衛星姿態控制的變結構滑?？刂品椒?/h1>
2022-07-19 02:57李由史夢芯
西安交通大學學報 2022年7期
李由,史夢芯
(西安電子科技大學空間科學與技術學院,710126,西安)
衛星的姿態控制對于航天技術的發展和應用起著關鍵作用,并且隨著航天技術的日益發展和廣泛應用,衛星的姿態控制問題越來越受到人們的關注。目前,已有許多研究人員對于衛星姿態控制的基本理論和問題進行了探究[1-4],這些成果對于實際工程起著重要作用?；？刂谱鳛檠芯啃l星的姿態控制的眾多研究方法之一,雖然在滑模面上的系統狀態具有魯棒性強、穩態精度高等優點,但是滑?？刂圃谑諗克俾史矫娲嬖诓蛔?并不能滿足對快速機動衛星的收斂速率要求。這就要求設計新的滑?？刂品椒M足衛星控制系統快速收斂的要求。
對于經典滑?？刂品椒?針對系統狀態的有限時間收斂和良好穩定性的問題,馮昱澍等[5]在考慮擾動存在的情況下,為提高閉環系統的魯棒性等特性,設計出自適應積分滑?？刂破?而宋杉等[6]設計出自適應固定時間滑?？刂破?。王小婷[7]針對撓性衛星姿態系統外部干擾上界未知的問題,結合干擾自適應律和滑?？刂圃O計了干擾自適應滑?？刂破?。上述研究和所涉及的控制方法都利用了滑?？刂?但是針對滑?？刂频氖諗克俾瘦^低這一缺點并沒有進行研究和解決。
對于變結構滑?？刂品椒?梁健等[8]針對敏捷衛星大角度姿態機動的問題,考慮變結構控制的系統參數變化和干擾具有很強的魯棒性等特點,設計了基于變結構滑?？刂破鞯拿艚菪l星姿態機動方法。董超等[9]針對柔性航天器撓性附件振動與姿態機動耦合降低控制精度的問題,考慮控制力矩抖振和系統參數魯棒性差等缺點,設計了改進的變結構滑?？刂破?。變結構滑?？刂瓶梢院芎玫馗纳平浀浠？刂圃谑諗克俾史矫孑^低的問題,但是上述研究并沒有將變結構滑?？刂婆c其他控制方法進行比較,得出變結構滑?？刂频膬炘教匦?。
對于滑?？刂品椒ㄔ趯嶋H工程中的應用,王家琪等[10]為保證控制系統的控制效果,針對抑制控制系統中的不確定性和外干擾等問題,考慮提高收斂速度的要求,設計了一種基于干擾觀測器的新型滑?？刂坡?。唐寅峰等[11]針對清理太空垃圾和利用太陽能的問題,并考慮消除彈射系統對空間太陽能電站的姿態影響,結合雙環滑模變結構控制方法設計了空間太陽能電站。眾多研究者在研究衛星控制系統時都利用了變結構滑?？刂品椒╗12-16]。在上述的工程應用中,作者只是應用滑?？刂苼硌芯肯到y的穩定性和魯棒性,并沒有將收斂速率作為研究問題進行研究。此外在實際工程中,尤其在航天領域有許多特定系統都有力矩上界和角速率范圍[17],這些重要因素也必須要著重考慮和研究。
對于經典滑?？刂坪妥兘Y構滑?？刂?不僅在航天科技方面得到應用,而且在機器人[18]、機械臂[19]、同步電機[20-21]、無人機[22]、Vienna整流器[23]、導彈制導[24]、溫度控制[25]等方面都有廣泛應用。這足以證明經典滑?？刂坪妥兘Y構滑?？刂圃诒姸嗫萍碱I域都有利用價值,因此發展和研究滑?？刂茖萍及l展有著重要的推進作用。
針對衛星姿態機動控制問題中經典滑?？刂拼嬖谑諗克俾瘦^低的缺陷,設計了一種變結構滑?？刂品椒?。其主要的優勢在于其維持了經典滑?？刂破鹘Y構簡單、魯棒性強的優勢,還大幅度提升控制系統的收斂速率。此外本文還討論系統參數與控制力矩幅值、角速度幅值之間的約束關系,保證了控制器全程不超其上界。利用Lyapunov穩定性理論證明控制器的全局穩定性,最后通過數值仿真驗證本文所提出的變結構滑?？刂破鞯挠行院蛢炘叫?。
1 數學模型
剛體衛星的姿態動力學模型可以寫為
(1)
(2)
同時注意到在實際工程應用中轉動慣量矩陣J一般無法做到精確已知,因此令
(3)
基于四元數描述的衛星姿態運動學模型的表達式為
