基于坐標旋轉變換意義下的三維全局耦合離散混沌系統對稱與隱藏動力學的識別與分析

姚瀟悅，李險峰，江 俊，梁以德，王淑英

(1.蘭州交通大學數理學院，蘭州 730070；2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049；3.香港城市大學建筑與土木工程學系，中國香港 999077)

1 引 言

計算機圖形圖像處理技術是現代信息技術領域中的一個重要分支，在許多領域內都有廣泛的應用.計算機圖形圖像處理技術的發展在研究非線性動力系統的過程中發揮著關鍵作用，不但可呈現可視化的結果，而且在某種意義上還決定了非線性動力學的發展方向.通過計算機圖形圖像處理技術，對非線性現象進行數學建模、圖形渲染和模擬仿真等方式[1]，既可以提供清晰和準確的視覺圖像，將其中的復雜動力學行為可視化，又可為復雜系統中非線性現象的研究提供較為可靠的理論分析和仿真結果.

坐標變換在農作物建模、車輛定位、分析圓筒混合機的運動和空間直線度誤差評定等許多領域都具有廣泛的應用[2-5].坐標變換是通過兩個坐標系之間的對應關系來實現的.它可以表述為向量與矩陣之間的計算，最終等價于在另一個坐標系下對點的位置的重新表述.目前對低維離散系統動力學行為分析及應用的研究, 尤其是低維耦合動力學行為的研究比較深入，而對高維離散系統的研究較少[6].高維系統與實際生活密切相關，例如復雜的生物種群系統，復雜的網絡系統等[7].因而高維系統的動力學行為及混沌現象具有重要的研究意義.對于高維系統來說，坐標變換尤為重要，它不僅可以將復雜問題簡單化，將抽象圖像可視化，還是一種識別隱藏動力學的有力工具.

本文基于坐標旋轉變換研究三維耦合離散Logistic映射，對其中的對稱動力學與隱藏動力學行為在參數域內進行識別和分析.首先，我們基于Logistic映射耦合構造，由于原坐標系統中坐標軸x-y-z的輪換等價性，采用三維坐標旋轉變換.在不失系統維數的條件下，我們可以發現系統吸引子在新的坐標系統X-Y-Z下的投影具有嚴格的三角對稱性.隨后，我們給出旋轉變換前后坐標系統下分岔動力學行為的對比，發現在新的坐標系統下的分岔圖更有助于識別到細致的周期分岔現象，但同時也可能誤判耦合系統分岔機制.基于上述原因，我們在雙參數域內對等價耦合系統的動力學分布進行計算，同時采用并行延續算法計算主要分岔曲線對系統隱藏的動力學行為進行識別，找出可能存在的吸引子共存現象的參數域，并將共存吸引子及其吸引域在x-y平面及Y-X平面上的投影進行對比，發現吸引域在X-Y-Z坐標系統下的投影也呈三角對稱性.這進一步驗證了耦合系統在三維參數空間中關于對稱軸Δ三角對稱，且這種三角對稱性對所有的參數都具有不變性.

分岔和混沌等非線性現象廣泛存在于各個領域中.根據不同需要，人們不斷研究發現新的混沌系統，或從已有映射的基礎上耦合構造來研究其復雜的動力學行為[8].在許多物理系統、神經動力系統以及廣義同步運動過程中，耦合方式并非都是近臨耦合，而是遠距離耦合.全局耦合模式是平均場論中的一種重要耦合結構.在該耦合模式中，各個獨立單元相互耦合，且與它們各自的空間位置無關[9-11].全局耦合映射結構為

Uj(n+1)=F(Vj(n))

(1)

其中,

(2)

(3)

(4)

式中分岔參數a與一維Logistic映射一致，其局部動力學完全由一維Logistic映射誘導給出.

2.1 三角對稱性

易知x,y,z在其坐標系統意義下具有輪換等價性，即系統在實施變換(x,y,z)→(y,z,x)及(x,y,z)→(z,x,y)后的動力學方程仍然保持不變.從而可得系統在三維空間中關于對稱軸Δ：直線x=y=z三角對稱，且這種三角對稱性對系統參數a和λ保持不變.

