平行泊車路徑規劃與跟蹤控制仿真分析

覃立仁 張成濤 楊航 趙浙棟 譚澤旦

摘? 要：隨著汽車保有量的增多，泊車環境變得復雜，駕駛經驗不足的駕駛員難以安全地完成平行泊車操作，泊車安全性問題成為研究熱點。結合某款車型參數，針對平行泊車的路徑規劃和路徑跟蹤問題進行研究和分析。根據三階貝塞爾曲線的性質，基于車輛運動學采用兩段三階貝塞爾曲線和倒推法規劃出一條無碰撞的參考路徑，利用模型預測控制進行路徑跟蹤，最后通過Simulink與Carsim進行聯合仿真，得到的軌跡曲率連續且安全無碰撞，軌跡跟蹤結果與參考軌跡基本吻合，驗證了利用該方法進行平行泊車的路徑規劃與跟蹤控制的可行性。

關鍵詞：平行泊車;路徑規劃;路徑跟蹤;貝塞爾曲線;模型預測控制

中圖分類號：U491.7? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.03.003

0? ? 引言

隨著科學技術的發展和經濟的增長，汽車逐漸成為重要的交通工具，給人們的出行帶來了便利，但也造成了許多交通事故，其中由泊車引起的交通事故約占1/5。面對復雜的泊車環境，即使經驗豐富的駕駛員也需要小心翼翼地反復調整才能將車輛安全地駛入車位。雖然現在很多汽車都安裝倒車雷達、倒車影像等輔助泊車裝置，但駕駛員的視野仍會受到一定的限制，對車輛周圍的環境觀察不到位，導致泊車過程中與其他車輛、行人等發生碰撞，造成經濟損失或危及人們的生命安全。因此，研究者們對自動泊車系統開展研究，以期能有效解決泊車問題。

對于路徑規劃與跟蹤問題，Kim等[1]采用兩段圓弧添加一段直線的方式來規劃泊車路徑，這種方式雖然簡單，但是得到的路徑曲率不連續，增加了路徑跟蹤難度。Gómez-Bravo等[2]采用兩段相切的圓弧的方式來規劃泊車路徑，基于模糊控制理論設計控制規則，但控制精度不高。Demirli等[3]采用多項式曲線和模糊控制網絡來規劃泊車路徑，但該方法計算量較大。吳中偉等[4-6]采用B樣條曲線進行路徑規劃設計，得到了曲率連續路徑，但是參數較多，求解過程較為復雜。Moon等[7]運用逆向泊車的方式，用貝塞爾曲線和圓弧的方式得到了一條曲率連續的泊車路徑，但利用兩種線形規劃來計算控制點的方式比較復雜。

本文基于貝塞爾曲線的性質采用倒推法進行軌跡規劃，利用兩段三階貝塞爾曲線進行平行泊車參考軌跡規劃，結合車輛和泊車位的約束條件，計算貝塞爾曲線各個控制點的坐標，規劃出一條無碰撞的參考軌跡;結合車輛運動學模型，利用模型預測控制來實現軌跡跟蹤。

1? ? 車輛運動學建模

在泊車過程中，車輛速度一般不會大于10 km/h。假設車輛在行使過程中車輪不會發生側向滑動，沒有產生側向力，車輛的側向速度為0，車輪的側偏角為0°[8]。因此，基于阿克曼轉向原理對汽車運動模型進行簡化，建立車輛運動學模型[9-12]。本文針對低速的泊車場合，基于阿克曼轉向原理建立的車輛運動學模型如圖1所示。

設[xf， yf]為車輛前軸中點坐標，[xr， yr]為后軸中點坐標，[φ]為車身橫擺角，[φ]為橫擺角速度，[χ]和[y]為慣性坐標系下車輛在x軸和y軸的速度，[l]為車輛的軸距，取后軸中心點速度[νr]為整車速度[ν]，[δ]為車輛的前輪轉角。車輛的運動學方程可表示為：

[χ=νcosφ? ?y=νsinφ? ? φ=νtan（δ/l）?χyφ=νcosφνsinφνtan（δ/l）=f1f2f3] .? ? （1）

2? ? 平行泊車參考路徑

2.1? ?參考路徑設計

依據現實生活中的平行泊車情況，初步規劃出平行泊車的參考路徑示意圖如圖2所示。

通過圖2可以看出，平行泊車軌跡中間的曲率變化率較大，而利用兩段三階貝塞爾曲線可以擬合曲率變化較大的曲線，因此，本文采用兩段三階貝塞爾曲線來規劃出平行泊車的參考軌跡。

