基于禁飛區規避的高超聲速飛行器再入制導律設計

田若岑，張慶振，郭云鶴，程 林

（1.北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191；2.上海機電工程研究所，上海 201109；3.北京航空航天大學宇航學院，北京 100191）

0 引 言

軍事需求促進了導彈武器的不斷發展，飛行速度更快、活動范圍更大的高超聲速再入飛行器能夠適應現代戰爭空天一體化的需求，經過幾十年的發展，其理論已經逐漸成熟，并且經過了實踐的檢驗。為了應對威力巨大的導彈武器，世界各國也加緊研究各種對抗導彈武器的技術，導彈武器與反導彈裝備的競爭從未停止過，各種導彈探測、攔截技術等成為了導彈的“攔路虎”。高超聲速導彈飛行過程中會因敵方的探測與攔截，產生禁飛區，導彈武器應該在飛行過程中盡可能躲避禁飛區，防止被攔截，從而減小脫靶量，增大毀傷效能。為實現高超聲速導彈完成攻擊任務的同時規避禁飛區，需要設計相應制導律，開展再入段軌跡規劃，完成目標打擊與禁飛區規避任務。

針對該問題，國內外學者展開了相關的研究。文獻［4］和文獻［5］利用Gauss偽譜法研究了多約束條件下的再入軌跡優化問題，前者還設計了滿足禁飛區約束和航路點約束的最優再入軌跡；文獻［6］結合Gauss偽譜法和滾動時域優化方法，設計出能夠規避禁飛區的實時優化軌跡；文獻［7］使用了比例代價的方法來遠離禁飛區；文獻［8］使用了內部障礙懲罰函數的技巧對禁飛區進行了規避；文獻［9］采用預測校正方法，分通道設計考慮禁飛區威脅；文獻［10］則是將禁飛區約束進行了轉化，利用A*路徑規劃方法解決了禁飛區規避問題；文獻［11］分析了氣動參數對再入飛行器橫側向機動性能的影響，提出了考慮禁飛區的機動彈道耦合設計方法；文獻［12］則是通過三觸角預測與側滑角瞬變方案來規避禁飛區。

本文針對高超聲速導彈再入飛行過程，考慮其飛行過程中受到的動壓、熱流和過載等約束，以及躲避禁飛區引入的飛行軌跡約束，提出了離線的縱向橫側向分通道制導律設計以及在線的預測校正制導方法，以提高精度、降低脫靶量。通過仿真，驗證了本文方法能夠通過射程預測校正來修正躲避禁飛區引入的射程誤差。

1 高超聲速飛行器再入過程模型建立

1.1 高超聲速再入飛行器動力學模型

再入飛行器的軌跡優化問題通?？紤]地球為旋轉圓球的三自由度再入運動模型，并且側滑角為零。飛行器的位置參數由地心距離，經度和緯度來描述；表示射程角，速度矢量由速度大小，航跡角和航向角來確定；航跡角是速度向量與當地水平面之間的夾角，向上為正；航向角是速度向量在當地的水平投影與正北方向的夾角，順時針旋轉為正。由上述參數表示的無動力再入滑翔運動的方程為

式中：表示地心距；為飛行器質量；為速度；為經度；為緯度；為射程角；和為氣動升力與氣動阻力；和為航跡角和航向角；為傾側角；為地球自轉角速率，由于地球自轉影響較小，我們通?？梢院雎栽擁?，從而簡化式（5）～（7）為

由于是無動力滑翔再入，采用零側滑角飛行，所以上述動力學方程的控制量主要是攻角和傾側角，通過控制攻角能夠控制升力和阻力大小，通過控制傾側角的幅值和方向能夠控制航跡角與航向角；通常對于大升阻比飛行器，攻角設計時主要考慮熱防護效應。結合再入制導問題，由于攻角的調節代價遠高于傾側角的調節代價，再入飛行器一般選擇用預定攻角剖面飛行，攻角采用與飛行速度有關的三段式剖面形式，如式（11）所示。

式中：是飛行器允許的最大攻角；為最大升阻比對應攻角；和為速度結點；為初始速度。

因此再入過程中可以進行設計的控制量就是傾側角，通過設計傾側角獲取滿足各類約束與禁飛區規避需求的軌跡。

1.2 再入過程約束模型建立

高超聲速飛行器再入過程要求滿足熱流密度?、過載、動壓以及平衡滑翔條件等各種彈道約束，它們往往可將再入軌跡限制在較為狹窄的范圍內。其中動壓、熱流密度和過載約束必須嚴格滿足，否則再入飛行器在結構和熱防護性能上是不可靠的。尤其高超聲速飛行器，存在嚴重的氣動加熱，這個問題更加突出。