(4)
式中:q0為姿態四元數標部;qv為姿態四元數矢部。矩陣F的奇異值滿足如下性質
λM(F)=1
(5)
若無特別說明,在本文中,以λ(A)、λm(A)、λM(A)分別表示矩陣A的奇異值、最小奇異值與最大奇異值。
2 變結構滑?？刂破?/h2>
一般在衛星姿態控制領域,經典的滑?？刂浦谢Ｃ娼Y構可以寫為
s=ω+kqv,k>0
(6)
當系統狀態位于該滑模面上時有
ω=-kqv
(7)
以及
(8)
根據式(6)和式(7)可以看出,系統在該滑模面上具有指數收斂的特性。值得注意的是該滑模面的重要特性之一是角速度與四元數矢部的反向,同時歐拉角的運動學方程表示為[1]
(9)
式中:α為姿態角速度與歐拉軸亦即姿態四元數矢部的夾角。
從式(9)可以得出,在角速度范數一定的條件下,角速度與四元數矢部反向時歐拉角具有最快的收斂速率,這也就意味著在該條件下系統對于角速度的利用效率最高,正是因為如此經典滑?？刂品椒ㄔ谔岢鲋蟮玫搅吮姸鄬W者的關注。
經典滑?？刂破鞯囊淮蟊锥嗽谟谄漭^慢的收斂速率,經典滑模面鎖定滑模參數k的做法使得衛星的姿態角速度范數始終正比于姿態四元數范數,而隨著系統狀態的收斂,角速度的范數也隨之急劇下降,從而導致了系統收斂速率的下降。為了解決這一問題,即提升系統收斂速率,增大滑模參數k是一種較為直觀、可行的手段,但是其帶來的弊端則是系統在控制初期所需要的控制力、控制力矩較大,這就會導致出現控制輸出飽和的問題,進而導致系統無法追蹤期望軌跡。同時該方法還有可能使得系統角速度范數超過其上界,從而帶來飛輪過載、推力消耗加劇、撓性形變增大、姿態確定精度下降等不利影響。
針對上述弊端本文提出一種新的滑模面結構如下
s=ω+kqv,k(0)>0
(10)
式中:滑模參數k的初值k(0)為正常數;p為待設計正常數;ε為一小的正常數。
變結構滑模面(10)分為兩個階段,第1階段亦即‖s‖≥ε時,系統狀態尚未到達滑模面,此時角速度矢量與姿態四元數矢部尚未反向,滑模面(10)為經典滑模面,同時滑模參數不進行更新;而在第2階段亦即‖s‖<ε時,系統到達或近似到達滑模面,角速度矢量與四元數反向,此時滑模參數k開始更新,同時基于其更新律可以看到其導數始終為正,這就意味著在系統狀態到達滑模面之后,以較小的滑模參數初值開始運行,同時隨著系統狀態的收斂滑模參數開始實時增大,進而角速度的范數也能夠隨之得以提升,從而實現提升系統收斂速率的目的,此外值得注意的是在該滑模面上系統姿態角速度始終與四元數矢部保持反向,這也使得經典滑模面的優點得以保持。
基于滑模面(10)的滑?？刂破骺梢詫憺?/p>
u=
(11)
其中
(12)
ρi=
(13)
其中
接下來對控制器(11)進行穩定性證明。選取Lyapunov函數如下
(14)
在系統尚未到達滑模面之前,即‖s‖≥ε時,對Vs求導并代入控制器(11)可以得到
-ρ1kssTs≤0
(15)
在系統到達滑模面之后,即‖s‖<ε時,對其求導并代入控制器(11)可以得到
(16)
從而有滑模狀態s一致漸近穩定,而由前文討論,系統狀態ω與qv在滑模面s=0上一致漸近穩定,從而系統(1)、(4)在控制器(11)的作用下一致漸近穩定,系統穩定性證明完畢。
3 系統約束討論
首先討論系統控制力矩對于控制參數的選取約束?？紤]到控制器(11)中滑模參數的比例項-kss可以通過控制增益因子ρi進行放縮,因而控制器(11)中的第一項并不影響控制力矩飽和問題,關鍵是保證控制器中之后幾項不超過系統上界。在系統尚未到達滑模面時,有
(17)
(18)
即可保證系統狀態在滑模面之外時,所需要的控制力矩不超過上界的要求。
當系統狀態到達滑模面之后,姿態角速度滿足
ω=-kqv
(19)
同時注意到
(20)
從而可以得到
(21)
