梯度蜂窩加筋板的彎曲變形及優化設計1)

張晨帆 鄧慶田 李新波 宋學力

(長安大學理學院，西安 710064)

多孔結構設計方法與成形性能的研究[1-4]主要集中于均質多孔結構，而均質多孔結構往往無法滿足實際應用中復雜非均質的應力應變狀態的需求，且均質多孔結構并非是最優化的結構分布狀態。因此可以通過模仿自然界中多梯度多孔結構的分布模式，根據結構的局部特性合理地分布多孔材料，深入研究梯度多孔結構的力學性能和失效行為，從而對結構加以優化。

梯度多孔結構[5-11]在骨骼、樹干和竹子等生物結構中為常見的一種生物梯度微結構，具有優秀的吸能、減震和抗彎等力學性能，被廣泛應用于航空航天、建筑工業、生物醫療等領域。有關梯度蜂窩結構的研究已有很多，衛禹辰等[12]通過改變內凹蜂窩型梯度結構胞元尺寸與胞元凹角，分析了梯度結構在爆炸沖擊環境下沖擊波衰減效率和力學響應規律。Shao等[13]研究了不同壓縮速率對梯度木制素蜂窩變形行為和壓碎應力的影響。

本文基于三點彎曲實驗的加載位置及支承方式，將梯度蜂窩型胞元引入加筋板加筋層設計當中，通過控制質量參數，分別設計制備壁厚梯度形式和孔隙率梯度形式兩種梯度多孔結構加筋板，研究梯度多孔蜂窩結構對加筋板彎曲性能的影響。

1 模型設計及參數

1.1 設計思路

由文獻[14]可知三點彎曲實驗下蜂窩加筋板的破壞模式總是在承載位置處的加筋肋壁上開裂失效，因此試件中心位置是主要受力位置，容易因應力集中現象而破壞。在加筋板結構中，多胞壁蜂窩較單胞壁蜂窩具有可設計性、承彎能力強等優勢，因此將多胞壁蜂窩引入加筋層設計中。本文基于三點彎曲實驗的加載方式，在蜂窩胞元均勻排列的加筋板加筋層上，合理改變壁厚和孔隙率使其由承載處到兩側呈梯度形式排列，同時控制試件質量為常量，通過在壓頭位置處增大壁厚和減小孔隙率來增強加筋板的承載能力。

1.2 梯度形式設計

以內凹形蜂窩胞元的試件為例，如圖1所示。加筋板長為L，寬為b，加筋層胞元布局均左右對稱，取一半進行分析并將其等分為3個區域。梯度形式的設計是嚴格遵循結構等質量原則，壁厚梯度形式設計時孔隙率不變，試件A-0-t藍色區域的壁厚與試件A-0一致，由于加筋層等厚度，因此需控制試件A-0-t紅色與黑色區域的胞壁面積之和等于藍色區域胞壁面積的兩倍。令胞元面積為A，三個區域胞元數目分別為n1,n2,n3，則壁厚梯度形式的控制函數為

圖1 內凹構型三種胞元布局形式下的平面圖Fig.1 Plan view of three cell layout forms of reentrant configuration

化簡可得

同理，在孔隙率梯度形式的設計中，需使試件A-0-n紅色與黑色區域的胞壁面積之和等于藍色區域的兩倍，三種孔隙率下的胞元面積分別為A1,A2,A3，三個區域胞元數目分別為n1,n2,n3，則孔隙率梯度形式的控制函數為

化簡可得

因此通過控制胞元數目來確定孔隙率，從而保證同類型的結構總質量一致。對正六邊形胞元梯度形式的設計思路也是如此。設計出的各種試件的加筋層平面如表1所示。

表1 各種試件的加筋層平面Table 1 Plane of stiffened layer of various specimens

1.3 模型參數

加筋板由蒙皮層與加筋層組成，如圖2所示。蒙皮層為實心板，加筋層為蜂窩胞元，蒙皮層與加筋層厚度分別為h1和h2，本文中所設計的加筋板L= 120 mm，b= 70 mm，h1=h2=4 mm。

圖2 加筋板示意圖Fig.2 Schematic diagram of stiffened plate

圖3為加筋層單個蜂窩胞元的幾何參數示意圖，其中，a表示孔隙邊長，h為孔高，θ表示孔隙夾角，t表示壁厚，n表示孔隙率。本文中所設計的不同孔隙率下蜂窩胞元幾何尺寸如表2所示，各結構的壁厚與孔隙率如表3所示。為便于描述，用A代表內凹形蜂窩胞元，B表示正六邊形蜂窩胞元，0和90分別表示水平方向與豎直方向，例如A-90-t就表示為內凹形蜂窩胞元豎直方向且壁厚呈梯度形式分布，而 A-90則表示內凹形蜂窩胞元豎直方向均勻分布。