1）熱流密度約束

在研究飛行器軌跡優化問題時，通常以駐點熱流密度作為約束條件，因為駐點是飛行器加熱較為嚴重的區域，其表達式為

4）平衡滑翔約束

相比較熱流密度、動壓、過載約束，平衡滑翔條件是一種保持軌跡穩定的“軟約束”（如式（17）所示），只有當飛行器滿足該條件時，才能通過調節傾側角對軌跡進行規劃跟蹤。相應而言，關系到再入過程安全與否的熱流密度、動壓和過載約束稱之為“硬約束”，飛行器應嚴格遵守該類約束。

1.3 禁飛區模型建立

禁飛區是指再入飛行器受雷達探測、電磁干擾、攔截以及地形、地緣政治等因素影響而形成的區域，再入軌跡應盡量規避禁飛區。為了便于設計分析，將禁飛區視作無限高圓柱體，飛行器軌跡只能從左右兩側規避，而不考慮從上方或下方規避的情況。假定、、、、、分別表示飛行器當前經度、當前緯度、禁飛區中心所在經度、中心所在緯度、禁飛區半徑與地球半徑，則應滿足式（21）所示路徑約束。

2 縱向制導律設計

高超聲速飛行器制導律設計通常采用縱向、橫側向分離的方法：設計縱向制導律確定傾側角幅值以滿足再入過程約束與終端射程約束；設計橫側向制導律確定傾側角方向來進行目標的導引與禁飛區規避。這種分離是建立在式（9）與（10）基礎上的，式（9）描述了控制量傾側角對縱向軌跡的影響，式（10）描述了控制量對橫向軌跡的影響。式（9）中控制量在cos 函數內，表明控制量的幅值影響航跡角；而式（10）中控制量在sin 函數內，表明控制量的符號和幅值影響航向角。因而，先設計傾側角幅值，再設計傾側角符號就能夠滿足軌跡設計的需求。

在解決多約束條件下的再入制導問題時，可以采用數值優化方式，將再入軌跡控制問題轉化為一個多約束條件下的非線性規劃（nonlinear programming，NLP）問題，區別于無人機路徑規劃，通過設定相應的優化目標（例如飛行時間、飛行距離、能量消耗、熱流等），在動力學約束和動壓、過載、熱流、起始終端約束條件下，求解離散后的最優控制量，從而獲得最優縱向制導律。但是這種方式解算速度較慢，這是由于優化目標比較復雜，容易陷入局部極值。

為了加快尋優速度，可以提前將約束條件進行轉化，構建HV 走廊（高度-速度走廊）或DV 走廊（阻力-速度走廊），限定飛行器的飛行邊界，并根據平衡滑翔條件建立傾側角走廊。將傾側角選在該范圍內，就能夠讓飛行軌跡滿足各類約束，將多約束的非線性規劃問題轉化為無約束優化問題。

2.1 再入走廊建立

再入走廊的目標是將約束轉化為一致形式，本文選用HV 走廊進行設計。根據式（13）～（15）、（17）與大氣密度模型，可將升力和阻力計算式表達為

式中：()和()分別為HV走廊的上下邊界，將飛行器的再入過程高度與速度控制在該走廊范圍內，就能夠得到滿足上述約束的軌跡。

飛行器的傾側角走廊是在飛行器HV 走廊基礎上，根據平衡滑翔條件進一步推導的結果，它將再入制導的過程約束直接轉化為對控制變量的取值范圍約束，可以大大簡化軌跡優化問題，因此再入制導過程中的控制剖面參數化應用相當廣泛。在HV 走廊基礎上，根據飛行器平衡滑翔條件（式（17）），已知攻角、高度和速度的情況下，可以確定其平衡滑翔傾側角為

如（29）式所示，傾側角上邊界為飛行過程硬約束，下邊界為平衡滑翔角軟約束，是非關鍵約束限制，故將其設置為0。

2.2 初始下滑段與再入末段分析

飛行器再入過程面臨多種過程約束限制，通過HV 走廊與傾側角走廊技術將過程轉化成為對傾側角控制量的直接約束。然而，再入初始下滑段存在以下特點：

1）高空低大氣密度，導致飛行器氣動力嚴重不足，因此傾側角對整個軌跡的調整能力非常微弱；

2）飛行器以大的角度俯沖飛行，因此這一段不滿足平衡滑翔飛行，從而導致傾側角走廊無法保障約束；

3）整個飛行過程的熱密度峰值就出現在這一段終點的谷底處，如果處理不當，很容易違反熱約束，威脅飛行器安全；

4）初始下滑段若以固定傾側角飛行，表現出傾側角越大，飛行谷底越低，熱流密度峰值越大的規律；

5）這一段處在整個再入飛行的初始，初始的航向調整對再入飛行非常關鍵，因此不能簡單地以零度傾側角飛行。

故需要對再入初始段的傾側角取值進行限制，傾側角限制值根據熱流密度約束反向求解，可表達為

初始下滑段的固定傾側角滿足≤，就能保證?()≤?。

求解過程如圖1所示。

圖1 初值傾側角求解流程Fig.1 Process of inclination angle initialization

為了保證與末制導段的交接班條件，飛行器需要滿足一定的能量約束，即高度約束與速度約束。將終端高度與速度代入式（28）可得終端滑翔傾側角。再入終端以滑翔飛行，則可滿足終端能量約束。

