波動頻率，VR是共振電子速度，η(VR)粗略地表示共振電子和總電子的比值，且：

從增長率的公式可知，只有當A(VR)>時，合聲波的增長率才為正值.線性理論預測了波動增長的初始階段，如果經過線性增長階段，波動振幅達到一定強度，共振電子會和波動發生相干非線性相互作用（Bortnik et al.,2008; Zhang et al.,2018,2019），從而產生合聲波的掃頻結構.

考慮沿著地磁偶極場傳播的一支平行單色哨聲波，波動頻率為ω，波數為k，假定，其中 δB和B分別表示波動強度和背景磁場強度，ρ是特征回旋半徑，那么在（v⊥,v‖,ζ）坐標系下，非相對論條件的洛倫茲方程可以表示為：

式中v表示速度，“‖”和“⊥”分別表示平行和垂直于背景磁力線的方向，變量 ζ 表示v⊥和 δB（波動振幅）的夾角，Ωw=eδB/mc.對于共振粒子，ζ會比 Ωe?1或者 ω?1在更長的時間尺度上緩慢變化.從波動相位的公式（7）可以看出，忽略與波動振幅相關的小項，回旋共振滿足的條件可近似為：

其中，ω為波的角頻率，v‖為速度平行于背景磁場的分量，k‖為波數平行于背景磁場的分量.當發生共振時，在相對于電子靜止的坐標系中，多普勒頻移后電磁波的頻率（ω?v‖k‖）等于電子回旋頻率，電子會受到相位不變的電磁力，進而會持續地發生速度變化.由于電磁場的變化周期與電子回旋運動的周期相當，所以電子很難保持絕熱不變量的守恒，電子與電磁波會發生顯著的能量交換，電子的能量或者投擲角發生變化，波的振幅也發生變化.考慮到共振粒子滿足的共振條件vr≈(ω?Ωe)/k，則有：

結合上式（5～7），公式（10）可以改寫成如下形式：

式中，vr為 電子的回旋共振速度，vg為波的群速度，z為沿著磁力線方向的長度.該式的推導和應用在很多探討合聲波激發的文章中給出（Vomvoridis et al.,1982; Omura et al.,2008）.

公式（11）類似一個單擺方程，其中包含附加項R.如果|R|<1，共振電子會存在兩種類型的非線性行為，分別為：相位捕獲（phase trapped）和相位聚束（phase bunched）.如圖2 所示，相位捕獲粒子是指這些粒子被波的勢場捕獲，共振粒子沿著閉合軌跡運動，可以在較長的時間（長于）和波場發生共振.對于這些粒子，它們會持續不斷與波動交換能量和動量.相位聚束粒子是指沿著非閉合軌跡運動的共振粒子，這些粒子在分界面以外，只能在小于的時間與波發生相互作用.如果R>1，無法實現相位捕獲，共振粒子的相位在[0,2π]之間變化.電子的行為如下圖2、圖3 所示.

圖2 （a）當 R=0.5 時，波的勢函數 V(ζ)=變化，其中=??V/?ζ.水平虛線表示勢井V(ζ)的最大值，邊界處的ζ 用豎直虛點線表示.如果R>1，的符號總是和保持一致.（b）相位捕獲（橙線）和未捕獲（藍線）共振粒子在相空(間的)運動軌跡，假定 ωtr 是常數，R=0.5，其中≡kv‖?vr/ωtr，黑色實線表示分界線（修改自Tao et al.,2020）Fig.2 (a) An equivalent wave potential function V(ζ)=with R=0.5,which satisfies =??V/?ζ.The horizontal dashed line marks the maximum value of V(ζ) of the potential well,whose boundaries in ζ are indicated by the vertical dash dotted lines.It is clear that if R>1,the sign of is always the same as that of;therefore,it is monotonic and no potential well can exist.(b) An illustration of trajectories of phase trapped(orange line) and untrapped (blue line) resonant particles in phase space( assum)ing that ωtr is constant and R=0.5.Here ≡kv‖?vr/ωtr.The black solid line indicates the separatrix (modified from Tao et al.,2020)