表3 不同分布形式下的壁厚及孔隙率Table 3 Wall thickness and porosity under different distribution forms

圖3 單個蜂窩胞元幾何參數示意圖Fig.3 Schematic diagram of geometric parameters of a single honeycomb cell

表2 蜂窩胞元幾何參數Table 2 Geometric parameters of honeycomb cells

2 研究方法

2.1 材料參數

用3D打印機制備實驗試件，基材選用聚乳酸(polylactic acid, PLA)，其材料參數依據單軸壓縮實驗（GBT 1041?1992）測試得到[15]。首先制備出標準壓縮試件，試件幾何尺寸如圖4(a)所示，使用萬能試驗機對標準試件進行準靜態壓縮實驗，加載速率為1 mm/min，壓縮應變至0.14，測得材料應力–應變曲線如圖4(b)所示。由本構曲線測得基材彈性模量E= 2 200 MPa，屈服應力σ =45.7 MPa，泊松比μ= 0.35。

圖4 試樣尺寸及基材本構曲線Fig.4 Specimen size and substrate constitutive curve

2.2 有限元模型

采用ANSYS Workbench/Static structural模塊模擬加筋板準靜態三點彎曲實驗，按照所測材料PLA本構參數進行自定義，壓頭及兩支座與實驗試件之間為摩擦接觸，摩擦系數為0.15，采用四面體SOLID 187單元對結構進行網格劃分，網格單元尺寸為3 mm，兩支座底面施加固定約束，在壓頭處分步施加位移載荷至40 mm，載荷步分5步，后處理分析加筋板的彎曲變形模式以及應力分布情況。有限元模型如圖5所示。

圖5 加筋板有限元模型Fig.5 Finite element model of stiffened plate

2.3 實驗測試

實驗在室溫條件下進行，使用萬能試驗機（圖6(a)）逐一對試件進行準靜態加載，支座跨距為140 mm，試驗入口力為15 N，以1 mm/min的速率勻速加載至40 mm后結束返車，采用位移傳感器連接電腦采集裝置實時記錄并保存實驗數據，同時用攝像機記錄試件壓縮方向的變形過程。實驗加載裝置如圖6(b)所示。實驗試件采用增材制造熔融沉積成型工藝制備，圖6(c)為制備出來的試件。

圖6 實驗設備及試件制備Fig.6 Experimental equipment and specimen preparation

2.4 驗證有限元模型

通過對每個試件進行仿真分析與實驗測試，幾種試件在壓縮方向上變形過程如圖7所示，可以看出各試件彎曲變形形貌有限元結果與實驗結果吻合較好，值得注意的是，蜂窩胞元壁厚呈梯度形式排列（試件A-0-t與B-0-t）的實驗結果并不在承載位置處破壞失效，這是因為這兩種試件最中心位置處加筋層壁厚最大，抵抗開裂的能力較強，所以在同等壓縮位移載荷下，試件從加筋層中心位置附近壁厚相對較小的位置率先開裂失效。圖8給出了其中兩個試件壓縮載荷位移曲線與不同階段加筋層變形形貌的有限元結果與實驗結果，引起較大誤差的原因是有限元結果沒有模擬出試件加筋層的開裂現象，而實驗測試時，試件加筋層由于承受極限壓應力會在肋壁處發生斷裂破壞。但兩種結果在小變形階段基本吻合，且實驗結果中加筋層開裂的位置與有限元應力云圖中峰值應力的位置相對應，這兩點均可驗證有限元模型的可靠性。為了準確描述實際結果，后面基于實驗結果進行分析與討論。

圖7 壓縮變形過程有限元與實驗結果Fig.7 Finite element and experimental results of compression deformation process

圖8 載荷位移曲線及加筋層變形形貌的有限元與實驗結果Fig.8 The load-displacement curve and the finite element and experimental results of the deformation morphology of the reinforcement layer

