數值分析中埋置式波紋鋼板的剛度等效方法研究

付文強，符鋅砂，李百建，賀玉婷

(華南理工大學 土木與交通學院，廣東 廣州 510641)

波紋鋼板以其力學性能好等優點在公路工程和市政工程中得到廣泛應用。這種結構板是通過對基礎平鋼板進行沖壓或滾壓成型制造而成的單向周期性波紋的結構板殼，屬于構造各向異性結構板，其單胞結構或典型微元是類似正弦波形的單周期波紋，經平移陣列后形成具有波紋形狀的宏觀結構板殼。由于結構較大的三維尺寸和復雜的微元結構，直接建立埋置式波紋鋼數值模型(如波紋鋼板與周圍填充材料的接觸分析模型、波紋鋼板斜向切割模型、大尺度波紋鋼橋梁三維模型等)較困難。

剛度等效是分析波紋鋼結構的一種有效方法，可將構造各向異性轉換為材料的各向異性，從而減少建模復雜度、布爾運算失敗和計算結果不收斂的風險。研究發現，Seydel提出的波紋鋼板剛度近似表達式在使用過程中存在缺陷，當板厚較大時，其第二主向剛度會小于平鋼板的抗彎剛度。為此，常福清等在Seydel公式的基礎上提出了修正的第二主向剛度表達式；馮巖從更廣泛的角度研究了凹凸板的剛度等效方法。上述剛度等效方法均以波紋鋼平板為研究對象，未考慮埋置式波紋鋼的實際波形，并不完全適用于埋置式波紋鋼結構。李百建等基于材料力學基本理論提出了埋置式波紋鋼板的抗彎剛度計算方法，并進一步提出了考慮軸向壓力作用的剛度等效方法，但忽略了泊松比的影響，不夠完善。該文在前人對波紋鋼平板剛度等效方法研究的基礎上，研究埋置式波紋鋼板的剛度等效方法及截面應力換算方法，并通過數值分析進行驗證。

1 波紋鋼板剛度等效方法

1.1 主向剛度

如圖1所示，波紋鋼平板波形參數包括波紋鋼板半波長l、正弦曲線高度(1/2波高)f和板厚δ，正弦半波曲線弧長s=l[1+π2f2/(4l2)]，其形狀方程為z=fsin(πx/l)。

圖1 波紋鋼平板波形參數

鑒于Seydel的第二主向剛度近似公式存在缺陷，采用積分方法對其進行修正，經常福清等修正后的Seydel主向剛度表達式為：

(1)

式中：D1為波紋鋼板非波紋邊(x方向)的主向剛度；E為鋼材彈性模量；μ為鋼材泊松比；s為波紋曲線弧長；D2為波紋鋼板波紋邊(y方向)的主向剛度；D3為波紋鋼板抗扭剛度。

式(1)為正弦波形波紋鋼平板的主向剛度，適用于波紋鋼屋面板、夾芯板等小波紋維護構件。而埋置式波紋鋼是大波形、板厚較大的承載板，其波形參數與正弦波稍有不同，包括波長2l、波高2f、波峰/波谷的曲率半徑R和半圓心角θ、波紋直線段長度TL、波峰/波谷圓心至截面中性軸(x軸)的距離d、板厚δ等(見圖2)，基于正弦波形積分得到的第二主向剛度表達式不適用于埋置式波紋鋼板。

圖2 埋置式波紋鋼波形參數

事實上，若已知波紋鋼的抗彎慣性矩，即可參照平板的抗彎剛度公式獲得埋置式波紋鋼板的第二主向剛度，其y方向抗彎慣性矩Ix為：

Ix={(R3δsin2θ+2R3δθ-8R2δdsinθ+

(2)

考慮泊松比效應，得到修正后埋置式波紋鋼板第二主向剛度公式：

(3)

埋置式波紋鋼板的第一、第二主向剛度和抗扭剛度表達式可統一改寫為：

(4)

1.2 材料常數換算

數值分析中，為減少建模復雜度、增加建模成功率，將構造正交異性的埋置式波紋鋼板等效為材料正交異性的平鋼板，將式(4)中的主向剛度換算成材料常數輸入模型材料參數中。通常用到的5個基本參數為E1、E2、G、μ1和μ2，換算公式如下：

(5)

式中：E1、E2分別為等效后波紋鋼板非波紋邊(x方向)、波紋邊(y方向)的彈性模量；μ1、μ2分別為等效后波紋鋼板非波紋邊(x方向)、波紋邊(y方向)的泊松比；t為等效后平鋼板厚度；G為等效后波紋鋼板的剪切模量；Dk為等效后平鋼板的抗扭剛度。