假設[A]、[B]、[C]和[D]是曲線[AD]的貝塞爾曲線控制點，那么以[u]為參數變量的三階貝塞爾曲線方程可以表達如下：

[Q（u）=A（1-u）3+3B（1-u）2u+]

[3C（1-u）u2+Du3] .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

貝塞爾曲線[13]具有以下特性：

1）在貝塞爾曲線中，只有起點和終點在曲線上，其他點均為調整曲線形狀和結束的控制點;

2）貝塞爾曲線通過起始點和終止點，并與起始點和終止點的折線相切，在對泊車路徑進行規劃時，可根據曲線的起始點和終止點的切線方向確定泊車起始點姿態和目標點姿態;

3）至少需要三階貝塞爾曲線才能生成曲率連續的路徑，三階貝塞爾曲線均由2個端點和2個柄點共4個控制點進行控制，其中每個控制點的改變，均會影響這段曲線的所有部分[14]。

2.2? ?控制點的選擇

根據貝塞爾曲線的特性并聯系實際平行泊車情況，利用倒推法（安全停放在車位里的車輛駛離車位進入道路）確定平行泊車參考軌跡貝塞爾曲線的控制點坐標。忽略后視鏡的影響把車輛看作一個長方形，首先尋找第一段貝塞爾曲線軌跡的控制點，如圖3所示。車輛在停車位時，車尾與泊車位的后邊線存在一段安全距離，記為[S1]，與旁邊邊界存在一段安全距離，記為[d]。根據車輛結構和環境條件的約束，車輛駛離停車位時車頭右前端要與泊車位前角保持一段安全距離，記為[S2]，這樣才能保證車輛的泊車安全。

假設車輛后懸的長度為[Lf] ，車身寬度為[W]，則第一段貝塞爾曲線軌跡的第一個控制點[A]的坐 標為：

[A（x， y）={S1+Lf，-W2-d}] .? ? ? ? ?（3）

根據阿克曼轉向原理可知，車輛的轉向中心點位于車輛后軸的延長線上，泊車過程中車輛處于位置[P]的后軸延長線與車輛處于位置[P1]的后軸延長線相交于一點[Z]，即Z點為車輛的轉向瞬心。車輛從位置[P]行駛至位置[P1]時，轉過的角度為[θ]，如圖3所示。設車輛在此參考位置的轉向半徑為[R1]，根據幾何關系算出[θ]的值和第三個控制點[C]的坐標。

設停車位長度為[Lp]，車輛軸距為l，前懸長度為[Lb]，則[θ]的值為：

[θ=arctanLp-S1-S2-LfR1-0.5W-d-]

[arctanl+LbR1+0.5W] .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

控制點[C]的坐標為：

[Cx， y={S1+Lf+R1 sinθ，R11-cosθ -0.5W-d}] .? （5）

由于泊車結束時要保證車輛平行于泊車位，則第一個控制點[A]處的斜率應該為0。根據三階貝塞爾曲線的性質（三階貝塞爾曲線起點處的斜率由前2個控制點決定，終點處的斜率由后2個控制點決定），第二個控制點[B]應該和第一個控制點[A]處于同一水平線上，如圖3所示。根據幾何關系可以算出第二個控制點[B]的坐標為：

[Bx， y=Cx-Cy-Aytanθ，Ay].? ? （6）

第一段貝塞爾曲線軌跡的第四個控制點如圖4所示。為了保證車輛駛離泊車位進入道路時車尾不與泊車位前角發生碰撞，所以車輛繼續向前行駛，直到車輛的后軸延長線與車身相交的點和泊車位的前角存在一段安全距離后，才能保證泊車的安全性，所以第四個控制點為車輛在此參考位置的后軸中心點[D]。

根據幾何關系可計算出第四個控制點[D]的坐標為：

[Dx， y={C（x）+（l+Lb）cosθ，C（y）+（l+Lb）sinθ}].? ?（7）

至此，第一段貝塞爾曲線的4個點已經全部求出，需要調整方向駛入道路。根據貝塞爾曲線的性質（貝塞爾曲線通過起始點和終止點，并與起始點和終止點的折線相切），第二段貝塞爾曲線軌跡的起點[A1]必然經過第一段貝塞爾曲線的第四個點[D]，所以第二段貝塞爾曲線軌跡的起點[A1]為：

