一種量子條件生成對抗網絡算法

劉文杰，趙膠膠，張 穎，葛業波

（1.南京信息工程大學計算機與軟件學院,江蘇南京 210044；2.數字取證教育部工程研究中心,江蘇南京 210044；3.南京信息工程大學自動化學院,江蘇南京 210044）

1 引言

生成對抗網絡（Generative Adversarial Network，GAN）是一種深度學習模型，是近年來復雜分布上無監督學習最具有應用潛力的方法之一.它由Goodfellow［1］在2014年提出，該模型由生成器和判別器兩部分組成.隨后，很多學者利用GAN 在圖像生成［2］、超分辨［3］、圖像轉換［4］等領域取得了優異成果，但其過程是不可控的.為了改善上述問題，Mirza 等人［5］提出了條件生成對抗網絡（Conditional Generative Adversarial Network，CGAN），在輸入層隱變量中增加條件約束引導GAN 從條件分布中采樣.2018 年Miyato 等人［6］提出了一種基于投影方法的CGAN算法，將條件約束信息增加到判別器中，提高了數據生成的質量.但CGAN 生成離散數據的效果較差，并且巨大的計算開銷可能會使GAN 達到摩爾定律的極限.與經典GAN 相比，量子GAN 可能存在著潛在的指數優勢［7］.

量子生成對抗網絡（Quantum Generative Adversarial Network，QGAN）是一種基于量子電路［8］的算法.2018年Lloyd等人［9］提出QGAN，從理論角度分析了三種量子對抗學習場景以及QGAN 潛在的量子優勢.2019 年Situ 等人［10］提出利用量子玻恩規則生成離散數據，解決了離散數據生成問題.Zeng等人［11］提出了生成對抗量子電路（Generative Adversarial Quantum Circuits，GAQC）算法，利用量子玻恩規則探索量子電路有效采樣能力，并利用BAS（Bars-And-Stripes）數據集進行實驗驗證.由于受限于算法發展和可用的量子資源，先前的QGAN 實驗主要針對單量子比特量子態的生成和加載［12］.一些學者關于QGAN 的應用也做了研究［13，14］.但這些算法生成過程具有較大的隨機性.Dallaire-Demers 等人［15］提出了一種帶有條件約束的QuGAN 算法.該算法加強了對生成數據的控制，但它求解梯度時需要復雜的受控操作和誤差糾錯，不適合目前的嘈雜中型量子時代.最近，Liu等人［16］提出了一個混合量子-經典條件生成對抗網絡算法，該算法提高了生成過程的可控性，但只適合生成經典數據.

為解決這個問題，本文提出了一種量子條件生成對抗網絡（Quantum Conditional Generative Adversarial Network，QCGAN）算法.采用one-hot 形式進行多粒子W態編碼，使生成器具備根據條件信息生成特定數據的能力.生成器和判別器都由參數化量子電路（Parameterized Quantum Circuit，PQC）構成，前者用來生成擬合訓練集的新樣本，后者用來判斷新樣本的真偽以及樣本與條件信息是否匹配.該算法適用于經典和量子數據分布學習，降低了時間復雜度且可有效收斂到Nash均衡點.

2 生成對抗網絡算法原理

2.1 條件生成對抗網絡

針對GAN 訓練過程不可控的問題，條件生成對抗網絡CGAN 在生成器G 和判別器D 輸入中加入條件變量y進行約束和指導.條件變量y可以是任何標簽信息，如人臉圖像的面部表情、圖像的類別等.在CGAN框架下，G 更關注與條件約束密切相關的樣本特征，并控制訓練過程以生成更高質量的數據.G 的輸出可視為從條件分布pG(x|y)中進行采樣，因此CGAN 的目標函數為

CGAN 算法需同時對噪聲矢量z和條件變量y進行采樣，因此為了提高G 擬合真實分布的能力，根據生成目標設置合理的條件變量至關重要.最常見的一種方法是直接從訓練數據中選定條件變量，讓G和D在接收輸入時就得到關于訓練集的部分先驗知識，此時CGAN可看作是弱監督或有監督模型.

2.2 量子生成對抗網絡

盡管CGAN算法在很多領域都表現出優異的性能，但該算法無法直接生成離散數據.而量子生成對抗網絡QGAN 算法通過對生成器電路采樣可直接生成離散數據，因此吸引了廣泛關注.

量子生成對抗網絡QGAN 算法流程如圖1所示，該算法從原理上也是構造G 和D 的零和博弈.與經典生成對抗網絡不同的是，G 和D 都由參數化量子電路PQC構成.量子數據集用密度矩陣表示，對應于經典數據集的協方差矩陣.量子數據集通過量子設備生成，可以直接作為PQC 的輸入，而經典數據集需要編碼成量子態輸入到D 中.在博弈過程中，G 的目標是生成一個量子態迷惑判別器，讓其無法判斷這個量子態是目標態還是生成態.相反，D 的目標是要區分G 生成的量子態和數據源的目標態.假設G 和D 有足夠的能力，這個模型就會收斂到Nash 均衡點，即判別器不能判別輸入是真是假.Lloyd 等人［9］指出，利用QGAN 生成高維數據時，對抗性量子博弈學習有潛力以指數級加速收斂到Nash均衡點.