基于上述分析，將初始下滑段、再入中段與再入終段的傾側角走廊進行復合處理，步驟如下：

1）初始下滑段，傾側角不能超過以保證熱流約束；在平衡滑翔段，傾側角剖面應該小于并大于以保障過程約束；

2）在能量交接段，為保障高度、速度約束，采用終段平衡滑翔角進行末段飛行；

3）三個走廊合并可得復合傾側角走廊，其中上界由、和組成，下界由和構成。為了保證制導指令的連續性，在和、和、和添加線性過渡過程，形成節點、和。

最終可得復合傾側角走廊，上界為()，下界為()。給定速度時，傾側角取值應滿足

飛行器再入過程若傾側角滿足式（31），過程約束和能量約束基本能夠得到滿足。

2.3 傾側角與射程關系分析

在飛行器再入過程中，選擇傾側角幅值與攻角作為縱向設計的控制量，傾側角符號作為橫向設計的控制量?？v向進行控制的目的是為了讓導彈在飛行到達目標高度時，具備要求的射程。

傾側角的取值會對射程產生影響，傾側角幅值在再入動力學中主要對航跡角速率產生影響，而航跡角的取值會影響高度下降的快慢。當傾側角在全速度區間取值較小時，升力在垂直空間內分量較大，因而航跡角速率趨向于一個較大值，這會導致導彈的高度下降較慢，從而讓導彈從指定高度到目標高度需要更長的時間，射程也就相應增加；反之，若傾側角取值較大，航跡角取值偏小，則會導致高度下降迅速，射程減小。

射程約束如式（32）所示。

高度與空氣密度成反比，在相同速度區間下，射程對速度的微分取值大小與空氣密度成反比，即高度越高，該微分取值越大，而高度又與傾側角取值成反比，傾側角取值越小，高度越高，從而傾側角取值越小，射程越遠，呈單調關系。

由上述分析可知，傾側角的取值與再入射程成單調關系，因此設計傾側角取值為

通過求解上式的零點，就可以得到滿足過程約束與射程約束的傾側角取值，完成縱向軌跡規劃任務。

3 橫側向制導律設計

3.1 航向角偏差走廊

在縱向制導律設計的基礎上，確定傾側角符號，控制飛行方向，導引飛行器規避禁飛區，到達目標區域。在無需規避禁飛區時，采用航向角偏差走廊確定傾側角方向，航向角誤差定義為

航向角誤差與對應走廊示意圖如圖2～3所示。

圖2 航向角誤差示意圖Fig.2 Diagram of heading angle error

圖3 航向角誤差走廊Fig.3 Heading angle error corridor

設計傾側角符號邏輯表達為

不考慮禁飛區因素時，橫側向傾側角符號的確定邏輯是：如果飛行器航向角與彈目視線角誤差大于偏差上界或小于偏差下界，則翻轉傾側角符號；若處于上下界之間，則保持原定傾側角符號。通過設置航向角誤差走廊的上界與下界，給予再入初段較小的區間，使得飛行器快速調整方向；再入中段增大走廊區間，給予飛行器較大的橫側向自由度；再入末端再減小走廊區間寬度，使得飛行器飛行方向逐漸收斂于目標區域。

3.2 禁飛區規避

當飛行器接近禁飛區時，飛行器的首要任務從到達目標區域轉變為規避禁飛區，此時基于飛行器與禁飛區的幾何關系確定傾側角方向。假定飛行器在位置(，)，禁飛區圓心位于(，)處，半徑為。

圖4 禁飛區示意圖Fig.4 Diagram of no fly zone

此時，飛行器速度向量相對于禁飛區Z存在、、、四種關系，定義為

當速度向量v位于或區域時，會與禁飛區發生碰撞，需要改變傾側角方向，區靠近左側，故向左規避，區同理，如式（40）所示。

橫側向確定傾側角符號邏輯如下：

1）判斷飛行器是否已經通過禁飛區，將飛行器速度向量與飛行器-禁飛區中心視線向量做內積，若結果為負，說明已經過禁飛區，按照式（38）確定傾側角方向，若為正則進入邏輯2）；

