如何在教學中培養學生的思維和能力（2）：定性與定量

高云峰

(清華大學航天航空學院，北京 100084)

作為一名高校理論力學教師，在理論力學的第一次課程中，我會介紹這樣一張圖（圖1），它表明理論力學在處理實際工程問題中的位置。由于學時所限，力學課程的內容主要限定在如何從“力學模型”到“數學模型”。我們缺乏“工程問題”簡化為“力學模型”的環節，學生做作業或考試直接面對的就是已經簡化好的力學模型（具體題目）；我們也缺乏“數學模型”如何“分析計算”的環節，雖然學生在數學課程中學過必要的數學知識，但與力學的關系有點遠；我們更缺乏“實施”環節，也許學生要等到畢業設計才有一點實踐的機會。

圖1 理論力學在實際問題處理中的位置

一般來說，從“工程問題”到“力學模型”，需要力學知識和工程經驗，也需要定性分析的方法（見后面具體案例）；而從“力學模型”到“數學模型”再到“分析計算”，更接近平時的作業，需要應用具體的力學知識和定量分析的方法。

定量分析是依據數據和模型，計算出分析對象的各項指標及其數值的一種方法。定性分析主要是憑直覺、經驗，對分析對象的性質、特點、變化規律作出判斷的一種方法。

定量分析的特點是問題的數據和模型已知，傳統力學的作業就是典型的定量分析問題：題目給出了模型（各種結構、機構等），給出了數據（已知條件）；定性分析的特點則是問題的數據或模型不清楚，在數據不充分或者模型建立之前比較適用。兩種分析方法各有特點，傳統教育偏重于定量分析，涉及定性分析的內容很少。實際上，現代定性分析方法同樣要采用數學工具進行計算，而定量分析則必須建立在定性預測基礎上，二者相輔相成，定性是定量的依據，定量是定性的具體化，二者結合起來靈活運用才能取得更佳效果。

在發明創造中也十分需要定性和定量分析。一個裝置發明出來之前，并不清楚內部會是什么結構，因此也無法進行直接的分析計算。發明是根據希望的功能或特點，逆向設計系統可能的結構形式，在得到大致的結構后，再利用定量分析的方法確定精確的參數。

下面幾個案例從不同的角度介紹了定性與定量分析的方法，可以讓學生體會到定性與定量分析相結合，既簡單又巧妙地解決問題。

1 落體運動的定性分析

物體自由下落時，由于地球的自轉，落體并不是沿著鉛垂線下落。在北半球，物體下落時科氏加速度向西，因此科氏慣性力向東（圖2），使得物體向東偏，而向東的運動又引起物體向南偏[1]。

圖2 非慣性系中解釋落體偏東南

為了訓練學生的思維，我會提出問題：如何在慣性系中解釋落體會偏東、偏南呢？

物體在A點釋放前，相對地面B點靜止（B點是A點的垂線與地面的交點）。在慣性空間看，A和B同時繞地軸自西向東運動，且有

因此物體從A點下落過程中向東偏，而B點也自西向東運動。根據式（1），物體向東運動的速度更大些，因此落體落在B點的東邊，落體向東偏（圖3）。

圖3 慣性系中解釋落體偏東

如何解釋向南偏呢？在慣性空間看，物體以初速度vA做拋物線運動（更準確說是圓錐曲線運動），運動軌跡在由速度vA與AB連線構成的平面內，該平面與過B點的經線相切（圖4）。從AB角度俯視，當物體從A點落到地面A*時，B點沿著經線運動到B*（圖5）。注意到北極點在經線圈內，沿經線運動時不算偏北也不算偏南，進入經線圈內算偏北，出了經線圈外面算偏南。A*點在經線之外，因此落體偏南。

圖4 慣性系中解釋落體偏南

圖5 沿AB方向俯視圖

可以發現在慣性系中解釋落體偏東偏南比較麻煩，但這是學生利用概念解釋某種現象的一次鍛煉。

2 四葉玫瑰線的定性和定量分析

在講授運動學的知識時，我會設計一個“基于設計的學習”案例[2]，從寓言故事引出問題并讓學生自己設計裝置，把定性分析、定量分析的方法教給學生。

這是關于尋找幸運草的寓言故事，找到四葉草（圖6）就會得到幸福。因為四瓣葉子分別表示真愛（love）、健康（health）、名譽（glory）和財富（riches）。

圖6 四葉草

寓意中為什么不說尋找三葉草呢？因為三葉草很容易找到。有調查表明自然界中每十萬株三葉草中可能只有一株四葉草。那么問題來了：既然四葉草很難找到，學生們能否自己創造四葉草呢？然后從四葉草引出四葉玫瑰線，目標是設計出一種簡單的裝置，可以畫出四葉玫瑰線（圖7）。

設四葉玫瑰線的每瓣最大尺寸為a，在極坐標中，其方程為

學生首先遇到的問題是：四葉玫瑰線能否用簡單的裝置精確地畫出來？這個問題與平時的作業不同：不清楚該裝置是否存在，如何用所學的知識來分析這一問題呢？對于不清楚結構的問題，沒法采用定量分析的方法，但是可以采用定性分析的方法。