圖1 量子生成對抗網絡算法示意圖

3 一種量子條件生成對抗網絡算法

量子生成對抗網絡QGAN 算法生成過程具有較大的隨機性，本文所提的QCGAN 算法可提高生成過程的可控性，其流程如圖2 所示.該算法的G 用來生成擬合訓練集的新樣本，D用來判斷新樣本的真偽以及樣本與條件信息是否匹配.在數據準備階段，根據生成任務的目標和數據特征引入條件約束，并將經典條件信息編碼為量子態下面對算法過程涉及的關鍵操作和訓練策略進行詳細說明.

圖2 量子條件生成對抗網絡算法框架

3.1 條件信息的W態編碼及電路設計

條件信息的W態編碼及電路如圖3 所示是按照真實樣本概率分布將m類條件變量制備成的量子態

用one-hot 方法對條件信息進行編碼.假設待分類種類為m，制備的電路如圖3 所示，其中條件寄存器初態為對應的量子位為Q1，Q2，…，Qm.制備過程為：（1）采用Ry和CNOΤ 門，通過調整單量子比特門旋轉角度，將量子比特制備成只包含m項的特殊態，即

（2）經過圖3中的Ⅱ之后，量子態變為

對于企業的內部控制定義，可以解釋為：在企業內部，企業的管理層、企業的決策層以及企業內部的全體員工共同參與的，以期實現企業的基本目標的，一系列經營控制活動。而企業的內部控制最主要目的，就是在保證投資者最高利益的基礎上，能夠創新出更多新型的、價值的內容。其具體實施體現在會計信息的準確性上，根據國家法律法規的規定內容，以及不同地方的政策規定，在使企業的財產和資源更加完整的基礎上，實現企業長期發展中的經濟效益提升。

圖3 制備m分類的量子電路

采用one-hot 方式對條件信息進行量子態編碼，需要用到的量子比特數相對較多，但可減少數據量子/經典后處理時再轉換成其他編碼形式的工作量.

3.2 量子生成器和量子判別器電路設計

在算法中，G 和D 都由PQC 構成，且PQC 由旋轉層和糾纏層作為基礎電路模塊組成.旋轉層可由單量子比特RX、RY和RZ構成，糾纏層可由CNOΤ 門、SWAP 門或CRX、CRY 和CRZ 門組成，其拓撲結構可為：線型、環型、星型和全連接型.

生成器G 電路如圖4所示，寄存器對應的量子位用Qj表示，其中j={1，2，…，l}.對G 來說，需要（ll=d+m）個量子位，其中數據寄存器有d個量子位，用來生成樣本數據；條件信息寄存器有m個量子位，用來接收m類條件信息.它們的初始態分別為表示制備量子態的電路模塊.在電路中，旋轉層和糾纏層交替迭代LG次，其中i∈{1，2，…，LG}，θ是G的參數.

圖4 生成器G的量子電路

圖5 判別器D的量子電路

用泡利Z測量D 的最終態，其結果為其中i表示量子位索引表示輸入到判別器的數據

3.3 對抗訓練策略設計

量子條件生成對抗網絡的訓練是具有反饋回路的參數優化量子算法，生成器和判別器的可訓練參數分別記為θ和φ，其目標函數為

4 性能評析

表1 五種生成對抗網絡算法性能對比(生成數據類型中,C表示連續數據,D表示離散數據)

由于損失函數可微性限制，經典算法（GAN、CGAN等）無法直接生成離散數據，而量子QGAN 對電路采樣可直接生成離散數據.對于生成N維數據分布，經典GAN 算法時間復雜度為O(N2).而量子信息處理器僅需logN（qubits），其時間復雜度為O(N).

對于GAQC 來說，需要2d（qubits）制備真實數據和量子編碼.但其生成過程具有較大的隨機性，不太適用于現實場景.對于帶條件約束的QuGAN 和QCGAN 算法，G 增加了條件信息的輸入，消耗的量子資源也會增加.其中，QuGAN生成器和真實源都需要d（qubits）生成目標數據，m（qubits）表示條件信息和n（qubits）輔助位；判別器需要m（qubits）表示條件信息，s（qubits）輔助位，2（qubits）用來輸出判斷結果和求解梯度；故QuGAN總資源消耗為2d+3m+2n+s+2（qubits）.而QCGAN 算法的G和D都只需d（qubits）生成目標數據，m（qubits）表示條件信息，故QCGAN 總資源消耗為2d+2m（qubits）.因此，QCGAN比QuGAN算法消耗更少量子資源.

5 實驗與分析

本文采用PennyLane 平臺進行算法仿真，分別完成經典數據和量子混合態的生成任務.