圖3 （a，b）通過解洛倫茲方程[公式（5～7）]得到的12 個電子和單色哨聲波發生作用的能量變化；（c，d）在共振時相應的相空間圖.圖（a，c）對應大振幅波動；圖（b，d）對應小振幅波動.背景磁場滿足 B=B0(1+az2)，電子初始能量滿足共振條件，初始的相位在0 和 2π之間均勻分布.不同顏色表示不同電子的運動軌跡，對于圖（a,c），藍色線表示捕獲電子的軌跡，其他電子是未捕獲共振電子（修改自Tao et al.,2020）Fig.3 (a,b) Energy variation of 12 electrons (top rows) interacting with a monochromatic whistler wave obtained by solving Eqs.(5～7);(c,d) The corresponding phase space plot at resonance.Panels on the left column are for a large amplitude wave=2×10?3 with |R|<1 and those on the right are for a small amplitude wave =10?4 with |R|>1,where B0 is the magnetic field magnitude at z=0.The background magnetic field has the form B=B0(1+az2) with a=2.16×,where Ω0 the cyclotron frequency at z=0.The initial energy of the electrons are chosen to satisfy the resonance condition at z=300c/Ω0 with pitch angle of 150,and the initial ζ is uniformly distributed between 0 and 2π.Different colors indicate trajectories of different electrons.For panels in the left column,the blue lines are trajectories of phase trapped electrons,and other electrons are untrapped resonant electrons (modified from Tao et al.2020)

電子和波發生共振，相位捕獲電子造成的直接結果就是相空間洞（或者坡）結構的形成（Nunn,1974; Vomvoridis et al.,1982; Omura et al.,2008,2021; Tao et al.,2017b），進而會引起共振電流JR的形成，?δj·δE表示粒子和波動的能量轉移.共振電流由共振電子在相空間運動形式決定，受到R值的影響.測試粒子模擬結果顯示當R大約在0.2～0.8 時，功率轉移最大，而波動激發一般對應功率轉移最大化的過程.圖4 展示了Tao 等（2020）模擬出的一個上升調合聲波和伴隨出現的相空間電子洞結構.圖4b 顯示在v‖≈?0.15c和v⊥≈0.5c周圍出現一個明顯的低密度區，附近有一個高密度區，分別對應了相位捕獲電子和相位聚束電子集中的區域.圖4d 上相空間電子洞可以更明顯地看出相位捕獲電子運動的區域，即在平行速度分布函數圖上，相空間電子洞導致v‖=0.15c附近出現明顯的下降.

圖4 和掃頻結構相關的相空間結構示意圖，模擬參數和模擬方法參考Tao 等（2017a）.（a）在磁赤道附近（z=0）波動的頻譜圖，顏色表示波動磁場的功率譜強度.（b～d）表示tΩ0=2 725處，電子的相空間分布，從中可見相位捕獲粒子的洞結構的形成.（b）df=f(v‖,v⊥)?f0 的表面圖，相空間洞出現在中心v‖≈?0.15c 和v⊥≈0.5c 區域.其中df>0 是由于相位聚束電子形成的.（c）f(v⊥=0.5c)隨著 v‖的變化，相空間洞的位置大約在 v‖≈?0.15c.（d）f?f0 在v⊥=0.45c 處隨著(v‖,ζ)的變化（修改自Tao et al.,2020）Fig.4 An illustration of the phase space structures associated with chirping elements.The simulation parameters and methods are from Tao et al.(2017a).(a) The frequency-time spectrogram of waves obtained using magnetic fields at equator (z =0).Colorcoded is the power spectral density of the wave magnetic field.Panels (b～d) show phase space distribution functions at tΩ0=2 725,with emphasis on the hole structure formed by dynamics of phase trapped particles.(b) The surface plot of d f= f(v‖,v⊥)?f0.The phase space hole is clearly seen with the center near v‖≈?0.15c and v‖≈0.5c.Those with d f >0 are due to phase bunched electrons.(c) f(v⊥=0.5c) as a function of v‖.Note the hole near v‖≈?0.15c.(d) f?f0 as a function of (v‖,ζ) at v⊥=0.45c.The boundary of this hole is similar to the separatrix in Figures 2 and 3.Note that f and f0 are normalized by the maximum value of f0 in this figure (modified from Tao et al.,2020)