定義輔助變量z如下
(22)
(23)
從而當z取極值時有
(24)
進而有
(25)
因此只需滿足下式
(26)
即可保證系統控制力矩全程不超過其上界。
綜上所述,系統控制力矩對于滑模參數的約束可以寫為
(27)
式(27)中的第1式是系統對于滑模參數初值的約束,第2式是對于滑模更新參數的約束,二者共同保障系統的控制力矩約束。
(28)
即可使該階段系統角速度范數不超過其上界。
在系統狀態到達滑模面之后,計算角速度范數的導數可以得到
(29)
從而當角速度范數取得其極值時有
(30)
從而可以得到
(31)
因此系統角速度范數對于控制參數的約束為
(32)
式(32)中的第1式為角速度對于滑模參數初值的約束,而第2式則為角速度對于滑模更新參數的約束。
4 收斂性對比分析
對于衛星姿態控制而言較為常用的經典滑模面表達式為
s=ω+kqv
(33)
式中:k為正常數。
當系統狀態到達滑模面時,有ω=-kqv,因此選取Lyapunov函數如下
V=1-q0
(34)
對其求導可以得到
(35)
對于本文設計的變結構滑?？刂破?當系統到達滑模面時,有ω=-kqv,因此同樣選取Lyapunov函數式(34)。對其求導可以得到
(36)
5 數值仿真
首先設定系統參數如下
(37)
同時為了說明本次研究所提出算法的有效性與優越性,將以如下的經典滑?？刂破?38)作為對比,仿真結果如圖1～圖4所示。
圖1 經典滑?？刂破鞯淖藨B角速度曲線
圖2 經典滑?？刂破鞯淖藨B四元數曲線
圖3 經典滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊登€
圖4 經典滑?？刂破鞯慕撬俣确稊登€
(38)
如果使經典滑模的參數與變結構滑模的參數相同,由圖1～圖4可以看出,系統能夠穩定收斂,收斂時間約為240 s,此外在400 s時的角速度與四元數穩態精度分別為5×10-6rad/s與8×10-5。通過仿真結果可以發現,此條件下的控制力矩范數和角速率都沒有超過各自的上界,但是此條件下的收斂速率遠低于k較大時和變結構滑?？刂频氖諗克俾?這表明同等條件下經典滑?？刂频氖諗克俾蔬h低于變結構滑?？刂?不能夠滿足控制系統的收斂速率要求。
為增加經典滑?？刂婆c變結構滑?？刂频膶Ρ刃Ч?將經典滑?？刂破?38)中的k提高數倍使得其與變結構滑?？刂频氖諗克俾试谕患墑e,參數修改如下式所示,仿真結果如圖5～圖8所示。
圖5 經典滑?？刂破鞯淖藨B角速度曲線
圖6 經典滑?？刂破鞯淖藨B四元數曲線
圖7 經典滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊登€
圖8 經典滑?？刂破鞯慕撬俣确稊登€
k=0.12,ks=2
(39)
如果使經典滑模的收斂速率與變結構滑模的收斂速率達到同一級別,則需要使得經典滑模參數k是變結構滑模參數k的數倍?；趫D5～圖8可以看出,系統能夠穩定收斂,收斂時間約為100 s,此外在200 s時的角速度與四元數穩態精度分別為3×10-6rad/s與1.5×10-5。通過仿真結果可以看出,此條件下的仿真結果使得系統初始控制力矩較大,由圖7和圖8可以很明顯地看出,雖然整個控制力矩不超過系統上界,但是存在約10 s的區間(5～15 s)超過系統的姿態角速度上界。若采用飛輪、力矩陀螺等角動量交換裝置作為控制執行機構,角速度超過上界意味著需要通過推力器工作對角動量機構進行卸載,進而影響到系統的壽命,這一弊端在實際工程應用中對衛星的壽命限制較為嚴重。
接下來給出本文所提出的變結構滑?？刂破鞯姆抡娼Y果。首先選取控制參數如下
k(0)=0.05,p=0.08,λ=3,ks=2
(40)
對控制力矩約束式(27)與角速度約束式(32)進行校驗可以得到
