“特斯拉剎車失靈”事件的車輛運動模型與分析1)

王宇帆 陳盟靖 周呂文

(寧波大學機械工程與力學學院智能材料與先進結構實驗室，浙江寧波 315211)

之前，“特斯拉剎車失靈”事件引發社會熱議。根據車主介紹，事發前她與家人駕駛特斯拉Model 3出門，駕駛者遠觀到紅綠燈后，很自然地把腳從電門上抬了起來，但是汽車并沒有降速，反而以很快的速度追尾了前方多個車輛，最后撞在路邊的水泥防護欄才強行停止。

事后，特斯拉公開了該起交通事故發生前一分鐘的行車數據，該數據包括車速、方向盤轉向角、制動主缸壓力等信息。同時，特斯拉還為該數據作出了一份文字說明：在駕駛員最后一次踩下制動踏板時，數據顯示，車輛時速為118.5 km/h。在駕駛員踩下制動踏板后的2.7 s內，最大制動主缸壓力僅為4.59 MPa，之后駕駛員加大踩下制動踏板的幅度，制動主缸壓力達到了9.27 MPa，緊接著前撞預警及自動緊急制動功能啟動（最大制動主缸壓力達到了14.07 MPa）并發揮了作用，減輕了碰撞的幅度，制動防抱死系統（anti-lock braking system，ABS，是一種具有防滑、防鎖死等優點的汽車安全控制系統）作用之后的1.8 s，系統記錄了碰撞的發生。駕駛員踩下制動踏板后，車速持續降低，發生碰撞前，車速降至48.5 km/h。根據數據和特斯拉提供的說明，可以將制動過程分為開始制動、ABS工作和自動緊急制動（autonomous emergency braking，AEB）三個階段，具體如圖1所示。

圖1 制動過程的分階段圖Fig.1 Phased diagram of the braking process

此外，特斯拉表示事故發生前30 min內，剎車記錄超過40 次，同時車速有多次超過100 km/h的記錄和多次剎停的情況發生。張女士認為這些數據并不是她所要求的車輛原始數據，并且否認了事故當天存在超速駕駛的行為。

很多網友認為特斯拉有修改數據的嫌疑。事故發生于兩個相距500 m的紅綠燈之間，紅綠燈監控攝像頭沒有啟用。事發時天色較暗，國道兩側沒有路燈，也沒有監控攝像頭。所以特斯拉單方面提供的數據并沒有得到印證。如果假定特斯拉提供的數據是可信的，那么能否根據該數據還原出事故發生前的行車狀態和軌跡呢？本文將建立車輛運動方程，根據車輛前輪轉向和車速，確定出車輛的運動狀態和軌跡。在此基礎上對事故的原因進行分析。

1 原理和模型

1.1 車輛轉向原理

為了能夠根據車速和方向盤轉向角隨時間的變化還原出事故中車輛的運動狀態，需要研究車輛運動與車速和前輪轉向角之間的關系?，F代汽車使用了一種叫阿克曼轉向的技術（圖2）[1-2]。在該技術出現前，車輛（如馬車）轉向主要使用單鉸鏈轉向技術，單鉸鏈轉向也能使內外轉向路徑指向同一個圓心，但存在很多缺點。阿克曼轉向技術能有效避免單鉸鏈轉向的缺點。車輛轉向時讓內側輪胎轉彎半徑小于外側輪胎。使四個車輪路徑的圓心大致上交會于后軸延長線上的瞬時轉向中心，進而實現順暢地轉向。

圖2 車輛運動模型示意圖Fig.2 Schematic of vehicle motion model

為了說明圖2 所示的阿克曼轉向幾何原理并得到阿克曼轉向公式，令軸距（前軸中點到后軸中點的距離）為L，軸長為W，內外側前輪轉向角分別為φi和φo，車輛中心線到瞬時轉向中心的距離為R。則有

其中φ為假想位于前軸中點的車輪應有的轉向角，將式（1）中的 t a nφi和 t a nφo取倒數并作差，便可得到阿克曼轉向公式

1.2 車輛運動模型

如圖2所示，車輛的狀態可以由(x,y,θ,φ)來描述。其中(x, y)表示車輛后軸中點位置，θ表示車身朝向，φ表示前輪轉向角。要根據前輪轉向φ和車速（后軸中點的速度）v獲取車輛運動狀態，實際上就是確定一組微分方程