3 合聲波掃頻的數值模擬模型

合聲波的激發過程涉及波粒非線性相互作用，所以用數值模擬的方法研究其中的物理過程是必要的.在研究合聲波激發問題上，有幾個主要的數值模型.為節省計算資源，Nunn（1990）開發了弗拉索夫混雜模擬模型（Vlasov Hybrid Simulation,VHS），該模型使用寬頻波作為觸發波動，比粒子云模擬（Particle-In-Cell,PIC）更容易分離出主要物理過程，且更高效.但是該模型需要有輸入波動，不能包括自然的飽和機制，因此不易研究從寬頻哨聲模波動到合聲波的過渡狀態.近年來，隨著計算資源的快速發展，PIC 模擬逐漸應用起來.Katoh和Omura（2007）首次使用PIC 程序，成功模擬出了合聲波.該模型是一維（1D）非均勻場下的電子混雜模擬，熱電子和冷電子應用了不同的處理方法，熱電子使用了粒子方法處理，為具有溫度各向異性的雙麥克斯韋分布，可以提供激發波動的自由能，冷電子使用流體方程處理.在邊界條件的設置上，波動是被吸收的，而粒子是反射的.在考慮背景磁場對合聲波激發的影響時，Katoh 等（2013）模擬了4 個算例，模擬程序固定了線性驅動，只改變背景磁場不均勻度.結果顯示背景磁場不均勻度越小，合聲波發生非線性增長和能夠形成上升調合聲波的閾值振幅就越小.該模型的成功對之后合聲波模擬相關工作具有重要借鑒意義.Hikishima 等（2009）應用1D PIC 模型（KEMPO）重現了上升調合聲波.Tao 等（2014）開發了DAWN 程序，并在之后應用了 δf方法（Tao et al.,2017a），可以更好地降低統計上的噪聲，便于分析相空間結構與相關電子動力學過程.圖5 是應用該模型，在磁鏡場中不同垂直熱速度條件下激發的波動頻譜圖（Tao et al.,2020），從上到下只有初始熱電子垂直熱速度（磁赤道處）發生變化，分別為（a）u⊥=0.32c,（b）u⊥=0.35c和（c）u⊥=0.6c，對應的熱電子溫度各向異性增加，從模擬結果可以看出，圖5b 展示出清晰的上升調合聲波，而圖5a、5c 均沒有出現清晰的分立合聲波結構.由此可見，溫度各向異性過弱或者過強都無法激發出清晰的合聲波掃頻結構.

圖5 應用DAWN 程序得到不同線性驅動下的波譜.三個模擬結果都是采用和Tao 等（2017a）相同的模擬參數，除了應用不同的垂直電子溫度.其中（a）u⊥=0.32c；（b）u⊥=0.35c；（c）u⊥=0.6c（修改自Tao et al.2020）Fig.5 The wave spectrum with different linear drive from numerical simulation using the DAWN code.All three simulations use similar parameters to that of Tao et al.(2017a),except the perpendicular thermal velocity ut⊥.H ere we use (a)ut⊥=0.32c,(b)ut⊥=0.35c,and (c)ut⊥=0.6c,with c the speed of light in vacuum.Correspondingly,the linear drive increases from case A to case C (modified from Tao et al.2020)

在真實磁層環境下，合聲波往往不是平行于磁力線傳播，而是具有一定的傳播角，因此，研究內磁層中斜傳播的合聲波激發過程需要考慮二維的磁鏡場或偶極場.Ke 等（2017）以及 Lu 等（2019）開發了二維一般曲線坐標系下的粒子模擬程序，成功模擬了合聲波在磁鏡場和偶極場下的激發和演化.

4 合聲波掃頻的理論模型

4.1 Helliwell 模型

合聲波掃頻結構的激發機制從1960 年代就進入激烈的討論，其中一個經典的理論模型是Helliwell（1967）模型.該模型從不均勻背景磁場的角度解釋了合聲波掃頻的產生.為了保持波和粒子耦合時間以及波動強度的最大化，Helliwell 假設波動頻率的改變與背景場強的變化一致使得共振條件始終滿足.在背景磁場隨著位置變化的條件下，電子的回旋頻率和多普勒頻移后的波動頻率保持一致，從而波動頻率會發生變化.合聲波的掃頻率可以通過求解粒子的絕熱運動方程、合聲波的色散關系以及回旋共振條件得到.對于該模型，合聲波的掃頻率和熱電子分布沒有關系，僅和背景參數相關，因此可以完全使用背景等離子體參數（如背景磁場位型、電子密度等）來估算空間某個位置合聲波的掃頻率.