(41)
(42)
可以看到系統控制力矩約束與角速度約束能夠同時得到滿足。
本文所提出的變結構滑?？刂破鞣抡娼Y果如圖9～圖13所示。
圖9 變結構滑?？刂破鞯淖藨B角速度曲線
圖10 變結構滑?？刂破鞯乃脑獢登€
圖11 變結構滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊登€
圖12 變結構滑?？刂破鞯幕登€
圖13 變結構滑?？刂破鞯慕撬俣确稊登€
由圖9、圖10可以看出,系統在控制器作用下穩定收斂,且收斂時間約為105 s,與經典滑?？刂破?38)(k=0.05)收斂時間相比有大幅度提升,這表明本文所提出的變結構滑?？刂破魇諗克俾拭黠@優于經典滑?？刂破?。同時由圖9、圖10可以看出,系統角速度與四元數的穩態精度為5×10-6rad/s與6×10-6,系統穩態精度仍然維持在較高的水準。但由圖11、圖13可以看出,系統控制力矩與角速度范數全程不超過系統上界,這證明了本次研究所提出的控制參數約束的有效性,并避免了控制力矩飽和與角速度飽和帶來的一系列問題。同時由圖12可以看出,滑模參數從初始值0.05開始逐步更新、放大,最終達到0.16左右,也正是滑模參數的實時放大避免了系統姿態角速度的過快下降,進而系統在滑模面上維持了較快速度的收斂速率,由圖13的角速度范數曲線中也可以看出,在系統狀態到達滑模面之后,系統姿態角速度有一個明顯的先增后減的過程,這也是本文所設計的變結構滑?？刂破鞯暮诵乃悸?。
由控制器設計過程可以看到,主要影響系統收斂速率的是滑模初始參數k(0)與滑模更新參數p,二者選取較大的值能夠帶來更快地收斂速率,同時系統能夠更加有效地利用控制機構能力。為說明二者對系統收斂速率的影響,選取多組仿真初值并進行仿真,其結果如圖14～圖16所示。
圖14 k(0)=0.05、p=0.15條件下四元數曲線
圖15 k(0)=0.08、p=0.08條件下四元數曲線
圖16 k(0)=0.08、p=0.25條件下四元數曲線
可以看出,3組收斂時間分別為90 s、95 s與70 s,分別相比較于第一組變結構滑?？刂频氖諗克俾识加兴嵘?這樣說明增大滑模初值與其更新參數均能夠提高系統收斂速度,但值得注意的是,在這3組仿真中只有前兩組滿足系統角速度約束亦即角速度未超過系統上界(嚴格參數約束式(32)已經不滿足),最后一組系統角速度已超過系統上界,這也說明需要在系統收斂速率與性能約束之間進行合理平衡。
由表1所示的對經典滑?？刂破髋c變結構滑?？刂破鞯膶Ρ瓤梢钥闯?同樣條件下變結構滑?？刂频氖諗克俾蔬h大于經典滑?？刂?不同條件時在基本維持變結構滑?？刂频氖諗繒r間與經典滑?？刂圃谕凰降那疤嵯?系統的穩態精度仍然與經典滑?？刂破鞅３衷谕凰?但本文所提出的變結構滑?？刂破鹘鉀Q了系統控制力矩飽和與角速度飽和的缺陷,并有效地提升了控制系統的收斂速率。
表1 經典滑?？刂破髋c變結構滑?？刂破鲗Ρ?/p>
6 結 論
本文基于經典滑?？刂破魈岢隽艘环N變結構滑?？刂破?在維持原有經典滑模魯棒性強、物理特性明確的優勢下,通過設計動態滑模面與滑模參數更新律,進而提高了系統的收斂速率,解決了經典滑?？刂破髦写嬖诘氖諗克俾瘦^慢的缺陷。此外還解決了當控制系統對收斂速率有較高要求時,經典滑?？刂频目刂屏睾妥藨B角速度因k增大而帶來的其各自超過上界的問題。
研究結果表明,通過對于滑模參數的實時放大與更新,能夠在初始滑模參數較小的前提下,有效避免系統角速度下降過快而帶來的缺陷,從而實現對于系統收斂速率的改良,進而提升系統在平衡點附近的性能。值得注意的是,該研究所采用的方法均考慮的是最極端情形,這也意味著系統性能沒有得到完全利用,而這也是作者在后續研究中需要重點解決的。