在圖2 所示的瞬間，后軸中點的瞬時運動方向是垂直于到瞬時轉動中心方向的，因此

接下來確定車輛朝向的轉動速度 dθ/dt，用s表示車輛行駛的距離（速度對時間的積分），則有 ds=Rdθ。根據阿克曼轉向幾何原理可知R=L/tanφ，因此有

由此，本文得到了描述車輛運動的三個微分方程

其中v為車速，L為軸距，φ為前輪轉向角。

2 驗證和模擬

上文建立的車輛運動方程表明，只要給出車輛控制參數（前輪轉向角和車速）關于時間的函數，就能通過數值積分還原出車輛的行駛狀態和軌跡。隨時間變化的控制參數是由駕駛員控制的：前輪轉向角由方向盤控制，車速由油門和剎車控制。在還原特斯拉事故的行車軌跡之前，本文先將模型應用到泊車情況，并以此對模型進行測試。

2.1 泊車驗證

圖3是人為設置的一個泊車場景，駕駛員需要通過控制車輛前輪轉向角和車速，將車從左下角位置移動到右邊的停車位中，并且使車頭朝外。

圖3 泊車測試車輛軌跡圖Fig.3 Vehicle trajectory of parking simulation test

使用如圖4的控制參數（前輪轉向角和車速），代入運動方程就可以以圖3中的軌跡完成泊車。通過圖3中車輛中心（紅）和后軸中點（藍）的軌跡，可以發現：車輪在轉彎時，兩點的軌跡并不重合，紅點軌跡的曲率半徑總是略大于藍點。這與阿克曼轉向幾何原理是一致的，同時也驗證了模型的可靠性。

圖4 泊車測試對應的控制參數Fig.4 Control parameters of parking simulation test

2.2 特斯拉行車軌跡模擬與事故還原

要應用上述車輛運動方程來還原事故發生時的車輛行駛狀態和軌跡，首先需要知道車輛和道路的信息。涉事車輛為特斯拉Model 3，其尺寸參數為[3]：軸距L=2.87 m，車長4.7 m，車寬W=1.85m。方向盤與前輪轉向角的傳動比為10:1，即方向盤每轉動10°，前輪轉動 1°[4]。圖5是事發路段和位置，事故發生在膠海線與鐵東路交叉的紅綠燈路口前，事發路段幾乎是一條筆直的公路，公路寬約10 m，該路段與東西方向的夾角約為5.4°。因此車輛的初始朝向可假設為θ0= 5.4° 。

圖5 特斯拉事故事發路段和位置Fig.5 Location and road section of the Tesla accident

此外，還需要知道事發時間段內的控制參數信息（車速和方向盤轉向角）。由于特斯拉給出的數據采集頻率較低，本文對碰撞前6.3 s內的方向盤轉向角和車速數據進行了添加和插值（其中方向盤轉向角的人為添加數據點由原始數據的延伸線相交得到），從而得到了方向盤轉向角fφ(t)和車速fv(t) ，結果如圖6所示。

圖6 對特斯拉公布的數據插值結果Fig.6 Interpolation results of data provided by Tesla

圖7是通過模型還原出來的事發前的行車狀態和軌跡。簡單分析可以看出：事發前，車輛沿右側車道行駛，當司機看到遠處紅綠燈后，開始剎車減速。但由于制動效果未能達到司機的期望，隨后司機為避讓前方障礙而猛打方向盤撞在了路邊的水泥防護欄上。

圖7 由特斯拉公布數據還原的車輛軌跡Fig.7 Vehicle trajectory restored by data provided by Tesla

3 事故分析

根據特斯拉提供的數據還原出的車輛行駛狀態和軌跡，與車主張女士對事故的定性描述并不矛盾，因此本文認為特斯拉提供的數據基本可信。車主張女士和廣大網友對特斯拉的質疑主要有：對特斯拉車速數據的質疑、對是否可能超速行駛的質疑、對制動系統能力的質疑。下面分析一下這三點（注意：以下分析主要參考和引述了文獻[5]中的分析）。

3.1 車速數據的真實性

作為現代智能汽車，特斯拉的每個車輪都配有獨立的輪速傳感器，輪速傳感器技術已相當成熟，失效率很低。為防止整車控制器因輪速傳感器失效而獲取到錯誤的數據，四個輪速傳感器采集的車速會進行交叉核驗，以確保數據的真實性。四個輪速傳感器同時失效的可能性幾乎為零。因此，除非特斯拉惡意地篡改數據，否則數據的真實性不太可能有問題。但是這也不代表特斯拉提供的數據完全沒有問題，從公布的數據看，數據的采樣頻率確實較低，這也是本文不得不對方向盤轉向角和速度做插值的原因。

