加強幾何直觀的培養 發展數形結合的思想

申東陽

當今課程改革的重點是培養學生的核心素養，數學核心素養主要包括數學抽象，邏輯推理，數學建模，運算能力，數據分析，直觀想象。由此得出幾何直觀在核心素養中的地位和作用可見一斑。

結合學校和聲課堂五步教學模式，在教學實踐中特別注意用數形結合的方式培養學生的幾何直觀能力，用形象化，符號化的語言提煉出數學知識，建立數學模型，從而使學生逐步體會和感知數學思想的魅力！

一、將數形結合起來，形成概念表征

“數”與“形”是數學研究的兩個基本對象，利用“數形結合”方法能使“數”和“形”統一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數”、運用“數”與“式”來細致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題?！皵禑o形時少直覺，形少數時難入微”形象生動、深刻地指明了“數形結合”思想的價值，也揭示了數形結合思想的本質。

例如在解決雞兔同籠問題，即采用假設法解題時，運用數形結合，可以使極為抽象的假設法變得直觀形象。教學中，讓學生理解雞與兔是兩個變量十分困難，教師單純用語言是無法讓學生很好的理解的。采用數形結合，讓學生通過想想——畫畫——再想想——再畫畫，幫助學生理解這雞兔這兩個變量，從而解決問題。同樣在相遇問題、追及問題、和差問題、和倍問題、工程問題、分數應用題、比例應用題、列方程解應用題等許多解決問題的教學中，無不充分地運用數形結合，把抽象的數量關系，通過畫線段圖、集合圖、長方形面積圖、列表格等方式，數形結合，呈現為較為具體直觀的數學符號，使較復雜的數量關系簡單明了，有利于分析題中，化難為易，迅速找出解決問題的方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。

二、加強直觀推理，發展分析問題的能力

直觀推理作為一種滲透力極強的思維形式，可以說是數學直觀的精髓。加強幾何直觀教學并不是只要求學生會構造示意圖或線段圖，能給出數學知識的直觀表征就可以了——因為構圖有時只需要關注一些數學對象的局部元素，缺乏對結構的整體把握——還要充分發揮直觀推理在發現問題、分析問題過程中的作用，注意為學生創造主動思考的機會，鼓勵學生借助幾何直觀進行比較、分析和想象，展開豐富多彩的直觀推理，進而洞察數學對象的結構和關系，獲得數學結論。對學生而言，純文字形式呈現的問題相對比較抽象，僅憑文字敘述有時很難直接看出題中的數量關系。這樣的問題也為學生學習畫圖整理信息、體驗示意圖，在分析數量關系過程中的作用提供了極好的素材。

例如，教學“用畫圖的策略解決實際問題”時，先出示例題：有一塊長形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？我并沒有直接指導學生畫圖，而是通過富有啟發性的問題使學生體會到“光看文字，一下子想不出辦法”，進而誘發畫圖的需要，引起學生學習和探索畫圖策略的動機。對于畫圖方法的指導，我采用“嘗試——講評——完善”的教學策略，先放手讓學生嘗試畫圖，再結合講評對關鍵步驟進行適當的指導，幫助學生學會在示意圖上表示“增加3米”以及標注相關信息的方法，以完善自己所畫的示意圖。完成畫圖后，我引導學生通過比較和交流，感受到“看圖形思考比較方便”，進而啟發學生看圖進行分析和比較，將題目中的相關數量與直觀圖形的意義對應起來，找到正確的解題思路，初步體會示意圖對解決問題的作用。列式解答后，讓學生看圖解釋每一步算式的意思，再一次借助圖形直觀闡釋數量關系的含義，理解列式的依據。最后，引導學生回顧和反思解決問題的過程，討論“為什么要畫圖”，幫助學生進一步梳理借助圖形直觀解決問題的經驗，感受畫圖策略的學習價值。這樣的教學過程，從解決實際問題的需要出發，緊緊圍繞“畫圖”和“用圖”展開，使學生在解決問題的過程中初步學會畫示意圖整理條件和問題的方法，積累一些借助圖形直觀分析數量關系的經驗，并獲得對畫圖策略的深刻體驗。

三、利用直觀探究，發展解決問題的能力

幾何直觀在解決問題的過程中起著提示解題思路、預測結果的作用，是探索數學規律、解決數學問題的有力幫手。學生在開始接觸數學問題時，往往會習慣性地對問題作出一種直觀判斷，這種直觀的判斷起初只是一種直覺、猜想或猜測，也正是這種直覺或猜想以及追求真理的愿望，引領學生展開進一步的探究，并最終解決問題。因此，數學教學要充分發揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，注意引導學生經歷利用幾何直觀把復雜問題轉化成簡單問題的過程，特別是一些可以利用直觀來描述的問題，不必急于給出解決問題的方法，而要鼓勵學生借助直觀提出猜想或猜測，并盡可能地從中找到解決問題的思路或直接利用直觀手段求解，以幫助學生不斷積累利用直觀進行思考的經驗，發展幾何直觀能力和解決問題的能力。

例如引導學生“怎樣把一個正六邊形分割成6個大小相等、形狀相同的圖形”時，孩子們就借助直觀圖形產生了以下的分法和想法：

方法一：把正六邊形平均分成6個完全一樣的等邊三角形。

方法二：先畫出正六邊形的6條對稱軸，然后去掉經過對邊中點的對稱軸，

得到第一種分法;或去掉經過頂點的對稱軸，得到第二種分法。

方法三：先把正六邊形分成3個完全相同的平行四邊形，再把每個平行四邊形分成兩個完全相同的部分，這樣可以得到3種分法。

方法四：只要先找到正六邊形的3條對稱軸，再把3條對稱軸繞中心點旋轉一個角度，就可以得到一種分法，這樣就有無數種分法。

方法五：先把正六邊形分成3個完全一樣的平行四邊形，再畫出它們的一條對角線，這是一種分法，然后把對角線繞它的中點任意旋轉一個角度，只要每次旋轉的方向和度數相同，也一樣得到無數種分法。

師總結：第一種思路是先畫出正六邊形的對稱軸，得到一種分法，再旋轉得到無數種分法;第二種思路是先把正六邊形分成3個完全一樣的平行四邊形，再把對角線進行旋轉。盡管分法都有無數種，但解決問題的思路只有兩種，所以也可以看做是兩種不同的方法。案例中，從把正六邊形平均分成6份到發現圖形旋轉的規律，幾何直觀作為有效的表達工具始終伴隨著學生的解題活動，并啟迪著學生的空間思維，引領學生的思維不斷走向深刻。在分的過程中，無論是由12等分去尋找6等分，還是由3等分去尋找6等分，學生把思考的過程和結果畫出來都是成功解決問題的關鍵。更為難得的是學生在兩種解題思路的啟發下，對分割六邊形的問題有了更深刻、更富有創造性的思考，并得到了無數種分法。而這一過程中，幾何直觀依然是促進并引領學生數學思考的主角。最后，組織學生比較兩種思路的不同，使學生對兩種思路獲得更概括、更理性的認識。整個教學過程中，學生的精彩表現既得益于教師的啟發，更得益于幾何直觀的引領?？傊?，“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數學素質。

幾何直觀已經成為數學界和數學教育界關注的問題，在中學階段如何更好的培養學生的幾何直觀能力，還有待于我們進一步研究，所以平日的工作中要善于觀察、善于思考、善于總結，力爭做一名研究型的教師，培養出能用數學眼光觀察生活，數學語言去表達生活，數學思考去感受生活！871D0703-EFF0-4BF9-9871-6B855483795C