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李由,史夢芯
(西安電子科技大學空間科學與技術學院,710126,西安)
衛星的姿態控制對于航天技術的發展和應用起著關鍵作用,并且隨著航天技術的日益發展和廣泛應用,衛星的姿態控制問題越來越受到人們的關注。目前,已有許多研究人員對于衛星姿態控制的基本理論和問題進行了探究[1-4],這些成果對于實際工程起著重要作用?；？刂谱鳛檠芯啃l星的姿態控制的眾多研究方法之一,雖然在滑模面上的系統狀態具有魯棒性強、穩態精度高等優點,但是滑?？刂圃谑諗克俾史矫娲嬖诓蛔?并不能滿足對快速機動衛星的收斂速率要求。這就要求設計新的滑?？刂品椒M足衛星控制系統快速收斂的要求。
對于經典滑?？刂品椒?針對系統狀態的有限時間收斂和良好穩定性的問題,馮昱澍等[5]在考慮擾動存在的情況下,為提高閉環系統的魯棒性等特性,設計出自適應積分滑?？刂破?而宋杉等[6]設計出自適應固定時間滑?？刂破?。王小婷[7]針對撓性衛星姿態系統外部干擾上界未知的問題,結合干擾自適應律和滑?？刂圃O計了干擾自適應滑?？刂破?。上述研究和所涉及的控制方法都利用了滑?？刂?但是針對滑?？刂频氖諗克俾瘦^低這一缺點并沒有進行研究和解決。
對于變結構滑?？刂品椒?梁健等[8]針對敏捷衛星大角度姿態機動的問題,考慮變結構控制的系統參數變化和干擾具有很強的魯棒性等特點,設計了基于變結構滑?？刂破鞯拿艚菪l星姿態機動方法。董超等[9]針對柔性航天器撓性附件振動與姿態機動耦合降低控制精度的問題,考慮控制力矩抖振和系統參數魯棒性差等缺點,設計了改進的變結構滑?？刂破?。變結構滑?？刂瓶梢院芎玫馗纳平浀浠？刂圃谑諗克俾史矫孑^低的問題,但是上述研究并沒有將變結構滑?？刂婆c其他控制方法進行比較,得出變結構滑?？刂频膬炘教匦?。
對于滑?？刂品椒ㄔ趯嶋H工程中的應用,王家琪等[10]為保證控制系統的控制效果,針對抑制控制系統中的不確定性和外干擾等問題,考慮提高收斂速度的要求,設計了一種基于干擾觀測器的新型滑?？刂坡?。唐寅峰等[11]針對清理太空垃圾和利用太陽能的問題,并考慮消除彈射系統對空間太陽能電站的姿態影響,結合雙環滑模變結構控制方法設計了空間太陽能電站。眾多研究者在研究衛星控制系統時都利用了變結構滑?？刂品椒╗12-16]。在上述的工程應用中,作者只是應用滑?？刂苼硌芯肯到y的穩定性和魯棒性,并沒有將收斂速率作為研究問題進行研究。此外在實際工程中,尤其在航天領域有許多特定系統都有力矩上界和角速率范圍[17],這些重要因素也必須要著重考慮和研究。
對于經典滑?？刂坪妥兘Y構滑?？刂?不僅在航天科技方面得到應用,而且在機器人[18]、機械臂[19]、同步電機[20-21]、無人機[22]、Vienna整流器[23]、導彈制導[24]、溫度控制[25]等方面都有廣泛應用。這足以證明經典滑?？刂坪妥兘Y構滑?？刂圃诒姸嗫萍碱I域都有利用價值,因此發展和研究滑?？刂茖萍及l展有著重要的推進作用。
針對衛星姿態機動控制問題中經典滑?？刂拼嬖谑諗克俾瘦^低的缺陷,設計了一種變結構滑?？刂品椒?。其主要的優勢在于其維持了經典滑?？刂破鹘Y構簡單、魯棒性強的優勢,還大幅度提升控制系統的收斂速率。此外本文還討論系統參數與控制力矩幅值、角速度幅值之間的約束關系,保證了控制器全程不超其上界。利用Lyapunov穩定性理論證明控制器的全局穩定性,最后通過數值仿真驗證本文所提出的變結構滑?？刂破鞯挠行院蛢炘叫?。
1 數學模型
剛體衛星的姿態動力學模型可以寫為
(1)
(2)
同時注意到在實際工程應用中轉動慣量矩陣J一般無法做到精確已知,因此令
(3)
基于四元數描述的衛星姿態運動學模型的表達式為
(4)