3.2 是否可能超速行駛

在事故當天是否超速這一問題上，車主表示：路段兩個紅綠燈僅僅相隔500 m，不會開到118 km/h。那么在不到500 m的距離里，車輛能否從0加速到118 km/h 呢？針對車主的這一質疑，我們計算特斯拉從v0=0 km/h加速到vt=118km/h需要的距離。特斯拉百公里加速時間約為3.5 s，假設加速過程中加速度恒定為a=100/3.5=102.860km/h2，則有

因此，以最大加速度加速的話，可以在70 m內加速至118 km/h。此外，根據式（7）也可以看出，即使以最大加速度的一半加速，也可以在135 m的距離內加速至118 km/h。

3.3 制動系統是否正常

有網友質疑：按特斯拉提供的數據，22.36 s為最高時速118.5 km/h，此時應該松開了電門，車輛在動能回收作用下減速，隨后踩剎車，在23.38 s時速降至116 km/h。在動能回收和剎車的共同作用下，車輛一秒多鐘只降速2.5 km/h。這種降速，剎車是否起到了作用。

為解決此疑問，本文需要分析車輛1秒降速2.5 km/h 的合理性。一輛轎車以120 km/h 勻速行駛所需的功率一般在15～20 kW之間，考慮到特斯拉Model 3滾阻和風阻較低，取功率P=15kW來計算，即車輛需要15 kW的輸入功率才能克服阻力以維持車速。也就是說，在相同的速度下，阻力的功率也是15 kW。特斯拉空車重為1 614 kg，考慮到車上坐了一家人，本文以M= 2 000 kg作為車重。如果動能回收和機械制動完全不起作用，單純松開踏板，假設在時間dt內，車輛前進了 ds，則阻力的功率可表示為[6]

其中F為阻力，a為減速度。因此，減速度可表示為

代入數據可得a= 0.23m/s2，這樣的減速度可以讓車輛在1 s 減速0.81 km/h。而實際情況是1 s減速2.5 km/h，說明動能回收或機械制動是起作用的。

既然回收或機械制動是起作用的，那最大制動作用是否足夠？根據汽車之家[7]的測試顯示，性能正常的特斯拉Model 3的百公里剎車距離約為38 m，因此完美的情況下減速度約為

其中，g=9.8m/s2，表示重力加速度。注意：百公里剎車距離的測試是一開始就將剎車踩到底。那本次事故中的實際減速效果如何？可以通過26.43 s到27.45 s之間的車速計算出車輛的平均減速度

考慮到路面狀況、溫度、胎壓等實際因素，實際減速表現與汽車之家的測試距離有一定的差距，但是這屬于正常偏差。

4 結論

本文在阿克曼轉向技術的基礎上，進行了技術分析、模型構建、泊車驗證、真實事件模擬與分析。根據特斯拉提供的數據，本文還原了事發時車輛的運動狀態和運動軌跡。模擬結果顯示：事發前，涉事車輛沿右側車道行駛，當司機看到遠處紅綠燈后，開始剎車減速。但由于制動效果未能達到司機的期望，隨后司機為避讓前方障礙而猛打方向盤撞在了路邊的水泥防護欄上。模型結果與車主對事故的定性描述基本一致，特斯拉提供的數據與車主對事故的定性描述并不矛盾，因此可見數據沒有明顯虛假的地方。

在此基礎上，本文針對車主和網友的三方面質疑（車速數據是否真實、是否可能超速行駛、以及制動系統是否正常）進行了討論。結果表明特斯拉車速數據基本是可信的，超速行駛的可能是存在的，特斯拉提供的數據表明制動系統是正常工作的。因此，如果特斯拉沒有惡意篡改數據，那事故的主要原因可能是車輛超速行駛。

隨著中國汽車保有量的增加，交通事故發生的次數也隨之上升。而在交通事故的處理中，分析車輛的運動狀態和軌跡可以提供很大的幫助。但是由于現實環境的種種限制，很難單純地依靠監控等圖像設備所提供的影像判斷，需要借助于車輛上的各種傳感器記錄的各種數據來輔助分析。車輛運動方程可以應用車輛傳感器收集的信息，對交通事故的真實情況進行模擬，對事故發生場地影像缺失的事故分析起到一定的幫助作用。