[A1x， y=Dx， y] .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

為了保證泊車軌跡的平順，兩段貝塞爾曲線的相交處斜率相同，所以第二段貝塞爾曲線軌跡的第二個控制點[B1]應在第一段貝塞爾曲線的控制點[BC]的延長線上。由于泊車的初始點車身擺正與車位平行，所以車輛要轉過[θ]角度才能保證車身擺正，因此，車輛轉過[θ]角度后的后軸中心為第二段貝塞爾曲線軌跡的第三個控制點[C1]。為了避免泊車起始就原地轉向，在[C1]點前1 m處設置一個新的起點[D1]給車輛一個緩沖，則[D1]為第二段貝塞爾曲線軌跡的最后一個控制點。[C1D1]的延長線與[BC]的延長線交于一點，這個點為第二段貝塞爾曲線軌跡的第二個控制點[B1]。第二段貝塞爾曲線軌跡的控制點如圖5所示。

[Z1]點為車輛的轉向瞬心，[R2]為轉向半徑。根據幾何關系可以求出第二段貝塞爾曲線軌跡的所有控制點的坐標。

[C1]的坐標為：

[C1x， y={A1（x）+R2 sinθ，A1（y）+R2（1-cosθ）}] ，? ? （9）

[D1]的坐標為：

[D1x， y={C1x+1，C1 y}] ，? ? ? （10）

[B1]的坐標為：

[B1x， y=A1x+C1y-A1ytanθ，D1y]. （11）

綜上，兩段三階貝塞爾曲線規劃出來的平行泊車參考軌跡的所有控制點的坐標表達式已經全部 求出。

2.3? ?生成參考軌跡

參考軌跡與車輛參數和泊車位參數有關?，F選用某車型作為研究車輛，其參數如表1所示。

小型平行泊車位的標準尺寸為長6 m，寬2.5 m[15]。把目標車輛參數和泊車位參數代入平行泊車參考軌跡控制點的坐標表達式，求出所有控制點的坐標。各控制點的坐標如表2所示。

將表2中各控制點的坐標代入MATLAB的貝塞爾曲線程序，生成兩段三階貝塞爾曲線，即為平行泊車參考軌跡，如圖6所示。

3? ? 車輛泊車路徑跟蹤控制

運動控制作為平行泊車的重要組成部分，只有規劃合適的泊車路徑和合理的軌跡跟蹤才能保證泊車成功。

模型預測控制是一種特殊的控制方法，是一種多變量控制策略，是通過描述系統動力學的系統模型來預測未來的狀態和輸出，然后根據目標函數計算系統的最優控制輸入[16-18]。

3.1? ?模型

車輛運動學模型的運動方程為式（1）。

設選取的狀態量為[χ=[x， y， φ]T]，選取的控制量為[u=[ν， δ]T]，對于參考軌跡的任意一個參考點用[r]表示，將式（1）改寫成：

[χ=fχ， u?χr=f（χr， ur）] .? ? ? ? ?（12）

該車輛運動學模型非線性，需要將其線性化?；谶\動高等數學中泰勒級數展開的思想將其線性化：

[χ=f（χr， ur）+?f（χ， u）?χ（χ-χr）+?f（χ， u）?uu-ur] . （13）

進行前向歐拉離散化得到：

[χ=χ-χry-yrφ-φr?χ=Mχ+Nu] ，? ? ? ? ?（14）

[M=?f?χ=00-νrsinφr00νrcosφr000]，? ? ? ? ? ? （15）

[N=?f?u=cosφrsinφrtanφr/l00νr/lcos2δr] .? ? ? ? ?（16）

此時獲得了非線性運動模型。但基于MPC的原理，需要利用運動學模型進行遞歸運算，將連續的運動學模型轉換成離散的運動學模型，利用數值分析中的前向歐拉離散化，得到：

[χk+1=TM+Eχk+TNuk=Mχk+Nuk].（17）

其中：[T]為采樣時間，[E]為單位向量。

基于MPC控制理論，控制量需要用控制量差值來表示，因此，需進一步改進該模型，構建新的狀態向量：

[ξk=χkuk-1] ，? ? ? ? ? ? ? ?（18）

[ξk+1=χk+1uk=Mξk+NΔuk] .? （19）

得到新的狀態空間表達式，可以對該表達式進行改進，得到輸出方程：

[ηk=ENx0χkuk-1=Gξk] .? ? （20）

3.2? ?預測

利用線性誤差模型構建預測時域內的狀態量誤差輸出量。

構建好線性誤差模型后，利用該模型進行狀態量誤差預測。本文已經由[ξ（k）]預測出了[ξ（k+1）]，需預測未來[Np]個時刻的[ξ]，推導流程如下：

[ξ（k+1）=Mξ（k）+NΔuk，ξ（k+2）=M2ξ（k）+MNΔuk+NΔu（k+1），ξ（k+3）=M3ξ（k）+M2NΔu（k）+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? MNΔu（k+1）NΔu（k+2），? ? ? ? ? ? ? （21）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ξ（k+Np）=MNpξ（k）+MNp-1NΔu（k）+? ? ? ? ? ? ? ? MNp-2NΔu（k+1）+M0NΔu（k+Np-1）.]