過去對于合聲波掃頻率的觀測統計結果（Macusova et al.,2010; Tao et al.,2012; Shue et al.,2015; Teng et al.,2017）與Helliwell 的理論預測具有很好的一致性.圖6 為Tao 等（2012）利用THEMIS 衛星數據得到的合聲波掃頻率空間分布.從中可以看出：（1）合聲波的掃頻率隨著磁殼數的增加而降低.利用Helliwell 理論定性的理解這一現象，即為合聲波的掃頻率會隨著背景磁場不均勻度的減小而降低，距離地球越遠，背景磁場越均勻，掃頻率越低.（2）合聲波的掃頻率具有明顯的日夜不對稱性，日側合聲波的掃頻率低于夜側.這是由于日側磁層頂被太陽風壓縮，磁層位型相較于同距離的夜側磁場更均勻，因而日側合聲波的掃頻率更低.

圖6 （a）合聲波觀測的掃頻率（黑點）和Helliwell（1967）理論計算掃頻率（藍點）對比.實線為理論計算結果.（b）日側和夜側觀測的合聲波掃頻率對比（修改自Tao et al.,2012）Fig.6 (a) The comparison between the observed frequency sweep rate (black dots) and the theoretical frequency sweep rate (light blue dots) from Helliwell (1967).(b) The comparison between the observed frequency sweep rate from dayside (MLT>8 h,blue dots) and dawnside (MLT<8 h,black dots) (modified from Tao et al.,2012)

基于相同的掃頻機制，Sudan 和Ott（1971）提出另一個更加定量的模型.在該模型中，激發波動的捕獲電子會形成相位相關的電流，造成不穩定性，進而形成新的波動.作者從理論上分析了這些不穩定性造成的波動增長率.

4.2 連續觸發模型

Nunn（1971,1974）分析了相位捕獲粒子和窄帶波動的動力學方程，相位捕獲的粒子和波場發生作用之后，其能量和磁矩會經歷較大的變化.由Liouville 定理可知，經過幾個共振周期之后，捕獲粒子的相空間密度會明顯區別于周圍的其他粒子，對共振電流密度起到了主要的貢獻.根據這些分析，作者開發了Vlasov 混雜模型，可以用于模擬上升和下降調合聲波（Nunn,1990; Nunn et al.,1997）.

Vomvoridis 等人研究在非均勻磁場、給定波場條件下，相位相關的測試粒子、波動的非線性（Vomvoridis and Denavit,1980），以及合聲波掃頻等問題（Vomvoridis et al.,1982）.Vomvoridis和Denavit（1979）展示，在|R|<1的條件下，捕獲粒子會產生相空間洞/島，造成比較強的相位聚束分布.Vomvoridis 和Denavit（1980）把非均勻場下波動的增長/阻尼率分為三個部分：γ0、γ1和 γ2.其中 γ0表示類似在均勻場下的影響，增長率通常在幾個之后達到飽和，作者推斷該增長率最后不會造成較大的波動增長.增長率 γ1表示非均勻場對未捕獲電子的影響，大小和線性增長率在一個量級.γ1不會飽和，因為在非均勻場下，共振區域會連續不斷地被新的未捕獲粒子填充. γ2是最為重要的增長率，表示由于密度和v⊥差異造成的影響.Vomvoridis等（1982）指出當R趨向于0 時，增長率 γ2會消失，對于有效的非線性增長，R的范圍應該是0.2≤|R|≤0.8.作者進一步分析了帶有掃頻的合聲波事例，結果表明對于最大的波動放大，|R|～0.5，掃頻率和波動振幅成正比，即為：

對于（13）式，由于合聲波激發區域在赤道處，故?Ωe/?z≈0.這個關系在之后的Omura 等（2008,2021）和Zonca 等（2017）工作中也被用不同的方法推導得出.

在另一系列工作中，Omura 等（2008）假定相位捕獲電子分布函數的密度恒定，用分布函數的解析形式來研究合聲波的激發.作者計算了平行于電場的共振電流（JE）隨著R的變化，發現在R=0.4 時，JE可以達到最大值，此時，向波動傳輸的能量也達到最大（?JE·δE）.通過推導哨聲波的非線性增長率以及合聲波激發的最小閾值條件，作者提出掃頻是由于非線性電流的非線性頻率漂移造成的，并獲得了掃頻率和波動振幅的關系.Omura 和Nunn（2011）提出連續激發模型，并用VHS 程序研究了平行于磁場的電流（JB），通過非線性共振電子形成的JB來解釋掃頻的結構.

