薄壁箱梁畸變的Galerkin解法*

王兆南 張元海

(蘭州交通大學土木工程學院， 蘭州 730070)

薄壁箱梁在汽車荷載或其他不對稱豎向荷載作用下的畸變效應是非常突出的。為了合理地設計薄壁箱梁，對畸變引起的應力進行準確的計算是非常必要的；同時在薄壁箱梁內部設置橫隔板可有效地限制畸變變形，減少箱梁畸變翹曲引起的正應力，從而使得箱形梁在偏心豎向荷載作用下能夠受力合理，達到延長橋梁使用期限的目的。薄壁箱梁畸變研究的方法有板元分析法、能量變分法、廣義坐標法等[1-2]。對得出的畸變控制微分方程可采用初參數解法，Galerkin解法等求解。其中Galerkin解法可方便地考慮薄壁箱梁內部橫隔板設置的數量對畸變效應的影響[3]。Ren等研究了簡支箱形梁考慮橫隔板剪切變形對畸變的影響[4]。趙甲薦等研究了單箱雙室箱梁橫隔板的剪切應變能[5]。李運生等進行了鋼-混凝土曲線組合箱梁橋橫隔板間距的研究[6]。李育楷等研究了橫隔板間距對懸挑箱梁畸變的影響[7]。張彥玲等通過有限元研究了橫隔板設置對簡支單箱雙室箱形梁畸變的影響[8]。橫隔板的設置對箱梁畸變變形的限制是明顯的，能有效地減小箱梁的畸變正應力[9-10]。

畸變控制微分方程的解法較多[11-14]，有適合等截面箱梁畸變研究的初參數法，有適合變截面箱梁畸變研究的紐馬克法。彈性地基梁比擬法(BEF法)是解算畸變微分方程的有效方法，然而該方法適合于無限長梁，當箱梁長度在一定范圍之內時，初參數法和BEF法在邊界附近的計算值存在較大偏差。以上這些方法在考慮箱梁橫隔板的影響時，處理較為復雜，沒有Galerkin解法方便直觀。同時，劉保東等通過波形鋼腹板連續剛構橋的扭轉畸變試驗研究，分析了橫隔板對箱梁畸變限制的影響[15]。

本文以箱梁腹板豎向撓度wd為未知量，在改進的箱梁畸變分析理論的基礎上，采用能量變分原理建立矩形截面單箱單室薄壁箱梁的畸變控制微分方程，分析以畸變撓度和畸變角為未知量的箱梁畸變扇性坐標、畸變翹曲慣性矩之間的關系。采用Galerkin解法研究箱梁跨內設置的橫隔板數量對畸變變形的影響。

1 畸變假定和畸變扇性坐標

等高度簡支箱梁，頂板上任意位置作用的偏心豎向均布荷載，均可分解成作用于箱梁各板件連接角點上的反對稱荷載P，單位為kN/m，如圖1所示。沿梁縱向，從跨中截取單位長的梁段，其頂板、底板和腹板等板件形成一個閉合框架，在此假定[1-2]：

1) 組成框架各板件的橫向變形忽略不計，箱形截面的周邊不可壓縮，橫向應變為零。

2) 箱梁發生畸變翹曲時，組成箱形截面的各板件作為各縱向板梁的橫截面，分別滿足平截面假定。

3) 忽略箱梁各板件厚度對翹曲的影響，剪應力和翹曲正應力沿壁厚均勻分布。

單箱單室矩形截面箱梁截面形式如圖1所示，變量d、a1、a2為箱梁框架各板件的寬度；箱梁腹板、底板、頂板(包括懸臂板)的厚度為t1、t2、t4，左、右腹板厚度相等；彈性模量為E，泊松比為μ，反對稱荷載P的作用位置如圖1所示，分析采用右手坐標系。

圖1 單箱單室矩形截面箱梁Fig.1 Single-box single-cell box girders with rectangular sections

圖2 箱梁畸變扇性坐標和畸變特征Fig.2 Distortion sectorial coordinates of box girders and distortion characteristics

(1)

對此式進行化簡并求解β′，解出β′后箱梁橫截面上周向各點的畸變扇性坐標數值即可確定。

2 畸變翹曲慣性矩和橫向抗彎剛度

t2a2β′2+t1a1(6β′2-6β′+1)]

(2)

因有β′=β/(1+β)，用β代替β′，則上式變為：

(3)

如以畸變角γd為未知量，推導箱梁畸變翹曲慣性矩Iωd，則角點A的畸變扇性坐標ω′dA為：

(4)

式中：kd為和箱梁截面畸變中心相關的系數[2]。

角點D的畸變扇性坐標ω′dD為：

(5)

