李永紅,梁 振
(中南林業科技大學土木工程學院,湖南 長沙 410004)
優化設計的時候,每次迭代設計參數發生變化,需要對模型重新分析。大規模問題,單次采用有限元法計算需花費較長的時間,影響優化設計的效率。近年來,縮減基法(reduced basis method,記作RBM)作為實時算法被用于各個領域。Milani R等[1]用縮減基法求解多參數線彈性問題。劉玉秋等[2]將縮減基法引入船舶制造結構。李永紅等[3]將縮減基法用于蜂窩梁結構。馬營利等[4]將縮減基法用于礦用車架。熊景林[5]將縮減基法用于沖壓模具結構??s減基法需要預先知道設計參數與線彈性算子的關系,李永紅等[6]結合ANSYS,對縮減基法改進,得出單元線彈性算子與設計參數相關的表達式。
不同采樣方式選取樣本參數,構造減基矩陣,對改進縮減基法的結果有影響。本文按照三種分布方式選取樣本參數,以平面框架結構為例比較不同樣本參數計算結果的精度。
結構進行求解時,設計參數發生變化,用有限元法計算得到的各點位移組成高維解空間。結構的靜力平衡方程為:
式中 μ——設計參數;
K(μ)——結構剛度矩陣;
u(μ)——結構的結點位移向量;
F——結構荷載向量;
X——真實的高維解空間;結構總自由度為n。
選取N組樣本參數,用有限元法求出對應結構的位移u(μ)。這N組位移構成減基矩陣Z,寫成如下形式:Z=[u(μ1),u(μ2),…,u(μN)]。u(μi)(i=1,2,…,N)是線性無關的。當取新的設計參數μnew時,對應結構的位移可以看作是減基矩陣Z中各項的線性組合,即:
式中 a(μnew)——系數向量。
由能量最小原理并結合式(2),可得到:
其中KN(μnew)=ZTK(μnew)Z,FN=ZTF。
線彈性結構的剛度矩陣K(μ)可按照是否與設計參數相關分為兩個部分,表示為下列形式:
式中 σq(μ)——與設計參數相關的函數關系;
Kq——與設計參數無關的矩陣;
Q——剛度矩陣中設計參數能夠分離的項數。
基于這種分解,縮減基法可以進行快速有效的實時計算。把式(4)代入式(3),令KqN=ZTKqZ(q=1,2,…,Q),可寫成:
縮減基法將整個計算過程分為離線階段和在線階段。在離線階段,將設計參數從剛度矩陣分離出來,選取樣本參數,用有限元法計算得到的位移組成減基矩陣Z,預先算好KqN。在線階段,取新設計參數時,算出σq(μnew),由式(5)求得a(μnew)。代入式(2),可得到縮減基法的位移解。式(5)的方程是N×N的,遠小于式(1)的維度n×n。
各項都算出可組成KqN。取新設計參數時,結合縮減基法求解出位移解uGRBM(μnew)。
KqN計算過程如下:
1)分析所求結構的單元類型,用ANSYS建立該單元類型的簡單模型。不斷改變設計參數,找出線彈性算子與設計參數的聯系。
2)選取多組設計參數,在ANSYS中提取對應結構的整體剛度矩陣。
3)用式(6)計算出與設計參數無關部分,集合得到KqN。
結構選取何種采樣方式構建樣本空間,對改進縮減基法的計算結果有一定影響。分別用對數函數、均勻函數、切比雪夫函數采樣構成樣本空間來研究。對數函數采樣:
均勻分布函數采樣:
切比雪夫函數采樣
式中 μi——結構的樣本參數;
μmax——結構設計參數允許變化的最大值;
λ——設計參數下限μmin在函數中使用具有意義的比例系數。
以多層框架結構為例,取其中的一榀平面框架結構進行分析。如圖1所示,該模型有540個單元,521個節點,共有1 563個自由度。結構所受荷載如圖2所示。
圖1 平面框架結構的有限元模型
圖2 結構荷載情況
本框架結構選取彈性模量E,梁單元的截面面積A兩個設計參數。對這兩個參數分別采取對數函數、均勻分布、切比雪夫函數采樣,得到這三種分布方式對應的樣本參數,構建成樣本空間WN,用ANSYS軟件計算對應結構位移,組成減基矩陣。選取新設計參數時,分別用有限元法和改進縮減基法計算輸出,以有限元結果為精確解,如下式計算改進縮減基法的相對誤差:
式中 S=FuFEM;S'=FuGRBM。
選取新設計參數時,采用改進縮減基法對結構進行計算。圖3、圖4對三種采樣方式計算結果的誤差進行比較,隨著E、A樣本數的增多,誤差越來越小。
圖3 E不同采樣方式結果的相對誤差
圖4 A不同采樣方式結果的相對誤差
本文采用三種函數采樣方式構成樣本空間,比較改進縮減基法結果的相對誤差。分析同類型單元組成的簡單結構,結合ANSYS提取剛度矩陣,得到分離關系。對縮減基法進行改進,計算出與設計參數無關的矩陣。以平面框架結構為例采用對數函數、均勻分布、切比雪夫函數方式選取樣本參數,樣本數較少時,均勻分布采樣結果精度較高;隨著樣本數增多,對數分布與均勻分布采樣結果精度趨于接近。