5.1 經典數據的生成

5.1.1 BAS(Bars-And-Stripes)數據集

與GAQC 算法［11］一樣，本文采用BAS 數據集進行模型訓練.本實驗生成目標是BAS（3，3）圖像.訓練集中總共有14 種有效模式圖且符合均勻分布，這些圖像可分為三類：橫條紋、豎條紋和全色圖（像素值全0或全1），根據one-hot 規則分別標注為：001、010 和100 編碼，如圖6所示.

圖6 BAS(3,3)數據集分類示意圖

5.1.2 實驗設置

在實驗中，訓練集均包含6 000 個訓練樣本.為公平起見，將epoch 均設置為200，迭代訓練次數為10，批次大小為600，初始學習率為0.001，衰減率為0.1.另外，利用量子Adam優化器優化G和D.

GAQC 算法不需要條件信息的W態編碼及電路設計，因此G 和D 都只需要9（qubits）處理數據的信息，QCGAN 算法除了要處理數據信息，還需要3（qubits）接收條件信息.因此，根據圖4和5，QCGAN算法G和D的電路可簡化為圖8 和9.其中，圖8 中是圖7 制備的，電路旋轉層選用RY門，糾纏層選用環型連接CRY門.它們的電路參數分別為108和36個，且初始值從均勻分布U[0，2π)中隨機采樣.

圖7 制備三粒子W態的量子電路

圖8 生成BAS數據的生成器G的量子電路

圖9 生成BAS數據的判別器D的量子電路

5.1.3 實驗結果分析

GAQC 和QCGAN 算法損失函數分別如圖10 和11所示.QCGAN 算法在迭代次數為800 時就收斂到了Nash 均衡點，且模型基本趨于穩定.因此，與GAQC 相比，QCGAN生成圖像的效率更高.

圖10 GAQC算法的損失變化曲線

訓練完成后，對G 進行1000 次采樣分析生成分布，結果如圖12 所示.其中，圖12（a）和12（b）分別是GAQC 和QCGAN 算法生成BAS 數據的概率分布，橫坐標是用十進制數表示的BAS 數據，軸坐標表示對應的概率值.紅線表示目標概率分布，藍線表示經過訓練后G 輸出的概率分布.從圖12（a）和圖12（b）可看出QCGAN 算法生成的數據絕大多數都落在14 種BAS 有效模式圖中，且三類條紋圖基本符合均勻分布.圖12（c）是GAQC 算法生成的前100個像素圖，從中可看出GAQC 有兩處既沒有正確生成橫或豎條紋.而如圖12（d）所示，可看出QCGAN算法的G 經過訓練已具備生成BAS（3，3）數據的能力.

圖11 QCGAN算法的損失變化曲線

圖12 生成BAS(3,3)數據結果

GAQC 與QCGAN 算法生成BAS 數據準確率如表2所示.從表中可看出，QCGAN 算法準確率為0.968 3，而GAQC 算法準確率僅為0.953 2.QCGAN 算法準確率高的原因是該算法加入了條件變量，使模型得到了更多關于真實數據的信息.

表2 算法生成BAS數據集的準確率

5.2 量子數據的生成

5.2.1 實驗準備

圖13 制備的量子電路

圖14 生成量子數據的生成器G的量子電路

將epoch 設置為300，并采用Adam 優化器進行優化.定義表示兩個狀態的重疊情況，反映了量子電路的保真度.

圖15 生成量子數據的判別器D的量子電路

5.2.2 實驗結果分析

生成量子數據的損失函數如圖16 所示.在迭代次數為500時，生成器和判別器的損失函數已基本收斂到Nash 均衡點，但在后續的訓練中G 和D 的損失函數值都出現了輕微的震蕩（這是該類算法生成量子數據普遍存在的現象［15］）.

圖16 生成量子數據的損失變化曲線

QCGAN 算法生成態和目標態之間的保真度如圖17 所示.從圖中可看出，通過對抗訓練，G 生成的最終態和目標態的保真度逐漸增加并收斂于1，因此該算法能根據輸入生成目標量子混合態.

圖17 生成量子數據的保真度變化曲線

圖18 分類生成量子態采樣結果

6 總結

本文提出的QCGAN 算法是一種適用于經典和量子數據分布學習的方案.該算法通過在輸入層增加條件約束，有效引導網絡生成符合特定要求的數據，提高了生成過程的可控性.與經典GAN 相比，本文提出的QCGAN 算法的時間復雜度更低；與QuGAN 相比，QCGAN 消耗更少的量子資源.另外，以BAS（3，3）數據集和量子混合態生成為例，選用PennyLane 進行仿真實驗，結果表明QCGAN 算法經過訓練可有效收斂到Nash均衡點.

隨著問題規模的擴大，算法PQC 中量子位或門數量會急劇上升，容易出現“貧瘠高原”現象（由于運算規模急劇上升，導致電路參數的梯度均值為0、方差隨著量子比特個數的增加呈指數減少）.下一步工作，我們將研究通過優化量子電路結構，改進電路參數優化迭代策略等手段，減少一次迭代可訓練參數個數和電路深度，從而減輕貧瘠高原的負面影響.