式中:q0為姿態四元數標部;qv為姿態四元數矢部。矩陣F的奇異值滿足如下性質
λM(F)=1
(5)
若無特別說明,在本文中,以λ(A)、λm(A)、λM(A)分別表示矩陣A的奇異值、最小奇異值與最大奇異值。
2 變結構滑?？刂破?/h2>
一般在衛星姿態控制領域,經典的滑?？刂浦谢Ｃ娼Y構可以寫為
s=ω+kqv,k>0
(6)
當系統狀態位于該滑模面上時有
ω=-kqv
(7)
以及
(8)
根據式(6)和式(7)可以看出,系統在該滑模面上具有指數收斂的特性。值得注意的是該滑模面的重要特性之一是角速度與四元數矢部的反向,同時歐拉角的運動學方程表示為[1]
(9)
式中:α為姿態角速度與歐拉軸亦即姿態四元數矢部的夾角。
從式(9)可以得出,在角速度范數一定的條件下,角速度與四元數矢部反向時歐拉角具有最快的收斂速率,這也就意味著在該條件下系統對于角速度的利用效率最高,正是因為如此經典滑?？刂品椒ㄔ谔岢鲋蟮玫搅吮姸鄬W者的關注。
經典滑?？刂破鞯囊淮蟊锥嗽谟谄漭^慢的收斂速率,經典滑模面鎖定滑模參數k的做法使得衛星的姿態角速度范數始終正比于姿態四元數范數,而隨著系統狀態的收斂,角速度的范數也隨之急劇下降,從而導致了系統收斂速率的下降。為了解決這一問題,即提升系統收斂速率,增大滑模參數k是一種較為直觀、可行的手段,但是其帶來的弊端則是系統在控制初期所需要的控制力、控制力矩較大,這就會導致出現控制輸出飽和的問題,進而導致系統無法追蹤期望軌跡。同時該方法還有可能使得系統角速度范數超過其上界,從而帶來飛輪過載、推力消耗加劇、撓性形變增大、姿態確定精度下降等不利影響。
針對上述弊端本文提出一種新的滑模面結構如下
s=ω+kqv,k(0)>0
(10)
式中:滑模參數k的初值k(0)為正常數;p為待設計正常數;ε為一小的正常數。
變結構滑模面(10)分為兩個階段,第1階段亦即‖s‖≥ε時,系統狀態尚未到達滑模面,此時角速度矢量與姿態四元數矢部尚未反向,滑模面(10)為經典滑模面,同時滑模參數不進行更新;而在第2階段亦即‖s‖<ε時,系統到達或近似到達滑模面,角速度矢量與四元數反向,此時滑模參數k開始更新,同時基于其更新律可以看到其導數始終為正,這就意味著在系統狀態到達滑模面之后,以較小的滑模參數初值開始運行,同時隨著系統狀態的收斂滑模參數開始實時增大,進而角速度的范數也能夠隨之得以提升,從而實現提升系統收斂速率的目的,此外值得注意的是在該滑模面上系統姿態角速度始終與四元數矢部保持反向,這也使得經典滑模面的優點得以保持。
基于滑模面(10)的滑?？刂破骺梢詫憺?/p>
u=
(11)
其中
(12)
ρi=
(13)
其中
接下來對控制器(11)進行穩定性證明。選取Lyapunov函數如下
(14)
在系統尚未到達滑模面之前,即‖s‖≥ε時,對Vs求導并代入控制器(11)可以得到
-ρ1kssTs≤0
(15)
在系統到達滑模面之后,即‖s‖<ε時,對其求導并代入控制器(11)可以得到
(16)
從而有滑模狀態s一致漸近穩定,而由前文討論,系統狀態ω與qv在滑模面s=0上一致漸近穩定,從而系統(1)、(4)在控制器(11)的作用下一致漸近穩定,系統穩定性證明完畢。
3 系統約束討論
首先討論系統控制力矩對于控制參數的選取約束?？紤]到控制器(11)中滑模參數的比例項-kss可以通過控制增益因子ρi進行放縮,因而控制器(11)中的第一項并不影響控制力矩飽和問題,關鍵是保證控制器中之后幾項不超過系統上界。在系統尚未到達滑模面時,有
(17)
(18)
即可保證系統狀態在滑模面之外時,所需要的控制力矩不超過上界的要求。
當系統狀態到達滑模面之后,姿態角速度滿足
ω=-kqv
(19)
同時注意到
(20)
從而可以得到
(21)
定義輔助變量z如下