其中Dk、μ1和μ2滿足如下關系：

(6)

(7)

具體應用時，通常按照第二主向剛度相等的原則將埋置式波紋鋼板等效為板厚t=(12Ix)1/3的平板，并假設μ2=μ，然后根據式(5)～(7)計算其他材料常數。

1.3 應力換算

埋置式波紋鋼板為壓彎構件，截面應力不僅包含軸向應力，還包含彎曲應力。而等效為平板后的截面面積A、截面高度t均與原波紋鋼板的截面面積A0、波高2f不相等，需對等效平板的截面應力進行換算獲得原波紋鋼板的截面應力。換算公式為：

(8)

式中：σt為波紋板波峰應力；σ、σ1、σ2分別為等效平板的軸向應力、頂部應力和底部應力；t為等效平板厚度；σb為波紋板波谷應力；σ0為波紋鋼板的軸向應力。

波紋鋼板第二主向(y方向)上的軸力N與彎矩M可表示為：

(9)

2 數值分析

2.1 算例

為驗證剛度等效方法與應力換算方法的正確性，選擇一座跨徑為6 m、填土高為1 m、總高為4 m、橋寬為8 m的波紋鋼半圓形拱橋作為數值分析算例，波紋尺寸為200 mm×55 mm×5 mm，拱頂上部距離端墻1 m、3 m處分別作用集中荷載F=3 000 kN(見圖3)。

圖3 數值算例模型尺寸(單位：m)

2.2 數值模型

建立以下4種數值分析模型(見圖4)來驗證剛度等效方法并探索建模方法：1) 考慮實際波紋的波紋鋼殼模型(CSP)；2) 采用剛度等效方法建立的等效平板殼模型(Shell)；3) 采用剛度等效方法建立的等效平板實體單元模型(Solid)；4) 采用剛度等效方法建立的等效平板梁單元二維平面模型(Beam)。

圖4 數值分析模型

數值分析模型僅用來驗證剛度等效方法和應力換算方法的分析精度及一般規律，不考慮材料層間接觸及土體非線性本構關系，按彈性體進行分析。模型長×寬×高為18 m×9 m×4 m。模型左右兩側約束水平方向位移，端面約束前后方向位移，底面約束所有線位移。波紋鋼板的容重為78.5 kN/m3，彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，按彈性材料分析，不設強度上限；土體容重為20 kN/m3，彈性模量為100 MPa，泊松比為0.2。

200 mm×55 mm×5 mm波形的直線段長度TL為36.95 mm，波峰/波谷的曲率半徑R為53 mm，半圓心角θ為44°，按式(2)計算，得y方向抗彎慣性矩Ix=2 288.8 mm4/mm。按式(5)～(7)換算等效正交異性平板的材料參數，結果如下：E1=0.955 5×109Pa；E2=209.95×109Pa；G=0.293×109Pa；μ1=0.001 35；μ2=0.3。

殼單元和實體單元需輸入的參數共9個，分別為3個主向的彈性模量、泊松比和剪切模量，而前文換算得到的只有5個參數，需根據實際建模方式、單元坐標系與建模采用坐標系的關系來輸入其他參數。例如：實體單元的單元坐標系總是和整體坐標系一致，在該算例拱頂位置xoy平面承受拉壓應力，在拱腳位置xoz平面承受拉壓應力，故應將Ey=Ez=E2、Ex=E1、PRXY=μ1、PRYZ=μ2、PRXZ=μ1、GXY=G、GYZ=0.5Ey/(1+μ2)、GXZ=G輸入材料屬性中，并滿足材料參數關系方程[見式(10)]。事實上，其等效平板后的泊松比對結果的影響可忽略不計，可按照鋼材的泊松比進行輸入，但要滿足關系方程。

(10)

采用三維模型時，可按實際情況對模型施加荷載。二維平面模型所加荷載應根據波紋鋼橋梁計算位置進行換算，因為車輛荷載的擴散存在空間效應，為使平面模型產生的荷載效應與三維模型最大荷載效應相當，對荷載進行折減。如圖5所示，三維模型頂部作用的荷載會沿著橋梁橫向擴散，任意埋深h處的荷載擴散長度為2htanθ，求解任意埋深處波紋鋼截面應力時，將荷載除以擴散長度后施加于模型上。該算例分析中假設荷載擴散角為45°(彈性體)，計算截面為波紋鋼拱頂(ht=1 m)，輸入荷載為1 500 kN。