Trakhtengerts（1995）提出用Backward Wave Oscillator（BWO）模型來解釋合聲波，在該模型中，粒子分布在平行方向較大的梯度會造成合聲波的增長.與其他合聲波模型不同的是，BWO 模型能夠預測合聲波精細結構的重復激發性質.Demekhov等（2017）根據BWO 理論模擬了合聲波的激發，與THEMIS 觀測的掃頻率、波動振幅以及精細結構重復周期具有非常好的一致性.但由于粒子數據在投擲角和能量方向的分辨率有限，所以粒子數據的階梯特征尚未有觀測的證據，分布函數的不連續性在一些工作中也被質疑（Nunn and Omura,2012;Shue et al.,2015）.

對于公式（13），計算 ωtr的波動振幅是波動激發時的振幅，而在源區觀測到波動是非常困難的，且波動在遠離源區、向外傳播的過程中，振幅會發生劇烈變化，所以統計上直接比較掃頻率和觀測的振幅以證明公式（13）往往比較困難.盡管如此，Cully 等（2011）用THEMIS 數據分析了一個事例，展示對于不同的合聲波精細結構，掃頻率會隨著波動振幅的增加而增加.Kurita 等（2012）用無間斷的合聲波結構展示掃頻率和上式預測一致.

4.3 TaRA 模型

盡管合聲波的不同激發模型在不同方面有其合理之處，但是掃頻過程中的各種問題仍然存在.首先，根據Helliwell（1967）及Sudan 和Ott（1971）的理論，假定掃頻是由背景磁場的不均勻度導致，那么均勻磁場中的掃頻（Wu et al.,2020）以及BWO 的模型結果（Demekhov and Trakhtengerts,2008）則無法解釋.其次，掃頻率要么是背景磁場不均勻度（Helliwell,1967），要么是波動振幅（Vomvoridis et al.,1982; Omura et al.,2008; Zonca et al.,2017）的函數.這兩個掃頻的估算方式完全不同，但彼此都有相應觀測和模擬的驗證支持（Hikishima et al.,2009; Cully et al.,2011; Katoh and Omura,2011）.根據粒子模擬中波動增長率、電子的相空間動力學以及非線性波粒相互作用理論，最新提出的TaRA（Trap-Release-Amplify）模型實現了對過去幾類主流模型的統一（Tao et al.,2021）.該模型根據波動傳播方向，將空間中赤道附近區域（波動源區）分成上下游，兩個區域在波動激發中分別扮演不同的角色.波動在上游產生，向下游傳播，在下游區域，非線性波粒相互作用形成了相干的電子相空間結構；而在上游區域的釋放點，當粒子與波動滿足相位鎖定條件時，波和粒子能量交換達到最大化，使得該相干相空間結構通過選擇性激發過程，產生具有掃頻的合聲波.

圖7 為該模型示意圖，藍色波形為模擬中對一給定時刻的合聲波波形沿著背景磁場的分布.假定合聲波包含了近乎連續頻率（ω0,ω1,ω2,...）的哨聲模波譜，這些頻率之間的間隔非常小，可以認為產生這些波包是由頻率從 ω0到 ωN組成.對于上升調掃頻結構，起始頻率是 ω0，終止頻率是 ωN.由于共振電子和波動的運動方向相反，較新電子首先和較早產生的頻率為 ω0的合聲波在下游發生共振作用.這些電子朝向上游運動，在共振過程中會被相位捕獲，產生“相位聚束”電流.當電子運動到上游，波動振幅太小而不能繼續相位捕獲粒子的時候，這些共振電子會被釋放.由于這些電子和波動仍然是相位相關的，一旦釋放，它們仍然可以從寬頻哨聲波譜中選擇性放大一些新的波動.挑選的原則是使共振條件可以最長時間地滿足波和粒子能量轉移最大化.為了方便下文討論，在此分別定義R1和R2，以區分背景磁場不均勻度和掃頻率.

圖7 TaRA 模型示意圖.紅色箭頭標識了共振電子的運動方向，藍色箭頭表示合聲波波失的方向.藍色波形是從模擬中得到的，1、2、3 點分別代表釋放點（R2?）、赤道處（R2=0）以及下游處的某點[R2/R1?O(1)].不同位置相應掃頻率的計算分別在對應位置給出（修改自Tao et al.,2020）Fig.7 Illustration of the TaRA model.The red arrow indicates the motion of resonant electrons (e?),while the blue arrow indicates the direction of wave vector (kc) of chorus.The blue waveform is taken from simulation.Points 1,2,3 represent the release point (R2?),the equator (R2=0),and a point in the downstream where R2/R1 ?O(1).The corresponding equations for the chirping rate are also given at the three points (modified from Tao et al.,2020)

R1表示掃頻率的影響，R2表示是背景磁場不均勻度.

