多尺度隨機系統的漸近行為

2022-07-01 23:37李楠楠解龍杰

數學理論與應用 2022年2期

李楠楠解龍杰

(江蘇師范大學,數學與統計學院,徐州,221000)

1 引言

自然界中的許多現象都具有多尺度特征或多尺度效應,并且,人們對這些現象的觀察及測量也常在不同尺度（分辨率）下進行(參見[3,13,16,21,24,26,30]).數學上,多尺度系統能夠很好地將這些現象的本質特征反映出來.近年來,多尺度問題及相關理論被廣泛應用于海洋大氣、復合材料、生命科學和金融等領域,其研究熱度不斷上升.

多尺度系統往往比較復雜,處理起來也相對困難.平均化方法是處理多尺度問題的一個強有力的工具,它通過構造一個“平均化方程”來簡化原系統,使化簡后的方程不再涉及尺度的分離.本文首先介紹快慢隨機系統的平均化原理的強、弱收斂,特別側重于噪音所帶來的正則化作用.然后,介紹原系統與其平均化方程的波動估計.這兩個方面分別對應于或類似于概率論中的大數定律與中心極限定理.而對于更一般的多尺度隨機系統,我們將介紹其擴散逼近,這一問題與偏微分方程中的同質化有緊密聯系.最后,我們考慮一類特殊的系統: 隨機Langevin 方程,分別給出由布朗噪音驅動和Lévy 噪音驅動的隨機Langevin 方程的Smoluchowski Kramers 逼近.

2 平均化原理

考慮如下的隨機微分方程:

其中,d≥1 為空間維數,F:Rd×Rd →Rd為可測函數（稱為漂移系數）,Wt為定義在某概率空間(Ω,F,P)上的d維標準布朗運動,X=(Xt)t≥0為一個給定的遍歷馬氏過程,參數0<ε ?1 代表了時間尺度的分離:以正常的時間尺度t變化,而X以時間尺度t/ε變化.因此,在方程(2.1)中,通常稱為慢變量,用來代表實際中可以觀測到的量,也是人們更關心的量?而X稱為快變量,通常用來描述系統所處的快速變化的外界環境或者其他相關的影響因素.

因為方程(2.1)中涉及到兩個時間尺度,所以直接研究(2.1)比較復雜.我們希望尋找一個簡單的方程來近似地代替該方程. 由于在大多實際問題中,ε>0 非常小,因此問題即轉化為研究該系統當ε →0 時的漸近行為.對于方程(2.1),可以比較直觀地推測出其ε →0 時的極限: 假設X的唯一不變測度為μ(dx),則形式上,當ε →0 時,Xt/ε將收斂到其不變測度μ(dx),代入到方程(2.1)中,即可得將收斂于,其中滿足

這里新的漂移系數為

這一結果稱為平均化原理,方程(2.2)稱為(2.1)的平均化方程, ˉF稱為平均化系數.

一般地, 平均化原理的證明需要假設原方程的系數滿足一定的正則性條件. 經典的平均化原理由前蘇聯數學家Bogoliubov (參見[6]) 對確定性的常微分方程首先建立. 這一理論后來被Khasminskii[17]推廣到隨機微分方程.在隨機的情形,從概率的角度來說,可以按照多種方式收斂到. 這里我們主要介紹兩種:

(i)強收斂(p階矩收斂):對任意的p≥1,

(ii)弱收斂(依分布收斂):對任意的φ ∈Cb(Rd),

從結果上看,強收斂可以直接推出弱收斂.但強收斂往往需要更強的假設條件,并且強收斂的收斂速度也慢于弱收斂.在下面的定理中我們會具體介紹.

方程(2.1)相對來說仍然比較簡單: 其快變量X不依賴于慢變量Y.然而,在描述一個復雜系統時,快、慢變量會完全偶合在一起.因此,我們需要考慮如下更一般的隨機微分方程:

相比于(2.1),方程(2.4)由可乘噪音驅動,并且其快變量X會依賴于慢變量Y. 此時,仍然像之前那樣直接推測其平均化方程不再可行.直觀上,推導方程(2.4)的平均化方程可分為兩步:

(1)當觀察快變量時,慢變量幾乎保持不動?

(2)當觀察慢變量時,快變量幾乎已經達到其平穩狀態.

具體地,我們先來看快變量. 觀察快變量合適的方式是對其做時間變換.令:=(以時間尺度tε來觀察快變量),則可以驗證滿足如下方程:

這里,平均化漂移系數為

平均化的擴散系數為

注1 需要指出的是,盡管平均化方程(2.2)和(2.6)中平均化系數的形式類似,但方程(2.4)的研究遠比(2.1)復雜.實際上,對于強收斂,通常需要證明平均化后的系數滿足Lipschitz 條件以保證平均化方程的強適定性.對于(2.3),我們只需要假設原方程(2.1)中的漂移系數F(x,y)關于y變量滿足Lipschitz 連續性的條件,則容易驗證ˉF也滿足Lipschitz 條件.但(2.7)中ˉF的Lipschitz 連續性的驗證要困難的多: 其涉及到不變測度μy(dx)關于參數y的正則性的研究.