圖5 荷載等效示意圖

2.3 結果分析

數值分析模型變形計算結果見圖6。剛度相等、約束條件相同、荷載相同的結構應具有相同的變形。從圖6可看出：4種模型的總位移相近，說明采用剛度等效方法建立的模型能很好地相互表達，并能精確分析埋置式波紋鋼板的變形情況。

圖6 數值分析模型變形云圖(單位：m)

應力分析則不能直接通過應力云圖來對比，因為4種模型的截面參數不相同，即使具有相同的剛度，其截面應力分布也不相同，需將應力根據式(8)、式(9)進行換算，實現不同模型之間的相互表達。不同模型計算結果對比見表1～3。

從表1～3可看出：3種等效模型的最大位移與波紋鋼殼模型最大位移的誤差均不超過±10%，其中等效平板殼單元模型最接近波紋鋼模型，其次為肩位置，等效平板實體單元模型、等效平板殼單元模型、平面梁模型計算的軸力和彎矩與波紋鋼殼模型軸力、彎矩之比分別為2.61和1.49、2.06和0.95、1.26和1.82；在拱腳位置，等效平板實體單元模型、等效平板殼單元模型、平面梁模型計算的軸力和彎矩與波紋鋼殼模型軸力、彎矩之比分別為1.89和0.73、1.34和1.92、1.03和1.78。說明采用剛度等效方法能很好地分析外荷載作用下波紋鋼拱頂位移與內力，而拱肩與拱腳處的等效結果相差較大，最大相差2.61倍。這是因為剛度等效只針對于波紋鋼平面外抗彎剛度而言(即彎曲剛度等效，荷載作用下產生的豎向變形和彎曲應力計算結果較精確)，并未考慮柔性的波紋鋼結構與土體相互作用產生的軸力，該軸力與波紋鋼與土體的拉壓剛度有關，剛度等效中未考慮波紋鋼截面的拉壓剛度等效，因此不能獲得足夠精確的軸力計算結果。

表1 不同模型各截面計算結果

等效平板實體單元模型，再次為平面梁模型。在拱頂位置，等效平板實體單元模型計算的軸力和彎矩與波紋鋼殼模型軸力、彎矩的誤差不超過±10%，其次為等效平板殼單元模型，再次為平面梁模型；在拱梁單元對拱頂的模擬精度較差，主要是因為荷載等效換算較復雜，即計算波紋鋼不同截面的內力需根據不同埋深將荷載按線性關系進行折減，一個截面對應一個等效荷載。例如：計算拱頂內力時的等效荷載采用頂面埋深ht，計算拱腳內力時則采用底面埋深hb，但當計算截面埋深超過3 m時，可不考慮荷載等效，因為此時活載對波紋鋼產生的荷載作用可忽略，即僅考慮拱頂位置的荷載等效而無需考慮其他位置。此外，荷載擴散角度因填筑材料的特性而改變，如鋼筋混凝土的擴散角為45°、素混凝土的擴散角為30°等，需根據填筑的實際材料特性來確定荷載擴散角，這在活載影響深度范圍內的波紋鋼截面內力計算中至關重要。

表2 不同模型各截面內力換算結果

表3 等效模型計算結果與波紋鋼殼模型計算結果對比

3 結論

基于剛度等效原理提出埋置式波紋鋼板的剛度等效方法，并建立4種數值分析模型對剛度等效方法進行驗證，得到以下主要結論：

(1) 式(2)～(7)所示埋置式波紋鋼板抗彎剛度計算方法及正交異性材料參數換算方法可行。

(2) 采用剛度等效方法建立殼單元和實體的三維數值模型均可很好地模擬波紋鋼拱頂位置在外荷載作用下產生的變形與內力，與波紋鋼殼模型計算結果的誤差不超過±10%，不同模型的分析結果可根據式(8)、式(9)相互換算。

(3) 采用剛度等效方法分析波紋鋼拱腳和拱肩位置的軸力與彎矩精度稍差，與波紋鋼殼模型計算結果的比值為0.73～2.61。

由于剛度等效僅考慮了波紋鋼板抗彎剛度的等效，采用剛度等效方法能較準確地獲得埋置式波紋鋼板拱頂的位移與彎曲應力。但埋置式波紋鋼結構會與土體發生相互作用產生軸力，還應進一步研究與土體-波紋鋼相互作用有關的其他剛度等效。