2）計算飛行器與已知禁飛區之間距離，若距離大于某一閾值，則飛行器尚未接近禁飛區，傾側角符號依照式（38）確定，若距離小于閾值進入邏輯3）；

3）按照式（39）確定速度向量相對于禁飛區的幾何關系；

4）根據幾何關系，按照式（40）和（41）確定傾側角符號。

3.3 射程預測校正

高超聲速飛行器再入過程縱向橫側向分離設計，先設計縱向制導律確定傾側角的賦值大小，再設計橫側向制導律確定傾側角的方向?？v向設計獲得需求射程的傾側角幅值是在縱向二維平面內計算得出的，并未考慮橫側向傾側角方向改變帶來的彈道曲折情況。根據式（36）及分析可知，飛行器射程可表示為()的形式，且()是單調函數。

對當前傾側角權重對應射程進行預測，與實際待飛距離進行比較，根據射程誤差對權重值進行校正，從而減小終端射程誤差，校正如式（42）所示。

式中：表示飛行器當前位置與目標區域所剩余距離，可將當前經緯度與目標點經緯度代入（32）得到；表示當前權重對應的剩余飛行距離，可由式（4）積分得到。

通過式（42）預測校正，可以有效地減少彈道曲折導致的射程誤差，提升制導精度。

4 仿真試驗及結果分析

4.1 縱向仿真結果

縱向仿真結果如圖5～10 所示，其中圖5 再入走廊為熱流密度、動壓、過載約束與平衡滑翔約束轉化得到的飛行器再入HV 走廊，再入過程中只要將飛行器的高度與速度限制在該區間內，就能滿足相應的過程約束；圖6 傾側角走廊為式（29）求解出的傾側角走廊；圖7 為根據式（31）求解出的復合傾側角走廊；圖8為根據給定仿真條件求解的縱向再入軌跡；圖9 為高度與射程曲線；圖10為過程約束滿足情況。

圖5 再入高度速度走廊Fig.5 Reentry height-speed corridor

圖6 傾側角走廊Fig.6 Inclined angle corridor

圖7 復合傾側角走廊Fig.7 Compound inclined angle corridor

圖8 縱向再入軌跡Fig.8 Longitudinal reentry trajectory

圖9 射程高度曲線Fig.9 Range-height curve

仿真結果表明，在轉化后復合傾側角走廊內開展軌跡規劃，能夠生成滿足過程約束與終端高度、速度約束的再入軌跡（如圖8 和圖10 所示）。通過該方式，能夠將復雜的過程約束轉化為對控制量傾側角的直接約束，提升軌跡規劃的時效性，并為后續的橫側向軌跡規劃奠定基礎。

圖10 約束滿足情況Fig.10 Constraint satisfaction

4.2 橫側向仿真結果

橫側向仿真彈道如圖11～16所示：圖11為規避前后彈道的地面投影圖；圖12為不同禁飛區大小對應的仿真對比彈道地面投影；圖13 和圖14 為修改初始再入點的仿真彈道地面投影對比圖，其中case1、case2、case3 對應的再入經緯度分別為（160，5）、（155，10）、（165，5）；圖15和圖16為三維再入彈道。

圖11 禁飛區規避彈道Fig.11 No-fly zone avoidance trajectory

圖12 不同禁飛區大小規避彈道Fig.12 Different no-fly zone size avoidance trajectory

圖13 不同再入點未規避彈道Fig.13 Unavoided trajectory at different reentry points

圖14 不同再入點規避彈道Fig.14 Avoided trajectory at different reentry points

圖15 三維再入彈道Fig.15 Three dimensional reentry trajectory

圖16 三維再入對比彈道Fig.16 Three dimensional reentry contrast trajectory

仿真結果表明，在縱向制導律基礎上設計的橫側向制導律，能夠有效地規避禁飛區，通過設置不同初始點，不同禁飛區大小，飛行器均能夠到達目標區域，繞過禁飛區，實現突破防空攔截的目標。上述仿真結果表明，本文所設計的橫側向制導律能夠引導飛行器規壁禁飛區，完成飛行任務，且具備一定魯棒性，能夠適應不同初始條件；而三維仿真結果進一步驗證了飛行器的跳躍式彈道特性，從整體上驗證了縱向與橫側向制導律的有效性。

5 結束語

本文以高超聲速飛行器再入過程為基礎，研究了基于禁飛區規避的縱向與橫側向制導律設計。首先通過HV走廊與傾側角走廊技術將過程約束轉化為對控制量的直接約束，再通過控制量上下界加權方法將無窮維尋優轉化為單參數尋優；通過縱向制導律設計確定控制量幅值使得飛行器滿足過程約束、終端高度速度約束與射程約束；通過橫側向制導律設計確定控制量符號，規劃飛行方向，導引飛行器規避禁飛區，到達目標區域；通過實時的射程預測與控制量校正方法，彌補了因規避禁飛區引入的射程誤差。仿真結果表明，在線預測校正制導方法能夠減少射程誤差、提高制導精度，可為對抗防空攔截等目標提供支持。