這兩種未知量對應的畸變扇性坐標在箱梁橫截面角點處的數值存在一個比值為a2/4。在此，以畸變扇性坐標ω′dA和ω′dD為基礎，推導以畸變角γd為未知量的對應的箱梁畸變翹曲慣性矩Iωd，最后可得Iωd見式(6)，單位為m6。

(6)

箱梁橫向框架抗彎剛度Kd，根據結構力學中桿件矩陣位移法的關于桿件剛度的表達式，可得箱梁框架橫向抗彎剛度[3]為：

(7)

對文獻[16]中的以箱梁腹板撓度為未知量，建立的梯形截面箱梁畸變翹曲慣性矩的計算式進行修正。修正后的箱梁畸變翹曲慣性矩計算式如下所示。

(8)

其中Δ=Δ1+Δ2

3 以wd為未知量的畸變微分方程和解法

(9)

對式(9)進行變分運算后可得：

(10)

方程(10)求解的邊界條件為：δw′d(EIωdw″d)=0，δwd(EIωdw?d)=0。在簡支端：wd=0，w″d=0。針對畸變微分方程(10)可采用Galerkin法進行求解，設腹板的豎向位移為：

(11)

式中：l為箱梁梁端橫隔板的間距；bk為一常數。

將wd代入式(10)，在等號兩端同乘sin(kπz/l)后得到：

(12)

如有P為常量均布荷載，可解出bk=2Pl4/(EIωdk5π5+Kdkπl4)，k=1，2，3，…。因此，簡支帶有端橫隔板的等高度薄壁箱梁的腹板的豎向位移可表示為：

(13)

簡支薄壁等高度箱梁，除設置端橫隔板以外，箱梁跨內還設置有n道橫隔板。此時相鄰橫隔板的間距為l/(1+n)，設跨內布置了橫隔板的箱梁腹板豎向位移wdn為wdn=bknsin[(n+1)πz/l]，如同式(13)得出的過程，則wdn和跨內橫隔板數量n之間有如下關系：

(14)

對應的箱梁跨內橫隔板的數量n可取為0、1、2、3等。

4 數值算例

取數值算例，采用本文方法計算箱梁在偏心豎向荷載作用下腹板的豎向撓度，考察增加的橫隔板對箱梁畸變變形的影響。

算例1為矩形截面簡支箱梁橋，取自文獻[3]。計算跨徑L=32 m，E=36.5 GPa，μ=0。在箱梁頂板和腹板相接處施加均布線荷載P=2 kN/m，箱梁截面尺寸如圖3所示。

圖3 箱梁截面尺寸 cmFig.3 Box girder cross sections

采用本文方法得出的算式，計算得到有端橫隔板的簡支箱梁畸變參數和跨中截面腹板豎向撓度wd等項目數值如表1所列。采用比擬的彈性地基梁解法(BEF法)得到的箱梁跨中截面腹板豎向撓度為0.029 6 mm，略大于本文方法得出的數值。本文解和文獻[3]給出的解相互吻合較好。采用ANSYS軟件的Shell 63單元建立箱梁有限元模型，共劃分68 520個單元。分析得出的箱梁跨中截面腹板豎向撓度wd為0.035 92 mm，如表1和圖4所示。箱梁腹板豎向撓度采用有限元分析得出的值比相關文獻數值，其他解析法得出的數值大。

表1 算例1箱梁畸變計算Table 1 Box girder distortion of example 1

圖4 算例1箱梁跨中腹板豎向撓度wd 10-5mFig.4 Vertical deflection at the mid-span web of the box girder in example 1

采用本文Galerkin解法計算簡支箱梁跨中截面腹板的撓度和跨內橫隔板的數量關系如表2所列?？鐑扔袡M隔板的箱梁畸變撓度減小量與跨內無橫隔板的箱梁畸變撓度相比較，畸變撓度減小量的數值見表2。

表2 箱梁跨中腹板豎向撓度wdTable 2 Vertical deflection at the mid-span web of the box girder

由表2可見，在簡支箱梁設置端橫隔板的情況下，箱梁跨內橫隔板數量為0時，跨中截面腹板豎向撓度為0.025 89 mm；箱梁跨內設置1道橫隔板時，跨中截面腹板豎向撓度為0.005 89 mm，畸變撓度減小量為77.25%；箱梁跨內設置2道橫隔板時，畸變撓度減小量為95.48%；跨內設置3道橫隔板時，畸變撓度減小量為98.84%。由此可以看出，簡支箱梁在端橫隔板存在的情況下，在跨內設置1道橫隔板時，畸變撓度就可減小到77.25%。若設置3道橫隔板，箱梁畸變變形將很小，在偏心豎向荷載作用下箱梁僅可按約束扭轉計算偏心效應。即使設置2道橫隔板，畸變撓度減小量為95.48%，畸變效應也可忽略。