(22)
(23)
從而當z取極值時有
(24)
進而有
(25)
因此只需滿足下式
(26)
即可保證系統控制力矩全程不超過其上界。
綜上所述,系統控制力矩對于滑模參數的約束可以寫為
(27)
式(27)中的第1式是系統對于滑模參數初值的約束,第2式是對于滑模更新參數的約束,二者共同保障系統的控制力矩約束。
(28)
即可使該階段系統角速度范數不超過其上界。
在系統狀態到達滑模面之后,計算角速度范數的導數可以得到
(29)
從而當角速度范數取得其極值時有
(30)
從而可以得到
(31)
因此系統角速度范數對于控制參數的約束為
(32)
式(32)中的第1式為角速度對于滑模參數初值的約束,而第2式則為角速度對于滑模更新參數的約束。
4 收斂性對比分析
對于衛星姿態控制而言較為常用的經典滑模面表達式為
s=ω+kqv
(33)
式中:k為正常數。
當系統狀態到達滑模面時,有ω=-kqv,因此選取Lyapunov函數如下
V=1-q0
(34)
對其求導可以得到
(35)
對于本文設計的變結構滑?？刂破?當系統到達滑模面時,有ω=-kqv,因此同樣選取Lyapunov函數式(34)。對其求導可以得到
(36)
5 數值仿真
首先設定系統參數如下
(37)
同時為了說明本次研究所提出算法的有效性與優越性,將以如下的經典滑?？刂破?38)作為對比,仿真結果如圖1～圖4所示。
圖1 經典滑?？刂破鞯淖藨B角速度曲線
圖2 經典滑?？刂破鞯淖藨B四元數曲線
圖3 經典滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊登€
圖4 經典滑?？刂破鞯慕撬俣确稊登€
(38)
如果使經典滑模的參數與變結構滑模的參數相同,由圖1～圖4可以看出,系統能夠穩定收斂,收斂時間約為240 s,此外在400 s時的角速度與四元數穩態精度分別為5×10-6rad/s與8×10-5。通過仿真結果可以發現,此條件下的控制力矩范數和角速率都沒有超過各自的上界,但是此條件下的收斂速率遠低于k較大時和變結構滑?？刂频氖諗克俾?這表明同等條件下經典滑?？刂频氖諗克俾蔬h低于變結構滑?？刂?不能夠滿足控制系統的收斂速率要求。
為增加經典滑?？刂婆c變結構滑?？刂频膶Ρ刃Ч?將經典滑?？刂破?38)中的k提高數倍使得其與變結構滑?？刂频氖諗克俾试谕患墑e,參數修改如下式所示,仿真結果如圖5～圖8所示。
圖5 經典滑?？刂破鞯淖藨B角速度曲線
圖6 經典滑?？刂破鞯淖藨B四元數曲線
圖7 經典滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊登€
圖8 經典滑?？刂破鞯慕撬俣确稊登€
k=0.12,ks=2
(39)
如果使經典滑模的收斂速率與變結構滑模的收斂速率達到同一級別,則需要使得經典滑模參數k是變結構滑模參數k的數倍?；趫D5～圖8可以看出,系統能夠穩定收斂,收斂時間約為100 s,此外在200 s時的角速度與四元數穩態精度分別為3×10-6rad/s與1.5×10-5。通過仿真結果可以看出,此條件下的仿真結果使得系統初始控制力矩較大,由圖7和圖8可以很明顯地看出,雖然整個控制力矩不超過系統上界,但是存在約10 s的區間(5～15 s)超過系統的姿態角速度上界。若采用飛輪、力矩陀螺等角動量交換裝置作為控制執行機構,角速度超過上界意味著需要通過推力器工作對角動量機構進行卸載,進而影響到系統的壽命,這一弊端在實際工程應用中對衛星的壽命限制較為嚴重。
接下來給出本文所提出的變結構滑?？刂破鞯姆抡娼Y果。首先選取控制參數如下
k(0)=0.05,p=0.08,λ=3,ks=2
(40)
對控制力矩約束式(27)與角速度約束式(32)進行校驗可以得到