2.2 不動點分析

耦合映射系統(4)有8個不動點，其坐標與耦合參數λ沒有關系，分別標記為

A=(0,0,0)；

C1；C2；C3；D1；D2；D3.

其中C1，C2，C3，D1，D2，D3由六次代數方程決定，具體代數表達式不可求.點A與點B位于對稱軸Δ上.由于x，y，z的輪換等價性，C1(r,s,t)，C2(s,t,r)，C3(t,r,s)和D1(u,v,w)，D2(v,w,u)，D3(w,u,v)分別是兩個等邊三角形的頂點，它們分別位于平面x+y+z=Ci上(Ci為常數，i=1,2，C1=r+s+t，C2=u+v+w)，且均正交于對稱軸Δ.圖1描述了a=5時三維耦合映射系統(4)的8個不動點在三維空間中的數值結果.我們可以清晰看到，C1，C2，C3，D1，D2，D3在各自的平面上具有三角對稱性.

圖1 a=5時系統(4)的8個不動點

為了更方便觀察系統的三角對稱性和識別其中的隱藏動力學行為，我們將原本的x-y-z坐標系統轉換至新的正交X-Y-Z坐標系統，即經過如圖2a所示的旋轉變換，將z軸旋轉至對稱軸Δ，構建新的正交坐標系.

(a)

令OP′方向向量為v(a,a,a)，將向量v(a,a,a)通過旋轉變換變換至z軸正向方向上，其對應的旋轉變換與原坐標系統到X-Y-Z正交坐標系的旋轉變換一致.首先將向量v繞x軸正向旋轉α角度，使向量v旋轉至x-z平面，記為向量v′.然后再將向量v′繞y軸正向旋轉β角度，使向量v′旋轉至z軸的正向方向上，如圖2b所示.

基于布爾莎模型，利用兩次Givens旋轉變換可得，

(5)

其中，

不妨假設v(x,y,z)T為原坐標系下的任意一點，v′(x′,y′,z′)T為v在旋轉后的X-Y-Z正交坐標系下的坐標，則由(5)式可以得原坐標系統與旋轉后的X-Y-Z正交坐標系之間的坐標變換關系為:

v′=Ry(β)Rx(α)v

(6)

令A=Ry(β)Rx(α)，得

v′=Av

(7)

其中，

(8)

為一正交矩陣，且|A|=1，即得(7)式為第一種類型的正交旋轉變換.

圖3給出了耦合系統(4)在取不同參數a和λ時的周期吸引子，極限環吸引子和混沌吸引子在原坐標系統三維空間中的相圖及經坐標變換后在Y-X平面上的投影.圖3a和3b展示了一個周期12吸引子(a=2.455,λ=1.62)，圖3c和3d展示了4個極限環吸引子(a=3.9,λ=0.865)，圖3e、3f(a=2.635,λ=1.454)與圖3g、3h(a=3.05,λ=1.19)分別給出了兩個混沌吸引子坐標變換前后的對比圖.通過比較，我們觀察到耦合系統(4)的吸引子在旋轉后的Y-X平面上的投影關于中心點(0,0)具有三角對稱性.這也就進一步驗證了上述的結論，即耦合系統(4)的吸引子在三維空間中關于對稱軸Δ：x=y=z三角對稱，且這種三角對稱性對系統的所有參數都保持不變.如此經過坐標旋轉變換后，將便于我們觀察到系統演化軌跡的三角對稱性.

(a)

分岔分析是研究非線性系統在參數域內動態動力學行為的一種強有力的工具.其主要目的是在變化參數的條件下，給出非線性系統的穩態和非穩態之間的轉遷過程.復雜非線性系統通向混沌的道路是多種多樣且多變的，即使是由穩態周期解到擬周期的轉遷過程也有不同的機制[12].且由于視角的不同，耦合系統(4)在坐標旋轉變換前后所呈現的穩態分岔過程也可能會有很大的差異.給定參數a，圖4給出了耦合系統(4)在原坐標系及X-Y-Z坐標系下，隨耦合參數λ變化的單變量穩態分岔圖的對比效果.