3 結果與討論

3.1 梯度形式對加筋板彎曲變形的影響規律

圖9給出在不同排列形式下各類試件的載荷位移曲線，在等質量條件下，加筋層為內凹六邊形蜂窩胞元且水平方向排列時，壁厚梯度形式下結構承載性能最強，峰值承載力較孔隙率呈梯度形式分布提升了21%，且后者最先開裂破壞。豎直方向時，孔隙率梯度形式下結構承載性能最強，峰值承載力較壁厚梯度形式分布提升了14%；加筋層為正六邊形蜂窩胞元且水平方向排列時，均勻形式下在彈性階段達到峰值載荷后，加筋層迅速開裂導致承載力迅速下降，而壁厚梯度形式下加筋層緩慢開裂，開裂完全后載荷緩慢下降，孔隙率梯度形式下結構承載力最低，加筋層開裂后載荷保持不變，豎直方向時，加筋層在三種排列形式下結構承載力相差不大，但開裂時刻位移表現出不同規律，其中壁厚梯度形式最先開裂，均勻分布次之，而孔隙率梯度形式最后開裂。綜合上述結果可知，試件A-0-t，A-90-n在同類別中均對結構承載力表現出正效應，而梯度形式對正六邊形蜂窩胞元結構的正效應并不顯著。表4給出各試件的峰值承載力與初始斷裂時刻位移，可以看出，所有試件均在壓縮位移20 mm之前出現斷裂，孔隙率梯度形式且豎直方向分布時結構出現斷裂時刻相對較晚，表明這種形式下結構韌性較強。

表4 各試件的峰值承載力與初始斷裂時刻位移Table 4 Peak bearing capacity and initial fracture displacement of each specimen

圖9 不同分布形式下各種試件的載荷-位移曲線Fig.9 Load–displacement curves of various specimens under different arrangements

3.2 胞元方向對加筋板彎曲變形的影響規律

由上述結果可知，蜂窩胞元的分布方向對結構彎曲變形也有一定影響。圖10給出了各試件不同胞元方向下的載荷–位移曲線，可以看出，不論是內凹六邊形蜂窩還是正六邊形蜂窩，當胞元豎直方向排列時結構承載性能較水平方向有明顯提升。結合表4可得，試件A-90峰值力較試件A-0提升了25%，試件A-90-t峰值力較試件A-0-t提升了8%，試件A-90-n峰值力較試件A-0-n提升了37%；試件B-90峰值力較試件B-0提升了14%，試件B-90-t峰值力較試件B-0-t提升了26%，試件B-90-n峰值力較試件B-0-n提升了49%。

圖10 不同胞元方向下各類試件載荷–位移曲線Fig.10 Load-displacement curves of various specimens in different cell directions

3.3 加筋層優化分析

復合材料板的質量優化設計可以減少纖維用量，降低成本[16]?；诩咏畎鍖嶒灲Y果的破壞模式可知加筋板的主要承載位置是與壓頭接觸的中心位置，加筋層兩側并沒有開裂且應力較小。因此，為提升材料利用率，基于有限元分析中的應力分布圖進行的曲線擬合設計，將加筋層優化為曲面形式，如圖11所示，加筋層中心位置處厚度保持不變，加筋板長和寬兩個方向的厚度均由中心向兩側呈曲線形式遞減至0。對經優化后的試件進行了相同實驗，得到載荷–位移曲線如圖12所示。

圖12 加筋層為曲面形式的載荷–位移曲線Fig.12 Load–displacement curve of the reinforced layer in the form of a curved surface

從圖11可以看出，將加筋層優化為曲面后依然體現出蜂窩胞元梯度形式在提升加筋板承載性能方面的優越性。從提升材料的利用率出發，由于優化后的試件質量變小，因此將比吸能[17-18]作為指標進行判斷。吸能量EA代表準靜態壓縮過程中，結構在一定壓縮位移下的吸能量，其數學表達式為

圖11 加筋層優化示意圖Fig.11 Schematic diagram of reinforcement layer optimization

式中，l為壓縮位移，F(x) 為瞬時承載力。比吸能SEA為結構單位質量的吸能量，其數學表達式為

式中M為結構總質量。由于加筋層形式不同，各種類型的試件總質量存在差異。其中，內凹六邊形蜂窩胞元在平面形式下結構總質量為0.081 kg，在曲面形式下結構總質量為0.062 kg；正六邊形蜂窩胞元在平面形式下結構總質量為0.077 kg，在曲面形式下結構總質量為0.06 kg，由式（6）計算可得各種試件在兩種加筋層形式下的吸能量與比吸能如表5所示。

表5 各種試件的吸能量與比吸能Table 5 Energy absorption and specific energy absorption of various specimens