根據這個模型，可以在不同位置估算合聲波的掃頻率.首先，在釋放點（即圖7 中的點1）新的波動被激發，波動振幅項遠遠小于不均勻度項R2.與之對應，相位鎖定條件需要?R2和R1達到平衡，即為：

從而

上式定義了掃頻率和背景磁場不均勻度的關系.對于磁層中的上升調事例，上游區域負的背景磁場不均勻度是上升調掃頻的原因.上游區域波動強度較弱，由產生波包造成的非線性相位捕獲電子主要出現在下游區域.在赤道附近，R2～0（對應圖7中的點2），根據Vomvoridis 等（1982）的研究，有效波動能量傳輸主要發生在R的值在0.2～0.8之間.為了簡化，R通常取0.5，而Omura 等（2008）通常取R=?0.4.這樣就會得到著名的掃頻和波動振幅的關系：

在此需要強調，新的合聲波是在上游區域，即圖7中點1 產生的，而不是赤道位置.所以公式（17）描述的是掃頻如何產生，以及為什么在這種情況下是對應上升調；然而公式（18）則強調合聲波激發區域，波和粒子非線性作用的重要性.最后，在下游的3 點，R2和R1相當甚至更大，不均勻度對于R的貢獻不能忽略，最后會導致掃頻率的如下計算：

從以上描述可知，TaRA 模型和之前提出的模型具有一致的原則，即非線性波粒相互作用導致窄帶掃頻波動的產生，而不同模型的差別在于如何應用這些準則解釋掃頻率以及合聲波的結構.TaRA 模型首次提出：不同模型的主要差別在于他們是在合聲波激發的不同階段推導波動掃頻率，統一了過去看似不相關的理論模型.

TaRA 模型除了實現過去理論模型的統一，還可以對合聲波精細結構、窄帶特性，以及演化過程提供合理的物理解釋.合聲波精細結構的波形通常展示出圖8 所示的振幅準周期性調制，即所謂的子波包結構（subpacket），Santolik 等（2014）推測這些子波包可能是由一系列窄帶波動疊加形成，或是在激發過程中形成.Omura 和Nunn（2011）提出這些子波包是通過一系列觸發過程形成的，在合聲波激發過程中，觸發波動會造成電子的相位聚束和相位捕獲，非線性共振電流形成，進而會產生更高頻率的新波動，形成子波包.如果波動振幅足夠大，新形成的頻率較高波動會繼續相位聚束新的電子，造成進一步的掃頻和更多子波包的形成，所以子波包在該理論中被認為是合聲波掃頻的基本單元.Tao 等（2017b,2021）用O'Neil 等（1971）的理論解釋了子波包的形成，在該理論中，子波包結構可以用波場和相位捕獲電子的動量和能量守恒來解釋.當相位捕獲電子在相空間旋轉，其速度、動量會以的周期振蕩，自然會造成波動振幅以振蕩，形成子波包（subpacket）結構.

圖8 合聲波磁場分量波形圖，其中展示了準周期性振幅調制，形成了合聲波的“子波包”（修改自Tao et al.,2020）Fig.8 An example of Bx-waveform showing quasi-periodic amplitude modulation,forming "subpackets" of chorus waves (modified from Tao et al.,2020)

5 總結與展望

合聲波掃頻結構的激發是一個典型的非線性等離子體物理問題，理解這個過程有助于深入認識空間等離子體波粒相互作用.本文概括了合聲波掃頻結構的觀測特征、數值模擬以及主流的理論模型，并重點介紹了最新提出的“TaRA”模型，該模型不僅實現了過去模型的統一，還為合聲波的觀測和模擬現象提供了合理的理論解釋.該模型是基于偶極場條件下上升調合聲波的PIC 模擬提出來的，對于均勻場下合聲波的掃頻結構，下降調合聲波，以及電磁離子回旋波的掃頻問題都有重要的借鑒意義.此外，其他行星（如火星、木星和土星）空間中的合聲波掃頻性質（Hospodarsky et al.,2008;Menietti et al.,2013,2014; Harada et al.,2016）也有助于檢驗和拓寬該模型.