新“將軍飲馬”問題

文／周 燕

傳說古希臘有一位將軍向學者海倫提出過一個問題：如圖1，從A地出發到河邊飲馬，然后再走到B地，如何設計一條最短路線？海倫是這樣做的：如圖2，過點A作關于河岸的對稱點A'，連接A'B并與河岸線交于點C'，從A地出發沿直線走到C'處飲馬，之后再由C'沿直線走到B地即為最短路線。這實質上是運用了圖形的對稱性，因為點A'是點A關于l的對稱點，河流l相當于線段AA'的中垂線，所以AC=A'C，根據兩點之間線段最短，A'B為最短路線。這類問題在中考中時常出現，但下面兩道題有別于普通的“將軍飲馬”問題，你還能順利解決嗎？

圖1

圖2

一、新“將軍飲馬”——河畔踱步

例1（2021·山東聊城）如圖3，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸上，B、D兩點坐標分別為B（-4，6）、D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF=3，當四邊形BDEF周長最小時，點E的坐標為_____。

圖3

【場景再現】如圖4，如果這匹馬在C處喝完水后沿著河岸線再走一段固定的距離，你還能找到最短路線嗎？即CD的長為定值，求AC+BD的最小值。比起“將軍飲馬”問題，這兩條線段被隔開了一段距離，要是沒有這段距離該多好啊。你有辦法將他們“復位”嗎？我們可以將線段AC沿著河岸線向右平移至A'D，使得C、D兩點重合。因為平移不改變線段的長度，所以A'D+BD=AC+BD，此時過點A'作 河 流l的 對 稱 點A″，連 接A″B即 可（如圖5）。

圖4

圖5

【思路分析】要研究四邊形BDEF周長的最小值，其實就是要研究BF+DE的最小值。而本題中的B、D兩點就是以上場景中的A、B兩地，EF則是馬沿著河岸走過的距離。根據以上分析，在BC上截取BH=3，如圖6，可得四邊形BHEF是平行四邊形，并將BF轉化為EH。作點D關于x軸的對稱點D'，連接D'H交AO于點E，當E、H、D'三點共線時，EH+D'E有最小值，利用點D（0，-4）、H（-1，6）可求得直線D'H的表達式為y=-10x-4。當y=0時，x=-0.4，即點E的坐標為（-0.4，0）。

圖6

二、新“將軍飲馬”——河間游走

例2（2020·湖南永州）如圖7，∠AOB=60°，在∠AOB內有一點P（4，3），M、N分別是OA、OB邊上的動點，連接PM、PN、MN，則△PMN周長的最小值是____ 。

圖7

【場景再現】如圖8，這次馬從A地出發先去河流l1的B處喝水，再跑去河流l2的C處喝水，最終回到A地，你能設計出最短行走路線嗎？我們可以將兩次喝水路線分開研究，發現無論是AB+BC還是BC+CA都符合“將軍飲馬”結構。因此，過點A分別作關于l1與l2的對稱點A'、A″，如圖9，根據中垂線的性質，馬的行走路線長即A'B+BC+CA″的值，根據兩點之間線段最短可得A'A″即為最短路線。

圖8

圖9

【思路分析】本題中的點P即為以上場景中的A地，OA、OB為那兩條河，△PMN的周長為馬的行走路線。根據以上分析，分別作點P關于射線OA、射線OB的對稱點P′與點P″，連接P′P″，與OA、OB分別交于M、N兩點，如圖10，此時△PMN周長最小，最小值為P′P″的長。連接OP′、OP″、OP，利用垂直平分線的性質與點P坐標（4，3）得到OP′=OP″=OP=5，且∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB。又因為∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，所以∠P′OP″=120°。根據三角函數相關知識可求得△PMN周長的最小值是5 3。

圖10