(41)
(42)
可以看到系統控制力矩約束與角速度約束能夠同時得到滿足。
本文所提出的變結構滑?？刂破鞣抡娼Y果如圖9～圖13所示。
圖9 變結構滑?？刂破鞯淖藨B角速度曲線
圖10 變結構滑?？刂破鞯乃脑獢登€
圖11 變結構滑?？刂破鞯目刂屏丶捌浞稊登€
圖12 變結構滑?？刂破鞯幕登€
圖13 變結構滑?？刂破鞯慕撬俣确稊登€
由圖9、圖10可以看出,系統在控制器作用下穩定收斂,且收斂時間約為105 s,與經典滑?？刂破?38)(k=0.05)收斂時間相比有大幅度提升,這表明本文所提出的變結構滑?？刂破魇諗克俾拭黠@優于經典滑?？刂破?。同時由圖9、圖10可以看出,系統角速度與四元數的穩態精度為5×10-6rad/s與6×10-6,系統穩態精度仍然維持在較高的水準。但由圖11、圖13可以看出,系統控制力矩與角速度范數全程不超過系統上界,這證明了本次研究所提出的控制參數約束的有效性,并避免了控制力矩飽和與角速度飽和帶來的一系列問題。同時由圖12可以看出,滑模參數從初始值0.05開始逐步更新、放大,最終達到0.16左右,也正是滑模參數的實時放大避免了系統姿態角速度的過快下降,進而系統在滑模面上維持了較快速度的收斂速率,由圖13的角速度范數曲線中也可以看出,在系統狀態到達滑模面之后,系統姿態角速度有一個明顯的先增后減的過程,這也是本文所設計的變結構滑?？刂破鞯暮诵乃悸?。
由控制器設計過程可以看到,主要影響系統收斂速率的是滑模初始參數k(0)與滑模更新參數p,二者選取較大的值能夠帶來更快地收斂速率,同時系統能夠更加有效地利用控制機構能力。為說明二者對系統收斂速率的影響,選取多組仿真初值并進行仿真,其結果如圖14～圖16所示。
圖14 k(0)=0.05、p=0.15條件下四元數曲線
圖15 k(0)=0.08、p=0.08條件下四元數曲線
圖16 k(0)=0.08、p=0.25條件下四元數曲線
可以看出,3組收斂時間分別為90 s、95 s與70 s,分別相比較于第一組變結構滑?？刂频氖諗克俾识加兴嵘?這樣說明增大滑模初值與其更新參數均能夠提高系統收斂速度,但值得注意的是,在這3組仿真中只有前兩組滿足系統角速度約束亦即角速度未超過系統上界(嚴格參數約束式(32)已經不滿足),最后一組系統角速度已超過系統上界,這也說明需要在系統收斂速率與性能約束之間進行合理平衡。
由表1所示的對經典滑?？刂破髋c變結構滑?？刂破鞯膶Ρ瓤梢钥闯?同樣條件下變結構滑?？刂频氖諗克俾蔬h大于經典滑?？刂?不同條件時在基本維持變結構滑?？刂频氖諗繒r間與經典滑?？刂圃谕凰降那疤嵯?系統的穩態精度仍然與經典滑?？刂破鞅３衷谕凰?但本文所提出的變結構滑?？刂破鹘鉀Q了系統控制力矩飽和與角速度飽和的缺陷,并有效地提升了控制系統的收斂速率。
表1 經典滑?？刂破髋c變結構滑?？刂破鲗Ρ?/p>
6 結 論
本文基于經典滑?？刂破魈岢隽艘环N變結構滑?？刂破?在維持原有經典滑模魯棒性強、物理特性明確的優勢下,通過設計動態滑模面與滑模參數更新律,進而提高了系統的收斂速率,解決了經典滑?？刂破髦写嬖诘氖諗克俾瘦^慢的缺陷。此外還解決了當控制系統對收斂速率有較高要求時,經典滑?？刂频目刂屏睾妥藨B角速度因k增大而帶來的其各自超過上界的問題。
研究結果表明,通過對于滑模參數的實時放大與更新,能夠在初始滑模參數較小的前提下,有效避免系統角速度下降過快而帶來的缺陷,從而實現對于系統收斂速率的改良,進而提升系統在平衡點附近的性能。值得注意的是,該研究所采用的方法均考慮的是最極端情形,這也意味著系統性能沒有得到完全利用,而這也是作者在后續研究中需要重點解決的。
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