目前,隨機系統的平均化原理已經得到非常深入地研究.關于由布朗運動驅動的隨機微分方程的平均化原理,可參見[11,18,20,25,35]?關于由Lévy 噪音驅動的隨機微分方程的平均化原理,可參見[4,31,34]?關于隨機偏微分方程的情形,可參見[7,10]及其中的參考文獻. 下面,我們分別介紹兩個具體的平均化原理強、弱收斂的結果,并給出其與經典結果的比較.這里,我們主要關心不規則系數的情形,從而體現出噪音對系統的正則化作用.在此之前,我們做一些基本的假設:

(Hσ) 擴散系數a=σσ?一致非退化,即存在常數λ>1,使得對任意的x ∈Rd1和y ∈Rd2,有

(HG) 擴散系數G=GG?一致非退化,即存在常數λ>1,使得對任意的x ∈Rd1和y ∈Rd2,有

(Hb) 漂移系數b滿足如下的Lyapunov 條件:

假設(Hσ)和(Hb)保證凝固方程(2.5)存在唯一的不變測度(參見[29,36]).同時,假設(HG)將保證我們可以在不規則系數的條件下研究方程(2.4)的平均化原理.

我們有如下結果,參見[33,Theorem 2.1].為簡單起見,以下所有結果的敘述中我們都假設系數有界.

定理1(強收斂)假設(Hσ),(HG),(Hb)成立,并且

如果σ ∈,G ∈且b,F ∈,其中δ,α>0,則對任意的T>0,有

其中,CT>0 為不依賴于δ和ε的常數.

注2 (i)假設(2.8)是必要的,因為當慢方程中的擴散系數G依賴于x(快變量)時,強收斂不一定成立(參見[22]).

(ii)雖然我們只假設了方程(2.4)中的漂移系數為H?lder 連續的,但在(Hσ)和(HG)的條件下,方程(2.4)仍存在唯一的強解.同時,也可以證明,從而平均化方程(2.6)同樣存在唯一的強解,這體現了噪音的正則化作用.關于不規則系數下隨機微分方程強適定性的更多介紹,可參見[40,41].

(iii)經典的平均化原理的結果都需要假設系數滿足Lipschitz 連續或者局部Lipschitz 連續的條件,并且,在系數足夠正則的情況下,強收斂的最優收斂速度為而估計(2.9)表明,當方程中的系數關于y變量（慢變量）為αH?lder 連續時,強收斂的收斂速度為εα/2. 特別地,其收斂速度不依賴于方程中系數關于快變量的正則性.這與直觀吻合: 在取極限的過程中,快變量被完全平均化,其不再出現在極限方程中.

關于方程(2.4)平均化原理的弱收斂,我們有如下結果(參見[32,Theorem 2.3]).

定理2(弱收斂)假設(Hσ),(HG),(Hb)成立. 如果σ,b,F,G ∈,其中δ,α> 0,則對任意的T>0 及φ ∈(Rd2),有

其中,CT>0 為不依賴于δ的常數.

注3 (i)對于平均化原理的弱收斂,我們只需要保證方程的弱適定性.由于噪音的非退化性,在上述系數H?lder 連續的假設條件下,原方程(2.4)及平均化方程(2.1)存在唯一的弱解.

(ii)估計(2.10)表明,當原方程的系數關于慢變量為αH?lder 連續時,弱收斂的速度為α/2.特別地,當α=2 時,得最優的弱收斂速度為1.與強收斂的情形類似,上述的弱收斂也不依賴于系統關于快變量的正則性.

3 正態偏差

隨機系統的平均化原理可以理解成一種泛函大數定律.其意義在于,我們可以利用平均化方程(2.6)近似地代替原方程(2.4),而平均化方程不涉及多尺度變量,從而更加簡單.但極限方程(2.6)只有在ε →0 時才成立.在實際應用中,雖然ε很小,但其永遠大于0,從而,會與其平均有一定的偏差.要研究其波動情況,自然地需要研究中心極限定理,即考慮標準化的過程

當ε →0 時的漸近行為.

為了更清楚地了解問題的困難所在,我們先考慮(2.4)中G=I(單位矩陣)的情況.此時,

其中, ?Wt為一新的標準布朗運動,而新的擴散系數為

對于一般的隨機系統,我們有如下結果(參見[33,Theorem 2.3]).關于多尺度隨機偏微分方程正態偏差的研究,可參見[8,37].

定理3(正態偏差)假設(Hσ),(HG),(Hb)及(2.8)成立. 如果σ,b,F,G ∈,其中δ,?>0,則對任意的T>0 及φ ∈(Rd2),有

CT>0 為不依賴于δ和ε的常數.