[ηk+1=GMξk+GNuk，η（k+2）=GM2ξ（k）+GMNΔu（k）+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?GNΔu（k+1），η（k+3）=GM3ξ（k）+GM2NΔu（k）+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? GMNΔu（k+1）+GNΔu（k+2）， （22）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?η（k+Np）=GMNpξ（k）+GMNp-1NΔu（k）+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?GMNp-2NΔu（k+1）+…+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?GM0NΔu（k+Np-1）.? ? ? ? ? ? ? ? ? ]

[Np]為模型預測算法中的預測時域。綜合上述推導，可以得到輸出方程：

[Y=Ψξk+ΘΔU] .? ? ? ? ? ? ? （23）

其中：

[Y=ηk+1ηk+2?ηk+Np，Ψ=GMGM2?GMNp， ΔU=Δu（k）Δu（k+1）?Δu（k+Np-1），]

[Θ=GN0…0GMNGN…0???GMNp-1NGMNp-2N…GM0N] .

3.3? ?控制

構建目標函數和約束方程。

將目標表達式用二次型表示，得到目標函數：

[J=YTQQY+ΔUTRRΔU] .? ? ? ? ? （24）

其中：[Q]為輸出權重矩陣，[R]為控制增量權重矩陣。在控制過程中希望只有控制量增量這一個自變量，因此，對表達式進行變換：

[I=Ψξk ，QQ=ENp?Q ，RR=ENp .]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）

式中：[?]為克羅內克積。

得到目標函數：

[J=ΔUT（ΘTQQΘ+RR）ΔU+2ITQQΘΔU-]

[YrQQΘΔU+ITQQI+YrTQQY-2YrTQQI] .? （26）

MPC約束函數主要是針對控制量的增量以及控制量，由于本文控制的輸入是控制量的增量，因此定義：

[ΔUmin≤ΔU≤ΔUmax] .? ? ? ? ? ? ?（27）

[Umin]和[Umax]分別為控制時域內控制量的最小值、最大值集合。

對于控制量的約束，需要進行公式遞推，進而利用控制量增量來表達。已知某一時刻的控制量可以由上一時刻的控制量和這一時刻的控制量增量組成，即：

[uk=uk-1+Δuk+1，uk+1=uk-1+Δuk+Δuk+1，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （28）uk+Nc-1=uk-1+Δuk+? ? ? Δuk+1+…+Δuk+Nc-1.]

式中：[Nc]為控制時域。

將式（28）改寫成：

[U=uk-1uk-1?uk-1+E000EE00????EEEEΔukΔuk+1?Δuk+Nc-1] .? （29）

式（29）可簡化為：

[U=Ut+M1ΔU] .? ? ? ? ? ? ? ?（30）

利用控制量的約束，將約束函數改寫成控制量增量的形式：

[uminumin?umin≤ukuk+1?uk+Nc-1≤umaxumax?umax] .  ? ? ? ?（31）

式（31）可簡化為：

[M1ΔU≤Umax-U ，-M1ΔU≤Umin-Ut .]? ? ? ? ? ? ? ?（32）

4? ? 基于Carsim與Simulink的聯合仿真試驗

4.1? ? 基于Carsim的仿真模型設置

試驗車輛參數設置如圖7所示。以Carsim數據庫中的E-Class、 Sedan車作為原型進行建模，根據試驗車的參數，在軟件中設定好仿真車輛的整車質量、尺寸、軸距、轉動慣量等主要參數，其他參數默認為數據庫原型車的本來參數。