圖4a為當a=2.635時，耦合系統(4)從唯一穩態不動點B隨耦合參數λ的逐步增大的穩態響應過程.在λ=1.22附近發生倍周期分岔(簡記為PD)，繼而出現周期2軌道；隨后發生內依馬可-沙克分岔(簡記為NS)，系統出現兩個極限環；隨著參數λ繼續增加，兩個極限環增大變形并破裂，逐步形成奇異吸引子和混沌吸引子.同時我們可以觀察到在進入混沌區域后，系統(4)經切分岔產生了周期6窗口，隨即發生NS分岔，出現了6個極限環，然后再次進入混沌.圖4b給出了X-Y-Z坐標系中的穩態變化過程.然而在圖4b中，耦合系統(4)由周期1到周期2的PD分岔現象并沒有直觀地呈現出來，會誤認為由周期1解失穩隨即發生NS分岔，出現1個穩態極限環.而實際上，經過坐標旋轉變換后，周期2點在X-Y平面里的投影是重合的，所以在圖4b中表現為周期1軌道.因而僅從穩態分岔圖4b分析，極易會出現誤判為如同圖4c這種機制下的分岔過程[8].

然而圖4d給出了旋轉變換坐標系下數值結果的優勢.取定a=3.28，在原坐標系中，耦合系統(4)依舊從唯一穩態不動點B開始衍化.在λ=0.53附近發生NS分岔，出現一個穩態極限環；然后在λ=0.93附近極限環破裂，發生切分岔(簡記為LP)，隨即出現穩態多周期軌道；隨著λ的繼續增加，耦合系統(4)隨后發生PD分岔通向混沌運動；之后又發生切分岔產生周期窗口，然后再次發生混沌.在圖4c所示分岔圖中，多周期窗口中周期數目難以辨析.圖4d給出了耦合系統(4)經坐標旋轉變換后的穩態分岔過程.其中清晰地表明了耦合系統(4)在分岔參數λ=0.93附近出現的是周期6軌道，歷經PD分岔通向混沌運動.

(a)

單變量穩態分岔圖可以清楚地將一維分岔行為在二維相圖上展現出來.通過不同坐標系統中的分岔圖的相互比較，可以發現耦合系統(4)經由坐標旋轉變換后，有時有助于觀察具體的分岔現象，但有時也可能造成系統所發生的分岔行為的誤判.所以單從一維分岔圖去分析系統的分岔行為是不夠準確的，它會隨初始值的選擇、坐標系統的不同及“視角”的不同而不同.

為進一步展現由參數變化引起的系統動力學行為的變化，我們可以選擇雙參數聯合穩態分布圖，其分布僅依賴于初始值的選擇，而與坐標旋轉變換無關.此外，為消弭初始值對穩態運動區域的決定性影響，在雙參數聯合穩態分布圖中還附加了計算結果與初始值條件無關的余維1和余維2分岔線.另外，在做數值計算時充分考慮到正交矩陣的數值穩定性，并能在計算高周期分岔時使用并行矩陣乘法加速運算連乘微分矩陣的乘子等關鍵判據.我們采用對耦合系統(4)正交變換后的等價耦合系統進行處理.圖5描繪了在選擇不同初始值下，耦合系統(4)的穩態動力學行為在雙參數域a×λ=[2,5]×[0,1.7]上的聯合分布[13].其中，逃逸區域標記為黃色，天藍色區域表示擬周期運動，紫紅色區域表示穩態周期1區域，橘紅色區域表示穩態周期2區域，直至淺灰色區域表示穩態周期16，對應的周期數目用右側的顏色欄給出.更高穩態周期域由于在當前比例下，相較于低周期區域過于狹窄，所以連同混沌區域都歸類為白色區域.黑色線表示NS分岔，藍色線表示PD分岔，綠色線是由周期6點檢測到的極限點集(標記為LP).余維2分岔尖點(Cusp)與倍周期-內依馬可-沙克分岔點(簡記為PDNS)也一并表示.事實上，隨著初始值選擇的改變，穩態周期6區域的范圍也隨之呈現動態的變化，圖5a中的LPa與LPb分別為穩態周期6區域的上、下邊界.