注4 特別地,估計(3.12)說明,當?=1 時中心極限定理的最優收斂速度為

一個有趣的問題是: 能否找到一個分布不依賴于ε的過程,使得以ε階強收斂到,即對任意的p≥1,存在常數Cp>0,使得

其中,擴散系數ζ由(3.11)定義. 但理論上一直沒有能夠給出證明.實際上,直到2004 年,Bakhtin和Kiffer[2]才證明了

其中,0<δ<(18+8d)?1.雖然得到了高于的收斂速度,但這個δ仍不是最優的.

4 擴散逼近

考慮如下多尺度隨機微分方程:

其中,當ε →0 時,參數αε,βε,γε →0.特別地,當c=H ≡0,αε=時,方程(4.13)即為快慢方程(2.4). 相比于(2.4),方程(4.13)有如下兩個主要特點:

(i)快方程中存在兩個不同的時間尺度,分別由αε和βε刻畫?

方程(4.13)的極限行為與偏微分方程中的同質化理論有密切聯系(參見[14,19,23]).當αε=βε=γε=,且()的狀態空間為緊集時,方程(4.13)首先由Papanicolaou,Stroock和Varadhan[27]進行了研究.而當c ≡0,αε=γε=的狀態空間為全空間時,Pardoux 和Veretennikov 在一系列文章[28,29]中對(4.13)的極限進行了研究.需要指出的是,在全空間上(4.13)的研究要比緊集上困難的多,其關鍵在于求解全空間上帶參數的Poisson 方程,并研究解的正則性.

對于方程(4.13),根據時間尺度收斂到0 的速度不同,其極限方程也不同. 具體需要分以下四種情況:當αε和收斂到0 的速度分別比γε和βεγε快時(情況1),方程(4.13)與方程(2.4)的平均化方程完全一致,也就是說,c和H變化的速度不夠快,其作用并沒有體現在極限方程中?當αε收斂到0 的速度比γε快而和βεγε同階時(情況2),系數c的同質化作用將體現在極限方程中?當αε和γε同階而αε收斂到0 的速度比βε快時(情況3),系數H的同質化作用將得以體現?最后,當所有的參數都同階時(情況4),c和H的同質化作用將同時體現在極限方程中.

為了介紹(4.13)的極限方程,我們需要引入如下的Poisson 方程:

其中,y ∈Rd2為參數,

a(x,y) :=σσ?(x,y).需要指出的是,雖然緊集上的Poisson 方程已經有了很深入的研究,但全空間上帶參數的Poisson 方程(4.15)的研究卻十分困難(見[32]).特別地,為了保證(4.15)解的存在唯一性,需要假設H滿足如下條件:

在一定的正則性條件下,方程(4.15)存在唯一的解Φ(x,y). 對應于(4.14)中的情況1–4,我們分別定義平均化的漂移系數

以及平均化的擴散系數

我們有如下主要結果(參見[32,Theorem 2.3]).關于隨機偏微分方程的擴散逼近,可參見[38].

定理4假設(Hσ),(Hb),(HG)及(4.16)成立,T>0 且δ ∈(0,1].

注5 上述結論中,對應于情況3 和4 的結論表明: 即使原系統中G ≡0(慢方程中沒有噪音項),其極限方程中仍然會出現可乘的布朗噪音項.這主要是由慢方程中快速變化的H項的同質化導致的.

5 Smoluchowski Kramers 逼近

5.1 布朗噪音驅動

考慮一個質量為ε的小粒子在受外力、正比于速度的摩擦力及噪音作用下的運動.令表示t時刻粒子的位置,則根據牛頓第二定律,滿足如下的隨機Langevin 方程(參見[15]):

其中,F(x) : Rd →Rd表示外力項, ˙Wt為標準高斯白噪聲,矩陣函數σ(x)代表噪聲的強度,γ> 0為摩擦常數. 在一定的假設條件下,當ε收斂到0 時(即相比于慣性,摩擦力起主導作用),將L2(Ω)收斂到Xt,其中Xt滿足

這一結果被稱為Smoluchowski Kramers 逼近. 其意義在于: 對于小粒子, 我們可以用一階方程(5.19)來近似代替二階牛頓方程(5.18)來描述其運動.

然而,當摩擦常數依賴于物體的位置時,極限方程的形式將會不同.具體地,考慮如下隨機系統:

其中,γ(x)為d×d矩陣值函數.此時,當ε →0 時將L2(Ω)收斂到Xt,其中Xt滿足

這里的S(x):Rd →Rd被稱為由噪音誘導的漂移系數,其第i個分量為

而M(x)滿足Lyapunov 方程

特別地,如果γ(x)和Σ(x)可交換,即γ(x)Σ(x)=Σ(x)γ(x),則有M(x)=γ?1(x)Σ(x)/2.

關于Langevin 方程的Smoluchowski Kramers 逼近,目前已經有很多的研究結果,關于隨機微分方程的情形可參見[5,12,15],而關于隨機偏微分方程的情形可見[9]及其中的參考文獻. 實際上,Smoluchowski Kramers 逼近的問題可以轉化為擴散逼近問題.如果我們定義速度過程