一道異面直線所成角問題的多解

山東省青島市西海岸新區致遠中學 (266000) 馬長艷

求兩條異面直線所成角是高中數學立體幾何中的常見題型，是學習直線與平面所成角以及平面與平面的夾角的基礎. 解決這類問題常用的方法有幾何法和向量法. 幾何法一般是找到平行線進行平移，使兩條直線相交于一點，將空間問題轉化為平面問題.向量法主要是基底和坐標法，借助空間向量的數量積公式，轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得. 此外，還可以考慮補形或者利用定理公式來解決.

圖1

圖2

注：若平面外的一條斜線與平面形成的角為θ1，平面內任一條直線與這條斜線所成銳角或直角為θ，這條直線與該斜線在平面內的投影所成銳角或直角為θ2，則有cosθ=cosθ1·cosθ2，這一關系被稱為三余弦定理.

圖3

圖4

點評：求異面直線所成角問題中體現了轉化的數學思想. 通過幾何法解決異面直線求角，把空間問題轉化為平面問題，運算簡單，但通過平移找到異面直線所成角比較困難，往往出現“形難數易”的情形. 用向量法求解，入手簡單，很容易實現從“形”往“數”的轉化，將幾何問題轉化為代數問題，降低了思維難度，但相比而言運算量大.在實際解題中，空間直角坐標系的建系和相關點坐標的確定也是向量法中的難點. 補形法，體現了通過圖形的等價轉化，把問題轉化為易于處理的幾何體.在實際解題中，利用定理和公式也能夠實現快速解題. 在處理這類問題中，要因題而異，靈活選擇.