試驗泊車位場景如圖8所示。根據小型平行泊車位的標準尺寸（長6 m，寬2.5 m），搭建了3個平行泊車位。選擇直線道路，路面摩擦系數為0.85。

4.2? ?聯合仿真模型搭建

聯合仿真模型如圖9所示，主要由Carsim車輛模型、MPC追蹤算法模型、停車制動模型、車輛前輪轉角轉換模型和車輛橫、縱坐標轉換模型? ? ?組成。

Carsim車輛模型：輸入左、右前輪轉角和制動主缸壓力，輸出車輛當前行駛狀態的橫、縱坐標和車輛橫擺角。

MPC追蹤算法模型：輸入車輛當前行駛狀態的橫、縱坐標和車輛橫擺角，輸出前輪轉角。

停車制動模型：當檢測到車輛實際行駛狀態的橫坐標到達終止值時，給車輛發送制動信號使其 停車。

車輛前輪轉角轉換模型：由于Carsim模型使用角度制，而Simulink使用弧度制，需要進行數學轉換。Simulink中MPC追蹤模型輸出的前輪轉角是車輛模型的前輪轉角，需要轉換成Carsim模型中的前輪左、右轉角。

車輛橫縱坐標轉換模型：由于Carsim模型的橫、縱坐標是基于質心點，而Simulink中MPC追蹤模型所使用的車輛橫、縱坐標是基于后軸中心，因此，Carsim模型中輸出車輛的橫軸坐標和車輛橫擺角時需要進行數學轉換。

5? ? 聯合仿真試驗結果分析

通過Simulink將聯合仿真模型進行仿真，將得到的聯合仿真泊車軌跡與參考軌跡進行對比分析，泊車軌跡與參考軌跡如圖10所示，其中小圖為軌跡的局部放大圖。由圖可以看出，泊車軌跡與參考軌跡基本吻合，說明設計的MPC模型的跟蹤效果較為良好。

通過Simulink運行聯合仿真模型，得到泊車過程中前輪轉角的變化如圖11所示?？梢钥闯?，車輛的車輪轉角最大值約為29°，小于允許的最大值30°;泊車過程中前輪轉角的變化是連續的，而且比較平緩。

通過Carsim軟件運行聯合仿真模型后，在Carsim中搭建的試驗車泊車位場景中觀察車輛的運行狀態，車輛泊車軌跡跟蹤如圖12所示。圖12（a）為車輛在泊車起始位置的狀態，此時車輛與車位平行且與車位保持一定的安全距離;圖12（b）為車輛泊車過程中車輛后輪即將進入泊車位的狀態，此時車輛后輪與車位的右前角保持一定的安全距離，沒有造成壓角;圖12（c）為車輛泊車過程中車輛前輪即將進入泊車位的狀態，此時車輛前輪與車位的右前角保持一定的安全距離，沒有造成壓角;圖12（d）與圖12（e）為車輛泊車結束的狀態，可以看出車輛與泊車位四周的畫線都保持一定的安全距離;圖12（f）為平行泊車全過程的狀態，可以看出車輛安全進入了泊車位，成功地進行了泊車操作。

由此可知，本試驗所規劃的泊車參考軌跡能滿足該試驗車的安全泊車要求，所設計的軌跡跟蹤方法能使該試驗車具有良好的跟蹤軌跡，在此條件下，該試驗車能安全地完成泊車操作。

6? ? 結論

利用兩段三階貝塞爾曲線規劃泊車參考軌跡可解決軌跡曲率不連續的問題，可以得到比較平滑的泊車軌跡。根據車輛參數與車位參數計算出控制點，生成合適該參數的泊車軌跡，通過仿真驗證了該軌跡規劃方式在平行泊車中的可行性。針對軌跡跟蹤的復雜性，選用模型預測控制跟蹤算法，將運動學模型線性化、離散化，構建新狀態向量，得到線性誤差模型;利用線性誤差模型構建預測時域內的狀態量誤差輸出量，構建目標函數和約束方程;最后通過仿真驗證了該算法在平行泊車軌跡跟蹤方面的可行性。

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Parallel parking path planning and tracking control

simulation analysis

QIN Liren， ZHANG Chengtao*， YANG Hang， ZHAO Zhedong， TAN Zedan

（School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545616， China）

Abstract： Parking safety has become a hot topic of current research as the inexperienced drivers cannot complete parallel parking operation in complicated parking environment with the increase of the number of cars. This paper studies and analyzes the path planning and path tracking of parallel parking based on the parameters of a certain vehicle model. Firstly， a collision-free reference path is drawn based on vehicle kinematics with two third-order Bezier curves and backward inference method. Then the path tracking is carried out by using model predictive control. Finally， Simulink and Carsim? ? ? ? ? co-simulation are conducted. The results show the obtained trajectory curvature is continuous and safe without collision. The trajectory tracking result is consistent with the reference trajectory， which verifies the feasibility of the proposed method for parallel parking path planning and tracking control.

Key words： parallel parking; path planning; path tracking; Bezier curve; model prediction control

（責任編輯：黎? 婭）