為直觀表達箱梁跨內橫隔板數量的增加對簡支箱梁跨中截面腹板豎向撓度的影響，現繪出二者的關系，如圖5所示。分析得到：箱梁跨內設置較多的橫隔板對減小箱梁在偏心豎向荷載作用下的畸變變形限制是有限的，橫隔板數量設置較多時還會增加箱梁設計和施工的難度，對簡支箱梁跨內橫隔板的數量設置不宜過多。

圖5 箱梁橫隔板數量和腹板撓度關系Fig.5 The relations between the number of diaphragms and deflection of the box girder web

采用Galerkin解法，箱梁橫隔板的數量對箱梁畸變變形的影響，在畸變微分方程的解當中得到了直觀的體現。采用初參數法時，這一過程較為復雜。采用本文的方法計算箱梁畸變翹曲正應力的數值與其他方法的計算結果是相同的。

算例2取自文獻[16]，截面形式如圖1所示，簡支單箱單室矩形截面箱梁。計算跨徑L=40 m，E=31 GPa，μ=0.167，截面尺寸a1=2 m、a2=4 m、d=2 m、t1=0.35 m、t2=0.2 m、t4=0.25 m。通過本文方法，文獻[16]給出算式，本文修正后的文獻[16]中的算式計算箱梁的畸變效應各參數，結果如表3所示。

采用ANSYS有限元程序的Shell 63單元建立箱梁有限元模型，共劃分65 600個單元。分析得出的箱梁跨中截面腹板豎向撓度wd為1.39×10-5m，如圖6所示。將箱梁跨中截面頂板和底板角點處的橫向彎曲應力提取出來，換算成箱梁框架A、D點的畸變橫向彎矩mA、mD如表3所示。

圖6 算例2箱梁跨中腹板豎向撓度wd 10-5mFig.6 Vertical deflection at the mid-span web of the box girder in example 2

表3中，有序號①的這一行采用文獻[16]的原數據；有序號②的這一行為采用文獻[16]中梯形截面箱梁畸變效應計算式得到的數據，其中畸變翹曲慣性矩和文獻[16]中矩形截面箱梁的畸變計算式得出的數據不同，箱梁橫向框架剛度和文獻[16]給出的原數據相同；有序號③的這一行，為對文獻[16]相關計算式修訂后，及采用本文計算式(8)得出的數據。

采用文獻[16]的矩形截面箱梁畸變效應計算式得出的腹板豎向撓度為0.959×10-5m，采用文獻[16]的梯形截面箱梁畸變效應計算式得出的數值為1.474×10-5m。通過對文獻[16]的相應計算式的修正，得出的腹板豎向撓度為1.497×10-5m，這一數值與本文方法計算的數值吻合良好。采用有限元計算的數值為1.390×10-5m，與本文方法計算值相差僅為6.71%。其他項目數值見表3，框架的畸變橫向抗彎剛度，采用各方法得到的數值都相同；畸變翹曲慣性矩數值由于分析采用的方法不同，得到的數值也不相同。

對于箱梁畸變橫向彎矩，在算例2中采用兩種方法來計算。一種為求出箱梁畸變角或腹板豎向撓度，再通過換算得出箱梁的畸變橫向彎矩；一種直接采用框架分析法計算得到箱梁畸變橫向彎矩。算例2的箱梁畸變橫向彎矩數值如表3所列，可以看出，以箱梁腹板豎向撓度為未知量的畸變效應分析方法，得出的角點A的畸變橫向彎矩在數值上都很接近，框架分析法計算的數值較大。

框架分析法對箱梁角點D的畸變橫向彎矩計算值和有限元結果較為接近；本文方法計算數值和文獻[16]修正后算式的計算結果較吻合，和文獻[16]原數據結果相差較大。通過此例的分析，框架分析法和采用箱梁畸變分析理論直接計算箱梁畸變橫向彎矩的計算方法得到的結果還是有一定的差異。

5 結束語

1) 矩形截面單箱單室箱梁，采用以腹板豎向撓度wd為未知量的箱梁畸變分析中，箱梁橫截面角點處的畸變扇性坐標值和以畸變角為未知量的分析過程得出的數值之比為a2/4，畸變翹曲慣性矩之比則為該值的平方。

2) 通過以腹板撓度為未知量的畸變微分方程采用Galerkin法求解，在設置端橫隔板的情況下，跨內設置3道橫隔板的時候，箱梁的畸變效應就可忽略不計，可僅按箱梁約束扭轉進行偏心效應的分析。設置更多的跨內橫隔板對箱梁畸變變形的限制效果不會更明顯。

3) 在計算箱梁腹板豎向撓度時，本文方法和相關文獻數值、有限元分析結果相互吻合較好。在計算薄壁箱梁畸變橫向彎矩時，各方法結果之間有一定的差距，因此待進一步研究分析。