從表5可知，加筋層為曲面形式時結構比吸能顯著高于平面形式，這表明將加筋層改進為曲面形式后，能顯著提升材料的利用率，使結構在質量較小的條件下達到較好的吸能特性，從而減少經濟損耗。此外，加筋層壁厚梯度形式下結構的吸能量相對其他兩種形式更高，而孔隙率梯度形式下由于蜂窩胞元以及胞元方向的不同而表現出不一致現象，加筋層為正六邊形蜂窩胞元時，不論哪種胞元方向，孔隙率梯度形式下結構吸能量高于均勻分布；加筋層為內凹六邊形蜂窩胞元且豎直方向分布時，孔隙率梯度形式下的吸能量同樣高于均勻分布，而當蜂窩胞元水平方向分布時，孔隙率梯度形式下的吸能量則低于均勻分布。

3.4 壓頭位置對加筋板彎曲變形的影響規律

通過對實驗結果分析可知三點彎曲實驗壓頭位置的偏差對結果有很大影響。為了研究壓頭位置對加筋板彎曲變形的影響規律，將壓頭軸線與水平方向之間的夾角記為θ，如圖13所示，依次取 θ為 30°，45°，60°，90°。對試件 A-0，B-0，A-0-t，A-0-n進行實驗測試，圖14為θ取不同值時各試件的載荷–位移曲線，幾種試件的結果均表明加筋板承載力隨θ角增大而減小，即壓頭越傾斜，加筋板的承載能力越強。實驗過程伴隨著加筋層絲裂的聲音，θ取30°時試件A-0由于變形過大在壓縮位移27 mm時刻就完全破壞。圖15為壓縮方向的彎曲變形過程，相較于實驗過程的變形形貌，有限元結果較為理想，而實驗結果表現出的加筋層破壞模式更具實際意義。圖16為不同壓頭位置下試件A-0的有限元應力云圖，可見加筋板的峰值應力隨θ角增大而減小，θ為30°時峰值應力較90°提升了64%。

圖13 壓頭位置示意圖Fig.13 Schematic diagram of the position of the indenter

圖14 不同壓頭位置下各試件的載荷–位移曲線Fig.14 Load–displacement curve of each specimen under different indenter positions

圖15 不同壓頭位置下試件A-0的彎曲變形過程Fig.15 Bending deformation process of specimen A-0 under different indenter positions

圖16 不同壓頭位置下試件A-0的有限元應力云圖Fig.16 Finite element stress cloud diagram of specimen A-0 under different indenter positions

3.5 加筋層開裂位置分析

由于在壓縮方向上攝像機并未捕捉到加筋層蜂窩胞元的變形形貌，結合實驗結果可知壓頭位置對加筋層破壞形式有一定影響。圖17給出了不同壓頭位置下加筋層的破壞模式，由圖可知，在不改變壓頭位置，即壓頭軸線垂直于水平方向（θ = 90°）時，加筋層是從蜂窩胞元肋壁處開始開裂破壞，而將壓頭位置改變不同角度后，加筋層是從與蒙皮層交界處開始脫裂破壞。

圖17 加筋層破壞形式Fig.17 Failure form of reinforced layer

4 結論

本文通過對梯度蜂窩形加筋板進行準靜態壓縮實驗及仿真分析，研究了當蜂窩胞元被利用到加筋層時梯度形式、胞元方向對加筋板彎曲變形的影響規律，同時基于結果進一步對加筋層優化處理，此外分析不同壓頭位置對結構彎曲變形的影響，并且對加筋層開裂位置進行了定性分析。得到以下幾點結論。

（1）加筋層為內凹六邊形蜂窩胞元且水平方向排列時，壁厚梯度形式下結構承載性能最強，豎直方向孔隙率梯度形式下結構承載性能最強；而梯度形式對正六邊形蜂窩胞元結構的正效應并不顯著。

（2）不論是內凹六邊形蜂窩還是正六邊形蜂窩，當胞元為豎直方向排列時結構承載性能較水平方向有明顯提升。

（3）將加筋層設計為曲面形式能顯著提升材料的利用率，使結構在質量較小的條件下達到較好的吸能特性，加筋層壁厚梯度形式下結構的吸能特性最好。

（4）壓頭軸線與水平方向夾角越小加筋板承載能力越強。壓頭軸線垂直于水平方向時，加筋層從蜂窩胞元肋壁處開裂破壞，壓頭軸線偏離豎直方向，加筋層從與蒙皮層交界處開始脫裂破壞。