(a)

由于參數聯動變化及初始值的影響會導致耦合系統(4)呈現出復雜的動力學行為，在同一參數下出現多種吸引子共存的現象，在圖5a中不同顏色區域與分岔線的交叉部分存在吸引子共存的可能性.由對稱周期2到極限環的NS2分岔線與周期6區域的交叉部分就存在周期6吸引子與極限環的共存現象，分別如圖6a和6b所示.圖6a展示了在參數a=3.2,λ=1.1時，周期6吸引子與極限環吸引子的共存現象在x0-y0初始值平面上的投影，黑色點集為周期6吸引子，藍色區域為其吸引域，紅色不變曲線為兩個極限環，其吸引域為黃色區域.圖6b為在同一組參數值下，吸引子的共存現象在Y0-X0初始值平面上的投影.

除此之外，實際上由對稱周期2失去對稱性產生的NS2分岔線與PD2分岔線所圍成的區域與圖5a中重合部分的周期6區域，周期12區域，由對稱周期6吸引子失對稱性產生的NS分岔后擬周期運動區域(六個極限環)，混沌區域均存在共存吸引子.圖6c展示了在參數a=3.53,λ=0.9時，周期2吸引子與六個極限環的共存在x0-y0初始值平面上的投影，藍色區域為六個極限環的吸引域，黃色區域為周期2吸引子的吸引域.圖6d為同一組參數值下，吸引子的共存現象在Y0-X0初始值平面上的投影，其中周期2點在Y0-X0平面上的投影是重合的，顯示為同一個點.

由于該三維系統中的x，y，z具有輪換等價性，所以吸引子與吸引域在原坐標系各二維平面上的投影都是相同的，所以在圖6中只展示了在x0-y0平面上的投影.相較在x0-y0平面上的投影，可以發現吸引子及其共存吸引域在Y0-X0平面上的投影都具有很好的三角對稱性.

(a)

本文用一維Logistic映射代替平均場，全局耦合構造了一類三維混沌映射，其局部動力學完全由一維Logistic映射誘導給出.耦合系統在原坐標系中具有輪換等價性，在三維空間中關于對稱軸Δ：x=y=z三角對稱.坐標旋轉變換是一種特殊的正交變換，可將原耦合系統等價表示.我們利用坐標旋轉變換，給出了系統吸引子在原坐標系及旋轉后在相平面上的投影對比效果.我們證實了耦合系統的吸引子在三維空間中關于對稱軸Δ(直線x=y=z)三角對稱，且這種三角對稱性對系統的所有參數都保持不變.

本文利用單參數穩態分岔圖，雙參數穩態動力學行為在參數域上的分布對全局耦合系統的復雜動力學行為和隱藏動力學進行分析討論與識別.耦合系統經由坐標旋轉變換后，單參數穩態分岔圖會隨坐標系統的不同而顯得不同，甚至可能誤判為耦合系統發生的分岔行為的機制.這也意味著僅從一維穩態分岔圖判別系統的分岔行為不夠精確.耦合系統的雙參數穩態動力學分布僅與初始值的選擇有關，為此在分布圖中我們增加了與初值條件無關的余維1和余維2分岔線，從而提供了一種在參數域內識別可能存在的共存吸引子的方法.雖然耦合系統的雙參數穩態動力學分布與坐標旋轉變換無關，但使用正交變換后的等價耦合系統可加速運算.最后本文通過數值結果證明了耦合系統的吸引子及共存吸引域在相平面的投影都具有很好的三角對稱性.