巧用分解兩理并列

邵貝

摘要：帶電粒子在電場磁場中的運動問題是高考的重難點內容.本文從帶電粒子在勻強電場、勻強磁場中運動模型出發，通過分解，列出分方向上的動能定理、動量定理，并例舉了帶電粒子在勻強電、磁場以及非勻強磁場、復合場等各類考題，從而歸納出簡潔易懂的解題思路.

關鍵詞：帶電粒子;分解;動量;動能

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0103-03

帶電粒子在電場磁場中的運動形式頗多，如在勻強電場中的勻變速曲線運動，勻強磁場中的勻速圓周運動，以及在復合場中的復雜曲線運動等，但無論是哪種運動，都離不開運動的分解，以及動能定理和動量定理的參與.因此，本文就帶電粒子運動的分解，結合能量和動量進行展開.

1 帶電粒子在勻強電場運動模型剖析

帶電粒子垂直射入勻強電場中，不計重力，如圖1所示.在水平方向上，由于不受力，粒子做勻速直線運動x=v0t，vx=v0，在豎直方向，粒子做初速度為0的勻加速直線運動y=12at2，vy=at，得到其運動軌跡如圖2所示，是一條拋物線.

根據動能定理有：qEy=12mv2-12mv20，豎直方向上的動量定理有qEt=mvy-0.則粒子在電場中某點的速度為v20+2Eqym，運動時間為2myEq，其思維框圖可參考圖3.

電場強度E質量m電荷量q初速度v0—x方向—vx=v0x=v0t

y方向—動能定理：qEy=12mv2-12mv20動量定理：qEt=mvy-0

2 帶電粒子在勻強磁場中運動模型剖析

平面上充滿垂直平面向外的勻強磁場，如圖4所示，磁感應強度大小為B，電荷量為q、質量為m的正離子，以速度v0垂直射入勻強磁場.根據Bqv0=mv2oR，粒子做圓周運動的半徑R=mv0qB，粒子出磁場時，速度方向仍和邊界夾角為θ.

如圖5所示，在x方向列出動量定理：Bqvy·t=mv′x-mvx，離子從x軸出發，回到x軸，vy-·t=0，則水平分速度不變;在y方向列出動量定理：Bqvx·t=mv′y-m（-vy），進行求和，可列出∑Bqvx·t=mvy-m（-vy）=2mvy，其中vy=v0sinθ，vx-·t=x0，所以得到水平位移x0=2mv0sinθBq.其思維框圖如圖6所示.

磁感應強度B比荷qm夾角θ初速度v0—x方向—動量定理：Bqvx·t=mvy′-m（-vy）

y方向—動量定理：Bqvy·t=mvx′-mvx

3 以帶電粒子在電場、磁場為背景的例題分析

培養學生分析問題、解決問題的能力，發展核心素養，是當下高考命題的導向.通過以下例題的分析，希望能提高學生對問題的歸納和處理能力.

3.1 帶電粒子在勻強電場中

例1（2020全國1卷）在一柱形區域內有勻強電場，柱的橫截面積是以O為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖7所示.質量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內自A點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方向垂直.已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°.運動中粒子僅受電場力作用.（1）求電場強度的大小;（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進入電場時的速度應為多大？（3）為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為mv0，該粒子進入電場時的速度應為多大？

點評本題分析帶電粒子在勻強電場中的運動，帶電粒子垂直射入電場，在垂直電場方向，粒子做勻速直線運動，在沿著電場方向，粒子做初速度為0的勻加速直線運動，沿電場線方向移動距離最多則粒子動能增量最大，求解得到結果.

3.2 帶電粒子在勻強磁場中

例2（高考模擬）在芯片制作過程中，涉及硅粉在磁場中的偏轉和吸收，情景可以簡化為如下：如圖9中（a）所示：在14圓形區域OAB中有垂直于該平面的勻強磁場，磁感應強度為B，硅粉可視為質量為m，帶電量為+q的帶電粒子，硅粉從靜止開始經U的加速電壓加速以后從AB邊界的中點C垂直OA邊界進入磁場，經過磁場作用以后恰好從OB邊界的中點D垂直OB邊界離開磁場.忽略硅粉的重力和硅粉之間的相互作用力.（1）求圓形區域OAB磁場的半徑R.（2）如圖9中（b）所示：如果同時有N（N很大）個硅粉在C點上下0.4R的范圍內均垂直AO方向入射，并且如圖建立xOy坐標系，在OB邊界下方0.2R處有一個平行x軸的無限長接收屏EF.硅粉碰到接收屏后完全吸收不反彈.①求所有硅粉通過x軸時，有硅粉通過區間的x值范圍;②如果這N個硅粉經過的場偏轉后通過x軸時空間上沿x軸均勻分布，求足夠長時間后接收屏EF受到的所有硅粉的總沖量.

點評本題重點突出帶電粒子在勻強磁場中的運動情形，利用洛倫茲力豎直分力的沖量改變豎直分速度，而豎直分力又只跟水平分速度有關，列出豎直方向的動量定理，最終累加，得出總的豎直方向的沖量.

3.3 帶電粒子在非勻強磁場中

例3（高考模擬）極光是地球周圍的一種大規模放電過程.來自太陽的帶電粒子流到達地球附近，地球磁場迫使其中一部分向南北兩極集中.當他們進入極地的高層大氣時，與大氣中的原子和分子碰撞并激發，產生光芒，形成極光.假如沒有地球磁場，帶電粒子就直射地球，生命將無法存在.為了研究地磁場對來自太陽帶電粒子的作用過程，建立如圖10中（a）模型，近似認為地磁場在赤道上空附近為環形狀勻強磁場，磁感應強度為B，如果太陽噴發的高能帶電粒子流在赤道平面內射向地球，假設粒子流中的質子以相同的速率v0接近地球，若質子的質量為m，電量為q，已知地球半徑為R，求（1）若質子沿任意方向射向地球，則地磁場厚度d至少為多少才能保證所有質子都不到達地表;（2）若質子垂直地表指向地心方向入射，則地磁場厚度d至少為多少才能使質子不到達地表; （3）實際赤道上方的地磁場是隨空間位置變化的，為了研究非均勻地磁場對帶電粒子的偏轉，小明同學建立了一個理想模型如圖10（b）進行研究，設有很多方向均為垂直紙面向里，間距均為d（d很?。?，磁場分界線水平的勻強磁場區域，從上向下磁場依次增強，第一區域磁感應強度為B0，下面各區域磁感應強度依次為2B0、3B0、……，當質子垂直磁場邊界從上方入射時，磁場的總寬度約為多少時，質子不會射穿地磁場？（n1取n（n+1）=n2）

點評本題重點突出帶電粒子在非勻強磁場中的運動情形，利用洛倫茲力的水平分力的沖量改變水平動量，而豎直分速度決定了水平分力，從而列在水平方向的動量定理，最終通過不同洛倫茲力的累加，得出結果.

3.4 帶電粒子在復合場中的運動

例4（2021山東卷第17題（題目略））

點評本題分析帶電粒子在電場、磁場的復合場中運動，在水平方向，只受洛倫茲力，粒子做勻速圓周運動，在豎直方向，只受電場力，做勻減速直線運動，兩個分運動時間相等，緊緊抓牢合運動和分運動的關系進行求解.

參考文獻：

[1]?王偉民，辛存良.2020全國高考物理 1卷壓軸題的兩個變式及解析[J].物理教學探討，2021，39（6）：41-43.

[責任編輯：李璟]