首先證明存在性。從數學角度看，方程（2）在直角坐標中可以表示為

利用三角公式后有

式（4）意味著什么？通常學生認為這是三角函數問題，現在要換個角度看，它是否表示運動合成呢？

從運動學角度看，質點在xy平面內作圓周運動時，其運動方程是

反過來說，滿足方程（5）的點作圓周運動。根據這一啟示，方程（4）可以改寫為

式（6）暗示了四葉玫瑰線是兩個圓周運動疊加的結果，而角度前面的倍數表示轉動的快慢，正負號表示轉動的方向不同。

存在性解決了，這兩個圓與四葉玫瑰線的尺寸a有什么關系呢？下面利用運動合成的知識進行定量計算。

假設大圓O半徑為R，小圓O′半徑為r，小孔P與O′的距離為e，初始時假設兩圓在A點接觸，AOP水平（圖8）。由于小圓在大圓內作純滾動（圖9），有

圖8 裝置初始位置

圖9 運動時角度的關系

P點坐標為

聯立式（6）～（8），解出

有興趣的學生們根據式（9），利用CAXA軟件很容易獲得標準齒輪（內齒輪、外齒輪）的輪廓，然后利用激光切割機，快速高精度地獲得需要的齒輪，為了進行對比研究，特意在齒輪上多開了一些孔（圖10）。按住大齒輪，把筆放在小齒輪上適當的孔中，轉動小齒輪，就可以畫出標準的四葉玫瑰線了（圖11）。

圖10 設計制造的裝置

圖11 最終畫出四葉草

學生們嘗試制作裝置時發現，裝置的參數稍變一點，就不是我們要的結果。要想得到四葉玫瑰線，必須確定精確的參數。這表明在寓言中尋找四葉草不容易，在實際操作中要畫出四葉玫瑰線也不容易。

3 欹器的定性和定量分析

在講授平衡與穩定的內容時，我設計了一個復原孔子時代欹器的案例，既與力學有關，又把教育含義、創意設計、動手實踐融合在一起[3]。

欹器已經失傳近千年，不清楚形狀，但是經過定性分析，再利用計算機計算，可以做出一個在桌面上演示的模型，涉及表面形狀、重心位置、平衡、穩定等因素，且各因素耦合影響，還是比較復雜的。下面是部分定性分析與定量計算的內容。

（1）關于外形的定性分析

根據直觀的感覺，欹器的底部不能是平的碗底（角度不會變化），而應該是某種曲線（圖12）。這就是定性分析的結果，簡單而不需要任何參數。

圖12 外形示意圖

（2）關于重心變化的定性分析

一個均質圓柱形容器，空的時候重心大致在中心位置；加水后整體重心會下降；加滿水后重心又回到中間位置。因此得出一個重要的結論：向欹器中加水時，重心位置會變化，雖然具體變化規律與形狀有關，但重心位置總體變化趨勢是先下降再上升（圖13）。

圖13 重心高度變化示意圖

（3）關于平衡與穩定的定性分析

欹器底部的區域可以用一個半徑為r的球代替，直觀上可以知道：如果重心C在圓心O的下方，就可以像不倒翁直立，C在圓心上方就會傾斜。因此，初始時欹器的重心應該在O點上方，加一些水后重心應該低于O點從而直立，加滿水后重心應該回到O點從而倒下（圖14）。如果加滿水重心仍在O點下方則欹器不會倒下，如果沒有加滿重心就超過O點，欹器就不滿足“滿而覆”。

圖14 欹器工作示意圖

從上述分析可以看出，雖然不知道欹器的具體形狀和參數，但已經知道它需要滿足的重要特點，這就是定性分析的威力。

（4）定量計算及實施

有了以上的定性分析，其原理就清楚了，可以按圖15的流程利用計算機進行定量計算：先試探設一個底部的函數，然后分析計算其結果是否滿足圖14中的關系，經過多次修改后有了經驗，應該可以成功。

圖15 定量分析的流程

在講解平衡與穩定的內容時，學生看到復原的欹器演示收獲很多。有興趣的學生可以在分析計算后得到曲線方程，然后用AutoCAD進行設計，用激光切割機加工出來。這是學生們在測試的照片（圖16）。為了避免水撒到桌面上，可以用鋼珠代替水（圖17）。這種欹器可以在桌面上演示，是很好的“座右銘”。

圖16 學生在演示欹器

圖17 用鋼珠代替水

4 總結

本文提倡一種“基于設計的學習”，從四葉玫瑰線和欹器的案例可以看出其特點，它涉及定性分析、定量計算，也涉及創意和設計，最后的結果還對學生具有教育意義，這是目前教育中所缺失的。

從以上案例中可以得出幾點結論或啟示。

（1）落體偏向問題在非慣性系中很容易解釋，但在慣性系中的解釋就需要考慮運動的特點：物體和落點具有不同的速度以及物體在平面內運動，利用這兩個特點就可以解決問題。這反映了定性分析的特點：充分利用系統本身的特點，找出反映其特征的信息。這一案例有利于讓學生進行探究思維。

（2）四葉玫瑰線問題讓學生了解理論如何指導實踐，學生們在實際操作中也體會了尋找四葉草寓言的含義，并把寓言中尋找幸福轉變為現實中自己創造幸福，讓學生獲得一種超越知識的認識。這一案例屬于設計問題，是一種逆問題，學生習慣了平時的作業，偶然處理一些逆問題能讓思維更開闊。

（3）欹器具有很多教育含義：從歷史角度涉及孔子及其“中庸之道”；從教育角度涉及“滿招損，謙受益”；從力學角度涉及平衡、穩定、重心；從能力培養的角度涉及逆向設計、動手制作等。也正好符合清華大學提倡的“價值塑造”、“能力培養”、“知識傳授”。

未來社會需要更多的有創造性思維的人，適當的定性分析更能讓學生的思維得到更好的訓練。通過這些案例，可以發現創造性思維并不是憑空產生的，它可分解為一系列的過程，而每一過程可能都很簡單。因此每個學生都具備潛在的創造性，關鍵是如何重組這些簡單的過程。給學生一些實際問題或者逆向設計問題，是一種很好的訓練方法。